（總分150分·時(shí)間120分鐘）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為（ ）
A. 290B. 295C. 300D. 330
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. －6B. C. D. 6
3. 一個(gè)平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（ ）

A. 4B. C. D. -4
4. 設(shè)，則“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象?新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD（如圖乙），測得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（ ）

A. B. C. D.
6. 四名同學(xué)各投擲質(zhì)地均勻的骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（ ）
A. 眾數(shù)為3，極差為3B. 平均數(shù)為2，中位數(shù)為2
C. 平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2D. 中位數(shù)為3，眾數(shù)為3
7. 若，，，，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正三棱錐中，，，該三棱錐外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A B. 若，則
C. D.
10. 香囊，又名香袋?花囊，是我國古代常見的一種民間刺繡工藝品，香囊形狀多樣，如圖1所示的六面體就是其中一種，已知該六面體的所有棱長均為2，其平面展開圖如圖2所示，則下列說法正確的是（ ）
A. AB⊥DEB. 直線CD與直線EF所成的角為45°
C. 該六面體的體積為D. 該六面體內(nèi)切球的表面積是
11. 已知采用分層抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)由兩部分組成，第一部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；第二部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)，則以下命題正確的是（ ）
A. 設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則
B. 設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則
C. 設(shè)總樣本的方差為，則
D 若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某創(chuàng)業(yè)公司共有名職工，為了了解該公司職工年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了位代表，得到的數(shù)據(jù)分別為.若用樣本估計(jì)總體.則公司中年齡在內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比是__________. （其中是平均數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果精確到）
13. 在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，c=4，，且的面積為，則______．
14. 在正四棱臺中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均為2，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則四棱錐的外接球的表面積為_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 近年來，“直播帶貨”受到越來越多人喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費(fèi)的一種流行的營銷形式．某直播平臺800個(gè)直播商家，對其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．
（1）該直播平臺為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？
（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時(shí)，工作人員對抽取的40個(gè)商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問題；
（?。┕烙?jì)該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)値作代表）；
（ⅱ）若將平均日利潤超過420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．
16. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）若是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且三棱錐的體積為，求二面角的大小.
17. 在銳角中，角的對邊分別是，，，若
（1）求角的大??；
（2）若，求中線長的范圍（點(diǎn)是邊中點(diǎn)）.
18. 已知函數(shù)（，且）滿足.
（1）求a的值；
（2）求證：在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.
19. 已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m、k（），使得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對．
（1）若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對；
（2）若m＝1，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；
（3）若、，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，求的取值范圍．高一年級2023-2024學(xué)年第二學(xué)期學(xué)初學(xué)情檢測
數(shù)學(xué)試題（競賽班）
（總分150分·時(shí)間120分鐘）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360，284，290，300，188，240，260，288，則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為（ ）
A. 290B. 295C. 300D. 330
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的知識求得正確答案.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?88，240，260，284，288， 290，300，360，
，所以分位數(shù).
故選：B
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. －6B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示直接求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，解得
故選：A
3. 一個(gè)平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（ ）

A. 4B. C. D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由斜二測畫法的規(guī)則，即可得到原圖形的面積.
【詳解】
還原直觀圖為原圖形，如圖所示，
因?yàn)?，所以，還原回原圖形后，，，所以原圖形面積為.
故選：B
4. 設(shè)，則“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【詳解】 ，但，不滿足 ，所以是充分不必要條件，選A.
【考點(diǎn)】 充要條件
【名師點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件；從集合的角度看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件，若是的真子集，則是的充分不必要條件，若是的真子集，則是的必要不充分條件.
5. 冬奧會會徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象?新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD（如圖乙），測得，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)三條邊求出，利用平方關(guān)系得到，即可根據(jù)等腰三角形求解.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，
因?yàn)?，所以?br>在中，由得，
故選：C
6. 四名同學(xué)各投擲質(zhì)地均勻的骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（ ）
A. 眾數(shù)為3，極差為3B. 平均數(shù)為2，中位數(shù)為2
C. 平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2D. 中位數(shù)為3，眾數(shù)為3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)各項(xiàng)數(shù)據(jù)特征分析投擲5次對應(yīng)數(shù)據(jù)是否可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6即可.
【詳解】A：若眾數(shù)為數(shù)據(jù)中的最小值，結(jié)合極差為3，則數(shù)據(jù)中最大值為6，故可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；
B：由平均數(shù)為2，則所有數(shù)據(jù)之和為，又中位數(shù)為2，將數(shù)據(jù)從小到大排列，則前3個(gè)數(shù)據(jù)之和最小的情況為，故后2個(gè)數(shù)據(jù)之和最大為，所以不可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)6；
C：若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，平均數(shù)為2，滿足條件的情況有，則方差為，即標(biāo)準(zhǔn)差為2，故可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；
D：如滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，故可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；
故選：B
7. 若，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，結(jié)合角的范圍，即可得出，.然后根據(jù)兩角差余弦公式，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以，.
又，所以.
所以，.
故選：C.
8. 已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，，兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，結(jié)合正方體的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意，正三棱錐中，，
則，所以，同理可得，
即，，兩兩垂直，可把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，
則該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，即正方體的體對角線就是球的直徑，
所以球心位于正方體對角線的中點(diǎn),
所以三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，
所以.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確有（ ）
A. B. 若，則
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與模的定義計(jì)算后判斷AC，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法判斷B，由復(fù)數(shù)的模的定義和復(fù)數(shù)相等的定義判斷D．
【詳解】設(shè)，
則，，A正確；
當(dāng)時(shí)，，因此B錯(cuò)誤；
，
，C正確；
時(shí)，，，D錯(cuò)．
故選：AC．
10. 香囊，又名香袋?花囊，是我國古代常見的一種民間刺繡工藝品，香囊形狀多樣，如圖1所示的六面體就是其中一種，已知該六面體的所有棱長均為2，其平面展開圖如圖2所示，則下列說法正確的是（ ）
A. AB⊥DEB. 直線CD與直線EF所成的角為45°
C. 該六面體的體積為D. 該六面體內(nèi)切球的表面積是
【答案】AD
【解析】
【分析】對應(yīng)展開圖的各點(diǎn)，標(biāo)出立體圖形的各頂點(diǎn).利用線面垂直，可以得到線線垂直；與分別為正三角形的邊，其所成的角為；把幾何體分割成二個(gè)四面體求體積；計(jì)算內(nèi)切球的半徑，就可以求內(nèi)切球的表面積.
【詳解】由題知，所給六面體由兩個(gè)同底面的正四面體組成，將題圖2的平面展開圖還原為直觀圖后如下圖所示，其中四點(diǎn)重合.
對于A：
取的中點(diǎn)，連接，則.
又
平面
又平面
故正確.
對于B：
由圖可知，與分別為正三角形的邊，其所成的角為
故錯(cuò)誤.
對于C：
連接，過點(diǎn)作平面，則垂足在上，且，
該六面體的體積
故C錯(cuò)誤.
對于D：
該六面體的各棱長相等
其內(nèi)切球的球心必在公共面上
又為正三角形
點(diǎn)即為該六面體內(nèi)切球的球心，且該球與相切
過點(diǎn)作，則就是內(nèi)切球的半徑.
在Rt中，
該內(nèi)切球的表面積為
故D正確
故選：AD.
11. 已知采用分層抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)由兩部分組成，第一部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；第二部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)，則以下命題正確的是（ ）
A. 設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則
B. 設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則
C. 設(shè)總樣本的方差為，則
D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由放縮可得；
對于B選項(xiàng)，舉例說明B不正確；
對于C選項(xiàng)，舉例說明C不正確；
對于D選項(xiàng)，若，代入總體方差計(jì)算公式，可得.
【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所?br>，即，A正確；
對于B選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，B不正確；
對于C選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，
取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，
，C不正確；
對于D選項(xiàng)，若，則，D正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某創(chuàng)業(yè)公司共有名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了位代表，得到的數(shù)據(jù)分別為.若用樣本估計(jì)總體.則公司中年齡在內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比是__________. （其中是平均數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果精確到）
【答案】
【解析】
【分析】先求得平均數(shù)和方程，根據(jù)題意求得正確答案.
【詳解】因?yàn)椋? ，即，
，
所以年齡在內(nèi)的人數(shù)為，
所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比約為.
故答案為：
13. 在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，c=4，，且的面積為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式求出，再由余弦定理的變形即可得出.
【詳解】由，且，可得，
，解得，
，，
可得，
代入，即，
故答案為：
14. 在正四棱臺中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均為2，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則四棱錐的外接球的表面積為_________.
【答案】
【解析】
【分析】先確定四棱錐為正四棱錐，則其外接球的球心O在直線上，由勾股定理可得半徑，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)樗睦馀_為正四棱臺，
直線與直線的交點(diǎn)為，所以四棱錐為正四棱錐，
得平面，四棱錐的外接球的球心O在直線上，連接，
設(shè)該外接球的半徑為，由，，
所以，則，
即，解得，
則四棱錐外接球的表面積為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費(fèi)的一種流行的營銷形式．某直播平臺800個(gè)直播商家，對其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．
（1）該直播平臺為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？
（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時(shí)，工作人員對抽取的40個(gè)商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問題；
（?。┕烙?jì)該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)値作代表）；
（ⅱ）若將平均日利潤超過420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）小吃類16家，玩具類4家；
（2）（i）中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5；
（2）128.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；
（ii）根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.
【小問1詳解】
，，
所以應(yīng)抽取小吃類16家，玩具類4家.
【小問2詳解】
（i）根據(jù)題意可得，解得，
設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以，解得?br>平均數(shù)為，
所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.
（ii）,
所以估計(jì)該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為128.
16. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）若是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且三棱錐的體積為，求二面角的大小.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件證得平面即可得解；
（2）根據(jù)三棱錐的體積求得，可得，作輔助線作于，作于，連，利用定義法找到二面角的平面角，再求得相關(guān)線段長，解三角形可得答案.
【小問1詳解】
在三棱錐中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
且，則，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以.
【小問2詳解】
因是邊長為的等邊三角形，所以，則，

因平面，所以為三棱錐的高，設(shè)為，
所以，，
所以，即有，所以，
作于，作于，連，則，
因?yàn)槠矫妫?所以平面，
平面，則，因?yàn)椋?br>平面，所以平面，
而平面，故，
則為二面角的平面角.
又，所以，
在中，，，所以，
由知，故，所以，即,
∴，從而，
又因?yàn)樵谥?，，所以為等腰直角三角形?br>所以，即二面角的大小為.
17. 在銳角中，角的對邊分別是，，，若
（1）求角的大??；
（2）若，求中線長的范圍（點(diǎn)是邊中點(diǎn)）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，可得到，從而求出結(jié)果；
（2）先利用向量的中線公式得到，再利用正、余弦定理及條件求出的范圍，進(jìn)而求出結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>即，所以，
因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，所以，兩邊平方可得:
，
所以，
因?yàn)?，又，?br>所以,
又因?yàn)闉殇J角三角形， 所以，，得到，
所以，由的圖像與性質(zhì)知，，
所以，所以，得到
故.
18. 已知函數(shù)（，且）滿足.
（1）求a的值；
（2）求證：在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由題可得，即求；
（2）分類討論結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，利用對數(shù)的運(yùn)算可得，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)即得.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
即，
解得
【小問2詳解】
由題意可知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷.
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)椋?br>所以.
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，存在，使得，
所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在上沒有零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在上沒有零點(diǎn).
綜上所述，在定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?，?
所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，
即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對分類討論時(shí)，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn).
19. 已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m、k（），使得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對．
（1）若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對；
（2）若m＝1，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；
（3）若、，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）是 （3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)“平衡數(shù)對”定義建立方程，根據(jù)恒成立求解即可；
(2) 時(shí),判斷是否存在使等式恒成立，利用三角函數(shù)化簡求解即可；
(3)根據(jù)“平衡數(shù)對”的定義將用關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá),再利用三角函數(shù)的取值范圍求解即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知,對于任意實(shí)數(shù),,
即,即對于任意實(shí)數(shù)恒成立,
只有,,故函數(shù)的“平衡”數(shù)對為,
【小問2詳解】
若,則,
,
要使得為“可平衡”函數(shù),需使對于任意實(shí)數(shù)均成立,只有,
此時(shí),,故存在,所以是“可平衡”函數(shù).
【小問3詳解】
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，對于定義域內(nèi)任意均有
則
均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，
，函數(shù)單調(diào)遞增，
即的取范圍為

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