一、選擇題
1．設(shè)集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,復(fù)數(shù)Z對應(yīng)點(diǎn)Z,z滿足,則( )
A.B.C.1D.2
3．已知正方形的邊長為2,若,則( )
A.2B.-2C.4D.-4
4．已知橢圓,則“”是“橢圓C的離心率為”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．過點(diǎn)的直線l與圓交于A,B兩點(diǎn),則的最小值為( )
A.B.C.D.2
6．已知公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,是等比數(shù)列,則當(dāng)取最大值時(shí),( )
A.2或3B.2C.3D.4
7．若,,則( )
A.B.C.D.
8．能被3個(gè)半徑為1的圓形紙片完全覆蓋的最大的圓的半徑是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知A,B為隨機(jī)事件,,則下列結(jié)論正確的有( )
A.若A,B為互斥事件,則
B.若A,B為互斥事件,則
C.若A,B相互獨(dú)立,則
D.若,則
10．如圖,棱長為2的正方體中,E為棱的中點(diǎn),F為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界）,且平面,則下列說法正確的有( )
A.動(dòng)點(diǎn)F軌跡的長度為
B.三棱錐體積的最小值為
C.與不可能垂直
D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),其外接球的表面積為
11．我們知道,函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的有( )
A.函數(shù)的值域?yàn)?br>B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形
C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D.若函數(shù)滿足為奇函數(shù),且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn),記為,則
三、填空題
12．已知函數(shù)滿足恒成立,且在區(qū)間上無最小值,則__________.
13．已知函數(shù)有零點(diǎn),當(dāng)取最小值時(shí),的值為__________.
四、雙空題
14．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線,的傾斜角分別為,,則__________;當(dāng)取最小值時(shí),的面積為__________.
五、解答題
15．如圖,四棱錐的底面是矩形,,,是等邊三角形,平面平面,O,F分別是,的中點(diǎn),與交于點(diǎn)E.
（1）求證：平面;
（2）平面與直線交于點(diǎn)Q,求直線與平面所成角的大小.
16．某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況,統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù),現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù),結(jié)果如下表：
（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的,稱為“經(jīng)常鍛煉”,其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請完成以下列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系;
（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”,“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計(jì)概率,在全校抽取20名同學(xué),其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X,求和;
（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”,為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣,在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談,設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期
望.
附：
17．已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）若對于任意,成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),過F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),直線AO交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,設(shè)拋物線在B點(diǎn)處的切線為l.
（1）若直線l與y軸的交點(diǎn)為E,求證：;
（2）過點(diǎn)B作l的垂線與直線交于點(diǎn)G,求證：.
19．微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑,它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期,為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù),在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷,從幾何上看,定積分便是由直線,,和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積,根據(jù)微積分基本定理可得,因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積,即,代入數(shù)據(jù),進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：.
（1）請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法,證明：;
（2）已知函數(shù),其中a,.
（i）證明：對任意兩個(gè)不相等的正數(shù),,曲線在和處的切線均不重合;
（ii）當(dāng)時(shí),若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：集合,,
則,
故.
故選：B.
2．答案：C
解析：由題意得,
所以,
故選：C.
3．答案：B
解析：
.
故選：B.
4．答案：A
解析：橢圓C的離心率為,即,若橢圓焦點(diǎn)在x軸上,
則,得,若橢圓焦點(diǎn)在y軸上,
則,得,故“”是“橢圓C的離心率為”的充分不必要條件.
故選：A.
5．答案：A
解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
所以圓心為,半徑為,所以,
所以的最小值為.
故選：A.
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：由,
得,
即,
所以,
即.
因?yàn)?
所以,
所以,
,
,
故選：D.
8．答案：C
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：BCD
解析：
12．答案：
解析：由題意可知, 是函數(shù)的最大值,
則,,
得,,
且在區(qū)間上無最小值,所以,
所以,
所以,
故答案為：.
13．答案：
解析：設(shè)的零點(diǎn)為t,則,即,
設(shè)為直線上任意一點(diǎn),
坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,因?yàn)榈皆c(diǎn)的距離,
下求h的最小值,令,則,
在為減函數(shù),在為增函數(shù),即,
此時(shí),所以l的斜率為,
（此時(shí),）.
14．答案：;
解析：
15．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：因?yàn)闉檎切?O是BC中點(diǎn),所以,
又因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,,
,
又,在平面內(nèi)且相交,故平面.
（2）E,O分別為,的中點(diǎn),,又平面過且不過,
平面.
又平面交平面于,故,進(jìn)而,
因?yàn)镕是中點(diǎn),所以Q是的中點(diǎn).
方法1：以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
設(shè)平面法向量為,由,
取,
所以
方法2：過點(diǎn)O作的垂線,垂足為H,連接.
因?yàn)榍移矫?,故有平面,
平面與平面垂直且交線為,
故平面,故直線與平面所成角
在直角三角形巾,,,
所以
因?yàn)榘朊?故,又,
所以.任直角三角形中,,,所以
在直角三角形中,所以
16．答案：（1）犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1
（2）
（3）2.1
解析：（1）列聯(lián)表
零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立,即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān);
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷不成立,即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1.
（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù),故X近似服從二項(xiàng)分布,隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率.
故
.
（3）10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”有7名男生,3名女生,Y服從超幾何分布：
,
,
故所求分布列為
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí),,
兩式相減得
因?yàn)?故.
所以,,及,,均為公差為4的等差數(shù)列：
當(dāng)時(shí),由及,得.
所以
（2）由已知,
即恒成立,設(shè),則
當(dāng),即,2時(shí),
當(dāng),即,時(shí),
所以,故,所以
18．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）設(shè)直線的方程為,,
聯(lián)立得：.
不妨設(shè)A在第一象限,B在第四象限,對于,
l的斜率為
l的方程為,即為.
令得
直線的方程為：,令得.
又,所以
即得證.
（2）方法1：過點(diǎn)B的l得垂線的方程為：,
即
則,解得G的縱坐標(biāo)為
要證明,因?yàn)锳,O,D,G三點(diǎn)共線,
只需證明：（*）.
.
所以（*）成立,得證
方法2：由,知與x軸平行
①
又的斜率為,的斜率也為,所以與平行
②
由①②得,即得證
19．答案：（1）
（2）（i）對任意實(shí)數(shù)a,b及任意不相等的正數(shù),,與均不重合
（ii）
解析：（1）在曲線取一點(diǎn).
過點(diǎn)作的切線分別交,于,
囚為
即.
（2）方法1：（i）由題意得：
不妨設(shè),曲線在處的切線方程為：,
即
同理曲線在處的切線方程為：
假設(shè)與重合,則,
代入化簡可得：
兩式消去a可得：,得到
由（1）的結(jié)論知,與上式矛盾
即：對任意實(shí)數(shù)a,b及任意不相等的正數(shù),,與均不重合.
方法2：同方法1得到
設(shè),即,
在為增函數(shù),,矛盾.
即：對任意實(shí)數(shù)a,b及任意不相等的正數(shù),,與均不重合
（ii）即：當(dāng)時(shí),不等式恒成立,
在恒成立,,
下證：當(dāng)時(shí),恒成立.
因?yàn)?所以
設(shè),
①當(dāng)時(shí),由,,知恒成立,
即在為增函數(shù),成立;
②當(dāng)時(shí),設(shè),
由知恒成立,即在為增函數(shù).
,即在為減函數(shù),成立.
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
一周參加體育鍛煉次數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
7
合計(jì)
男生人數(shù)
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人數(shù)
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合計(jì)
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性別
鍛煉
合計(jì)
不經(jīng)常
經(jīng)常
男生
女生
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性別
鍛煉
合計(jì)
不經(jīng)常
經(jīng)常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合計(jì)
21
39
60
Y
0
1
2
3
P

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