考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. ）
1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 已知樣本數(shù)據(jù) 均值為3，則樣本數(shù)據(jù) 的均值為 （ ）
A. B. 6C. 7D. 12
3. 已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則 的值為 （ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
4. 已知冪函數(shù) 為偶函數(shù)，則 （ ）
A. 1B. C. 3D.
5. 直線與拋物線交于 兩點(diǎn)，則 （ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
6. 已知且 ，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
7. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知 ，則點(diǎn) 到直線 的距離是（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，過雙曲線右焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線的左支于點(diǎn). 若，則雙曲線的離心率為（ ）
A B. C. D.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（ ）
A. 圓與圓有4條公切線B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 最大值為
10. 已知函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于 結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
D. 的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù) 圖象
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn). 則 （ ）
A. 與平面相交于點(diǎn)B.
C. 直線與直線所成角的范圍是D. 三棱錐的體積為定值是
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分. ）
12. 假設(shè) ，且與 相互獨(dú)立，則 ________________.
13. 已知橢圓短軸長(zhǎng)為4，焦距為，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為 上的任意一點(diǎn)，的最小值為_____________________.
14. 2024央視春晚魔術(shù)表演的背景是約瑟夫問題，這是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言可描述為：將數(shù)字 順時(shí)針排列在圓周上，首先取走數(shù)字2，然后按照順時(shí)針方向，每隔一個(gè)數(shù)字就取走一個(gè)數(shù)字，……直到圓周上只剩下一個(gè)數(shù)字，將這個(gè)數(shù)字記為 . 例如 時(shí)，操作可知 ，則 _____________________.
四、解答題（本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）
15. 已知集合 .
（1）若 ，求 ;
（2）若“ ”是“ ”充分不必要條件，求實(shí)數(shù) 取值范圍.
16. 已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ，且 .
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）若 ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
17. 如圖，在幾何體中，底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，平面.
（1）證明：平面 ；
（2）求二面角的大小.
18. 已知圓 ，過定點(diǎn) 作與 軸不重合的直線 交曲線 于 兩點(diǎn).
（1）過點(diǎn)作與直線 垂直的直線 交曲線 于、兩點(diǎn)，求四邊形 面積的最大值；
（2）設(shè)曲線 與 軸交于 兩點(diǎn)，直線 與直線 相交于點(diǎn) ，試討論點(diǎn) 是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.
19. 歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線.
已知圖乙中，橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由 發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到 經(jīng)過的路程為 .
（1）點(diǎn) 是橢圓 上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓 在點(diǎn) 處的切線為在 上的射影 滿足，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓 的方程；
（2）在: （1）的條件下，設(shè)橢圓 上頂點(diǎn)為 ，點(diǎn) 為 軸上不同于橢圓頂點(diǎn)的點(diǎn)，且，直線 分別與橢圓 交于點(diǎn) （異于點(diǎn) ），，垂足為 ，求 的最小值.2023——2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)
數(shù)學(xué)試題
考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. ）
1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出復(fù)數(shù)，再確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.
【詳解】因?yàn)?，故?duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限.
故選：B
2. 已知樣本數(shù)據(jù) 的均值為3，則樣本數(shù)據(jù) 的均值為 （ ）
A. B. 6C. 7D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù) 的均值為，
所求樣本數(shù)據(jù)的均值為.
故選：C.
3. 已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則 的值為 （ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)計(jì)算即可.
【詳解】∵成等比數(shù)列，
∴，則，可得.
故選：A.
4. 已知冪函數(shù) 為偶函數(shù)，則 （ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和偶函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，
所以得 或 ，
又因?yàn)?是偶函數(shù)，所以 .
故選：D
5. 直線與拋物線交于 兩點(diǎn)，則 （ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理可得，又因?yàn)閽佄锞€ 的焦點(diǎn)在直線上，由拋物線的焦半徑公式求解即可.
【詳解】聯(lián)立，消去可得，
設(shè)，，
所以，
又因?yàn)閽佄锞€ 的焦點(diǎn)在直線上，
.
故選：B.
6. 已知且 ，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】若滿足條件，則每一段上都為增函數(shù)，且在分界點(diǎn)處的函數(shù)值前一段的函數(shù)值不大于后一段的函數(shù)值，求解即可.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：D.
7. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知 ，則點(diǎn) 到直線 的距離是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量法求出點(diǎn)到直線距離即可.
【詳解】，，
.
故選：A.
8. 如圖，過雙曲線的右焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線的左支于點(diǎn). 若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出的長(zhǎng)，再利用雙曲線定義和余弦定理求解即可.
【詳解】取雙曲線左焦點(diǎn)為，連接，
由與圓相切于點(diǎn)得，，
令雙曲線的焦距為，則，
由得，
由雙曲線的定義得，，
在中，；
在中，由余弦定理得，整理得，即，所以，
所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解雙曲線的離心率的方法如下:
(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（ ）
A. 圓與圓有4條公切線B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由兩圓的位置關(guān)系即可判斷ABC，當(dāng)與圓相切時(shí)最大，即可判斷D
【詳解】
因?yàn)閳A心，半徑，
圓，即圓心，半徑，
則，所以兩圓外離，所以兩圓有四條公切線，正確；
，，故錯(cuò)誤，C正確：
當(dāng)與圓相切時(shí)最大，且，，
則，所以最大值為，故正確.
故選：ACD
10. 已知函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于 的結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
D. 的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù) 圖象
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、三角函數(shù)圖象變換等知識(shí)確定結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng).
【詳解】由圖可知，， ，
將點(diǎn) 代入，
由于，所以，
所以，故 A正確：
，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤：
得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確：
，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn). 則 （ ）
A. 與平面相交于點(diǎn)B.
C. 直線與直線所成角的范圍是D. 三棱錐的體積為定值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由平面即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由平面即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，過點(diǎn)作，則 ，直線與直線所成角為，由，即可判斷選項(xiàng)；對(duì)于選項(xiàng)D，平面，由即可得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?且平面，
所以平面，又因?yàn)槠矫?，，故正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，直線與直線所成角為；
當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)G，則 ，
所以直線與直線所成角為，
在中 ，
當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，越來越大，
故 ;
綜上：直線與直線所成角的范圍是，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面?br>所以 ，故正確.
故選：BCD.
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分. ）
12. 假設(shè) ，且與 相互獨(dú)立，則 ________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用和事件及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，且與 相互獨(dú)立，
所以，
故答案為：.
13. 已知橢圓短軸長(zhǎng)為4，焦距為，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為 上的任意一點(diǎn)，的最小值為_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓定義，，則，利用基本不等式求解即可.
【詳解】，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
的最小值為，
故答案為：.
14. 2024央視春晚魔術(shù)表演的背景是約瑟夫問題，這是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言可描述為：將數(shù)字 順時(shí)針排列在圓周上，首先取走數(shù)字2，然后按照順時(shí)針方向，每隔一個(gè)數(shù)字就取走一個(gè)數(shù)字，……直到圓周上只剩下一個(gè)數(shù)字，將這個(gè)數(shù)字記為 . 例如 時(shí)，操作可知 ，則 _____________________.
【答案】65
【解析】
【分析】探索，，，，的關(guān)系，確定的值.
【詳解】由題意，圓周上順時(shí)針排列時(shí)，可得，就是這個(gè)數(shù)中的第個(gè)；
當(dāng)圓周上順時(shí)針排列時(shí)，第一輪操作將劃去所有偶數(shù)，留下共個(gè)數(shù)，它們的第個(gè)數(shù)是，所以，是這個(gè)數(shù)中的第個(gè)；
當(dāng)圓周上順時(shí)針排列時(shí)，第一輪操作將劃去所有偶數(shù)，留下共個(gè)數(shù)，它們的第個(gè)數(shù)是，所以，是這個(gè)數(shù)中的第個(gè)；
當(dāng)圓周上順時(shí)針排列時(shí)，第一輪操作將劃去所有偶數(shù)，留下共個(gè)數(shù)，它們的第個(gè)數(shù)是，所以，是這個(gè)數(shù)中的第個(gè)；
當(dāng)圓周上順時(shí)針排列時(shí)，第一輪操作將劃去所有偶數(shù)，留下共個(gè)數(shù)，它們的第個(gè)數(shù)是，所以.
故答案為：
四、解答題（本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）
15. 已知集合 .
（1）若 ，求 ;
（2）若“ ”是“ ”充分不必要條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合的交集，補(bǔ)集運(yùn)算即可求解；
（2）將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系，即可列不等式組求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以或
【小問2詳解】
因?yàn)椤?”是“ ”充分不必要條件，
所以?
時(shí)，，所以；
時(shí)， ，所以 ，
綜上，取值范圍是
16. 已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ，且 .
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）若 ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列前項(xiàng)的和.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，用代替，可得：
兩式相減得：，
又，
所以 是以3為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，所以 .
【小問2詳解】
，
所以：

兩式相減得：，
所以： .
17. 如圖，在幾何體中，底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，平面.
（1）證明：平面 ；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；
（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【小問1詳解】
正方形，，
又平面，，
又，平面，平面
【小問2詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系
所以，
，設(shè) 為平面的一個(gè)法向量，
則，即，令，則，
所以
設(shè) 為平面的一個(gè)法向量，
，
則，即，令，則，
平面法向量為，
計(jì)算得，所以二面角 的大小為.
18. 已知圓 ，過定點(diǎn) 作與 軸不重合的直線 交曲線 于 兩點(diǎn).
（1）過點(diǎn)作與直線 垂直的直線 交曲線 于、兩點(diǎn)，求四邊形 面積的最大值；
（2）設(shè)曲線 與 軸交于 兩點(diǎn)，直線 與直線 相交于點(diǎn) ，試討論點(diǎn) 是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.
【答案】（1）
（2）點(diǎn) 在定直線上，定直線為
【解析】
【分析】（1）方法一：設(shè)點(diǎn)到直線 距離分別為 ，結(jié)合弦長(zhǎng)公式與基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；方法二：設(shè)直線，分別表示出，分與討論，然后結(jié)合四邊形的面積公式計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，即可證明.
【小問1詳解】
法一：令點(diǎn)到直線 距離分別為 ，則 ，
，
，
當(dāng)且僅 時(shí)取到最大值7，
法二：令，則 ，
當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 取到最大值7，
當(dāng)時(shí)，
綜上，當(dāng) 時(shí) 取到最大值7，
【小問2詳解】
不妨記 ，令 ，
，
恒成立，，
，
，
，所以點(diǎn)恒在定直線 上.
19. 歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線.
已知圖乙中，橢圓 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由 發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到 經(jīng)過的路程為 .
（1）點(diǎn) 是橢圓 上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓 在點(diǎn) 處的切線為在 上的射影 滿足，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓 的方程；
（2）在: （1）的條件下，設(shè)橢圓 上頂點(diǎn)為 ，點(diǎn) 為 軸上不同于橢圓頂點(diǎn)的點(diǎn)，且，直線 分別與橢圓 交于點(diǎn) （異于點(diǎn) ），，垂足為 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，利用，求出，進(jìn)而得到橢圓方程.
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與 ，結(jié)合題干，得到點(diǎn)軌跡，求得的最小值.
【小問1詳解】
由題知 ，
延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，
在中，，
則且為中點(diǎn)，
在中，，則，
，即橢圓方程為.
【小問2詳解】
由對(duì)稱性可知直線 的斜率不為0，所以可設(shè)直線，
聯(lián)立直線與 ，
則，①
，②
所以 ，令 ，得點(diǎn)橫坐標(biāo) ，
同理可得點(diǎn) 橫坐標(biāo) ，
故，
將 代入上式整理得：，
將②代入得 ，
若 ，則直線 ，恒過 不合題意；
若 ，則，恒過 ，
因?yàn)橹本€ 恒過 ，且與 始終有兩個(gè)交點(diǎn)，
又，垂足為 ，
所以點(diǎn) 軌跡是以 為直徑的半圓（不含點(diǎn) ，在直線 下方部分），
圓心 ，半徑為1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) 在線段 上時(shí)，
所以的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問，設(shè)直線，聯(lián)立直線與 ，結(jié)合題干，得到點(diǎn)軌跡，求得的最小值.

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