第I卷（選擇題 共58分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】因為，
所以，
所以.
故選：B
2. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故選：A.
3. “，”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由可得，由可得，由可得，
所以由“，”推得出“”，故充分性成立；
由“”推不出“，”，
如，，滿足，但是，故必要性不成立；
所以“，”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知單位向量，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 向量在向量上的投影向量為D.
【答案】D
【解析】單位向量，滿足，
則，所以，
所以，又，所以，故A錯誤；
，故B錯誤；
因為，
所以向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；
因為，所以，故D正確.
故選：D.
5. 函數(shù)是（ ）
A. 偶函數(shù)，且最小值為－2
B. 偶函數(shù)，且最大值為2
C. 周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增
D. 非周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】定義域為，關(guān)于原點對稱，
，
所以為偶函數(shù)，又，
令，，，
當(dāng)時，即，有最小值，最小值為，
當(dāng)時，即時，有最大值，最大值為2，故A錯誤，故B正確；
因為，所以為周期函數(shù)，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上先減后增，在上單調(diào)遞增；
故C，D錯誤，
故選：B.
6. 印度數(shù)學(xué)家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊寫有3025的一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫著30，另一半上寫著25.這時，他發(fā)現(xiàn)，，即將劈成兩半的數(shù)加起來，再平方，正好是原來的數(shù)字.數(shù)學(xué)家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱之為雷劈數(shù)（或卡普列加數(shù)）.則在下列數(shù)組：92，81，52，40，21，14中隨機(jī)選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)的概率是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】因為，所以是雷劈數(shù).其余的不是雷劈數(shù).
記： “從6個數(shù)中隨機(jī)選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)”為事件，
則.
故選：C.
7. 已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；
此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無最大值，所以；
因為函數(shù)的值域為，所以，結(jié)合得.
若，則的值域為；
若，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（）；
在上，函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無最大值，所以；
所以函數(shù)的值域不可能為；
若，則函數(shù)在上，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（）；
在上，函數(shù)單調(diào)遞增，，
此時函數(shù)的值域不可能為.
綜上可知：當(dāng)時，函數(shù)的值域為.
故選：D.
8. 記正項數(shù)列的前項積為，已知，若，則的最小值是（ ）
A. 999B. 1000C. 1001D. 1002
【答案】C
【解析】∵為正項數(shù)列的前項積， ，
∴當(dāng)時，，
時，，又，
∴，即，
∴是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，且.
由，得
若，則，∴
所以，正整數(shù)的最小值為1001.
故選：C.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：；乙組數(shù)據(jù)為：，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則下列說法一定正確的是（ ）
A. 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B. 乙組數(shù)據(jù)的極差為
C. 乙組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為D. 乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為
【答案】ABC
【解析】不妨設(shè)甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，
則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，
因為甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，
則，又，所以，
所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；
乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；
乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故C正確；
乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯誤.
故選：ABC.
10. 在三棱臺中，側(cè)面是等腰梯形且與底面垂直，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.
C.
D. 三棱臺的體積為
【答案】ABD
【解析】如圖：
對于A：在中，,，所以，即.
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，故A正確；
對于B：因為，，且∽，所以.
又三棱錐和 高相同，所以，故B正確；
對于C：因為，所以，所以，即，故C錯誤；
對于D：因為三棱臺的高為1，所以三棱臺的體積為：，故D正確.
故選：ABD
11. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】對A：令，則；
令，則.所以，故A正確；
對B：因為，
兩邊求導(dǎo)，得即；
因數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以，故成立，故B正確；
對C：因為，
所以，未必為0，故C錯誤；
對D：因為，令，則，故D正確.
故選：ABD.
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，則=_____________．
【答案】
【解析】聯(lián)立，得，因此．
13. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為、，過且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為_________.
【答案】
【解析】由題可得：，又為等邊三角形，
由橢圓的對稱性可得：，又，
計算可得：,，
由橢圓定義可得：，
整理得：，
所以．
14. 現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫了一封信，然后都投到同一個郵箱里.若甲、乙、丙3位同學(xué)分別從郵箱里隨機(jī)抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是__________（用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】設(shè)甲、乙、丙位同學(xué)的信件分別為、、，
若、、都沒有取到，則有種不同的取法；
若、、取到一個，則有種不同的取法；
若、、取到兩個，則有種不同的取法；
若、、取到三個，則有種不同的取法；
綜上可得一共有種不同的取法.
四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，.
（1）求的面積；
（2）若，求.
解：（1）因為，，
由正弦定理可得，所以，
所以；
（2）因為，又，，
所以，所以，則，
由正弦定理可得，又，
所以，顯然，所以，則，
又，所以.
16. 如圖，四棱錐的底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）取的中點，連接，因為，，
所以，
又四棱錐的底面是正方形，所以，設(shè)到平面的距離為，
則，所以，
所以，即平面，又平面，所以平面平面；

（2）取的中點，連接，則，即，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
又平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)存在兩個零點，，且，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）因為，
所以，，則，
所以函數(shù)在處的切線方程為；
（2）函數(shù)的定義域為，
且，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）因為，必有一個零點為，
由（1）可得，當(dāng)時只有一個零點，不符合題意；
當(dāng)時，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
顯然，
當(dāng)時，則，，，
所以，
所以在上存在一個零點，
此時有兩個零點，（不妨令），且，，即，滿足；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在不存在零點，且一個零點為，則另一零點不可能大于，
此時不滿足，故舍去；
綜上可得實數(shù)的取值范圍為.
18. 密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.
（1）在某個游戲環(huán)節(jié)中，需隨機(jī)選擇兩名玩家進(jìn)行對抗，若是同級的玩家對抗，雙方獲勝的概率均為；若是資深玩家與新手玩家對抗，新手玩家獲勝的概率為，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；
（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號分別為①和②.密室①有2個門，密室②有3個門（每個門都可以雙向開），甲在每個密室隨機(jī)選擇1個門出去，若走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號為，求的分布列.
解：（1）7人中隨機(jī)選擇2人，共有種情況，其中含甲的情況有種，
6種情況中，甲和資深玩家對抗的情況有3種，和同級的玩家對抗情況有3種，
則甲和資深玩家對抗并獲勝的概率為，
和同級的玩家對抗并獲勝的概率為，
故在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率為；
（2）設(shè)為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，
為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，
考慮，需考慮甲直接從號門走出密室或者進(jìn)入密室②且最終從密室①走出密室，
故①，
考慮，則甲從號門進(jìn)行密室①，且從密室①走出密室，
故②，
聯(lián)立①②，可得，
所以，故，
故分布列如下：
19. 已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，
（i）當(dāng)，時，求證：；
（ii）求.
解：（1）當(dāng)時，.
當(dāng)時，，，
兩式相減得：.
所以是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以.
當(dāng)時，上式也成立.
所以數(shù)列的通項公式為：
（2）由題意：，
（i）當(dāng)，時，，，
.
因為，
因為，所以，
所以：.
（ii）因為，所以.
，
所以
設(shè)，
則
兩式相減得：，
所以.
即.1
2

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