一、單選題
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)平面內(nèi)坐標原點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)點滿足，則（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知正方形的邊長為2，若，則（ ）
A．2B．C．4D．
4．已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．2
6．已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若是等比數(shù)列，則當(dāng)取最大值時，（ ）
A．2或3B．2C．3D．4
7．若，則（ ）
A．B．C．D．
8．能被3個半徑為1的圓形紙片完全覆蓋的最大的圓的半徑是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知為隨機事件，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若為互斥事件，則
B．若為互斥事件，則
C．若相互獨立，則
D．若若，則
10．如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（ ）
A．動點軌跡的長度為
B．三棱錐體積的最小值為
C．與不可能垂直
D．當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為
11．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)的值域為
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形
C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點，記為，則
三、填空題
12．已知函數(shù)滿足恒成立，且在區(qū)間上無最小值，則 ．
13．已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，直線的傾斜角分別為，則 ；當(dāng)取最小值時，的面積為 ．
14．已知函數(shù)有零點，當(dāng)取最小值時，的值為 ．
四、解答題
15．如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點，與交于點．
(1)求證：平面；
(2)平面與直線交于點，求直線與平面所成角的大?。?br>16．某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：
(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；
(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：
17．已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)若對于任意成立，求實數(shù)的取值范圍．
18．如圖，為坐標原點，為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于兩點，直線交拋物線的準線于點，設(shè)拋物線在點處的切線為．
(1)若直線與軸的交點為，求證：；
(2)過點作的垂線與直線交于點，求證：．
19．微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因為曲邊梯形的面積小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進一步可以推導(dǎo)出不等式：．
(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；
(2)已知函數(shù)，其中．
①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；
②當(dāng)時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
一周參加體育鍛煉次數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
7
合計
男生人數(shù)
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人數(shù)
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合計
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性別
鍛煉
合計
不經(jīng)常
經(jīng)常
男生
女生
合計
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
參考答案：
1．B
【分析】分別求兩個集合，再求集合的混合運算.
【詳解】，得，即，
，得，即，，
所以.
故選：B
2．C
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算易求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得.
【詳解】由可得；
所以可得，即；
即.
故選：C
3．B
【分析】以為坐標原點建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標運算可得結(jié)果.
【詳解】以點為坐標原點建立平面直角坐標系，如下圖所示：
由可得為的中點，所以，
易知，可得，
所以.
故選：B
4．A
【分析】根據(jù)橢圓離心率定義，對參數(shù)的取值進行分類討論即可判斷出結(jié)論.
【詳解】由可得橢圓，此時離心率為，
此時充分性成立；
若橢圓的離心率為，當(dāng)時，可得離心率為，解得，
即必要性不成立；
綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.
故選：A
5．A
【分析】結(jié)合圖形可知，當(dāng)時取得最小值，然后可解.
【詳解】將圓化為，
圓心，半徑，
因為，所以點在圓C內(nèi)，
記圓心C到直線l的距離為d，則，
由圖可知，當(dāng)，即時，取得最小值，
因為，
所以的最小值為.
故選：A
6．B
【分析】利用等比數(shù)列的意義列式，用公差表示出，再確定數(shù)列的所有非負數(shù)項即可得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是等比數(shù)列，
得，解得，則，
顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)取最大值時，.
故選：B
7．D
【分析】首先根據(jù)公式化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差的正弦公式，即可化解求值.
【詳解】由條件等式可知，，
整理為，則，
又，，
所以，，
所以
.
故選：D
8．C
【分析】根據(jù)給定條件，借助圓的對稱性可得已知3個圓的圓心構(gòu)成正三角形，由此建立函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.
【詳解】要求出被完全覆蓋的最大的圓的半徑，由圓的對稱性知只需考慮三個圓的圓心構(gòu)成等邊三角形的情況，
設(shè)三個半徑為1的圓的圓心分別為，設(shè)被覆蓋的圓的圓心為，如圖，
設(shè)圓與交于交于交圓于，顯然為正的中心，
設(shè)，則，
，又，
因此圓的最大半徑為，令，求導(dǎo)得，
由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以被完全覆蓋的最大的圓的半徑為，
此時，即圓?圓?圓中的任一圓均經(jīng)過另外兩圓的圓心．
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及幾何圖形最值問題，借助幾何圖形建立函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)最值是關(guān)鍵.
9．ACD
【分析】根據(jù)互斥事件性質(zhì)可求得A正確，B錯誤，再由相互獨立事件性質(zhì)可得C正確，利用對立事件及條件概率公式可得D正確.
【詳解】對于A，若為互斥事件，則，即可得A正確；
對于B，由可得，
又為互斥事件，則，又，即B錯誤；
對于C，若相互獨立，則,
所以，即C正確；
對于D，若，所以；
可得，
所以，即D正確.
故選：ACD
10．ABD
【分析】對A由平面，聯(lián)想到存在一個過的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進而得到的軌跡為線段，對B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對C舉反例即可；對D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】對A，如圖，令中點為,中點為,連接，
又正方體中，為棱的中點，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），平面平面，而平面平面，
，即的軌跡為線段.
由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項A正確；
對B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，
所以面積最小時，體積最小，如圖，，易得在處時最小，
此時,所以體積最小值為，故選項B正確；
對C，當(dāng)為線段中點時，由可得,又中點為,中點為,
，而，,故選項C不正確；
對D，如圖，當(dāng)在處時，三棱錐的體積最大時，
由已知得此時,所以在底面的射影為底面外心，
,,,所以底面為直角三角形，
所以在底面的射影為中點，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,
由,,可得外接球半徑，
外接球的表面積為，故選項D正確.
故選：ABD.
11．BCD
【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合對稱性判斷C；利用中心對稱的性質(zhì)計算判斷D.
【詳解】對于A，顯然的定義域為R，，則，即函數(shù)的值域為，A錯誤；
對于B，令，，
即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，B正確；
對于C，由選項B知，，即，
兩邊求導(dǎo)得，即，
因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；
對于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，
由選項B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點關(guān)于點對稱，
因此，D正確.
故選：BCD
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，
①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.
②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.
12．/
【分析】首先由條件確定是函數(shù)的最大值，再結(jié)合函數(shù)的周期的范圍，聯(lián)立后即可求解.
【詳解】由題意可知，是函數(shù)的最大值，
則，，得，
且在區(qū)間上無最小值，所以，所以，
所以.
故答案為：
13．
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.
【詳解】設(shè)，則，可得，
又因為分別為雙曲線的左右頂點，可得，
所以；
又由，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，解得，
所以，所以，
所以的面積為.
故答案為：；.
14．
【分析】首先將方程轉(zhuǎn)化為，再通過構(gòu)造幾何意義，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，再結(jié)合幾何意義，即可求解.
【詳解】設(shè)的零點為，則，即，
設(shè)為直線上任意一點，
坐標原點到直線的距離為，因為到原點的距離，
下求的最小值，令，則
在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即，
此時，所以的斜率為，
此時的最小值為，此時，
（此時）．
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點以及難點是構(gòu)造幾何意義，將點看成直線上的任一點，從而根據(jù)幾何意義解決問題.
15．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，可得，再利用向量法證明，然后由線面垂直判定定理可證；
（2）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用向量法可解.
【詳解】（1）因為為正三角形，是中點，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又在平面內(nèi)且相交，故平面
（2）分別為的中點，，
又平面過且不過，平面．
又平面交平面于，故，進而，
因為是中點，所以是的中點．
以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
，，
設(shè)平面法向量為，
則，即，取，得，
則，
因為，所以.
16．(1)填表見解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系
(2)，
(3)分布列見解析；期望為
【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得，即可得結(jié)論；
（2）求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，由二項分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值為，利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1
（2）因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項分布，
易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率
即可得，
故，．
（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值為；
且服從超幾何分布：
故所求分布列為
可得
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得到時，，兩式相減得到，得到及均為公差為4的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，進而得到數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）求得，證得為恒成立，設(shè)，求得數(shù)列的單調(diào)性和最大值，即可求解.
【詳解】（1）解：因為數(shù)列的前項和為，且，即，
當(dāng)時，可得，
兩式相減得，
因為，故，
所以及均為公差為4的等差數(shù)列：
當(dāng)時，由及，解得，
所以，，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）解：由（1）知，可得，
因為對于任意成立，所以恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)，即時，
當(dāng)，即時，
所以，故，所以，
即實數(shù)的取值范圍為.
18．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線方程求得，，即可得，得證；
（2）寫出過點的的垂線方程，解得交點的縱坐標為，再由相似比即可得，即證得.
【詳解】（1）易知拋物線焦點，準線方程為；
設(shè)直線的方程為
聯(lián)立得，
可得，所以；
不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對于；
可得的斜率為
所以的方程為，即為
令得
直線的方程為，
令得．
又，所以
即得證．
（2）方法1：
由（1）中的斜率為可得過點的的垂線斜率為，
所以過點的的垂線的方程為，即，
如下圖所示：
聯(lián)立，解得的縱坐標為
要證明，因為四點共線，
只需證明（*）．
，
．
所以（*）成立，得證.
方法2：
由知與軸平行，
①
又的斜率為的斜率也為，所以與平行，
②，
由①②得，即得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)點法，從而得到，解出點的坐標，從而轉(zhuǎn)化為證明即可.
19．(1)證明見解析
(2)① 證明見解析；②
【分析】（1）根據(jù)題，設(shè)過點作的切線分別交于，結(jié)合，即可得證；
（2）①求得，分別求得在點和處的切線方程，假設(shè)與重合，整理得，結(jié)合由（1）的結(jié)論，即可得證；
②根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時，在恒成立，
設(shè)，求得，分和，兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.
【詳解】（1）解：在曲線取一點．
過點作的切線分別交于，
因為，
可得，即．
（2）解：①由函數(shù)，可得，
不妨設(shè)，曲線在處的切線方程為
，即
同理曲線在處的切線方程為，
假設(shè)與重合，則，
代入化簡可得，
兩式消去，可得，整理得，
由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾
即對任意實數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合．
②當(dāng)時，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下證：當(dāng)時，恒成立．
因為，所以
設(shè)
（i）當(dāng)時，由知恒成立，
即在為增函數(shù)，所以成立；
（ii）當(dāng)時，設(shè)，可得，
由知恒成立，即在為增函數(shù)．
所以，即在為減函數(shù)，所以成立，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是
【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
性別
鍛煉
合計
不經(jīng)常
經(jīng)常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合計
21
39
60
0
1
2
3

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2023湖北省七市（州）高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)PDF版含答案

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2022屆湖北省七市(州)高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（PDF版）

2022屆湖北省七市(州)高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（PDF版）
湖北省七市(州)2022屆高三3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

湖北省七市(州)2022屆高三3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題
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