一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把答題卡上相應(yīng)題目的正確選項(xiàng)涂黑．
1. 的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)倒數(shù)的概念，乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，由此即可求解．
【詳解】解：的倒數(shù)是，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，掌握倒數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
2. 生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了某種花粉的直徑約為毫米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可以把一個(gè)絕對(duì)值小于1非零數(shù)表示成，其中，n是一個(gè)負(fù)整數(shù)，n的絕對(duì)值等于原數(shù)中的第一個(gè)非零數(shù)字前面所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的那個(gè)零），即可解答．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)，熟知概念是解題的關(guān)鍵．
3. 下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)可判斷A，根據(jù)完全平方公式可判斷B，根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式可判斷C，根據(jù)積的乘方與冪的乘方運(yùn)算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，不是同類項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，故D符合題意；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類項(xiàng)，完全平方公式的應(yīng)用，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，積的乘方與冪的乘方運(yùn)算的含義，熟記基礎(chǔ)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
4. 如圖，中，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理，即可解答．
【詳解】解：，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的等邊對(duì)等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．
5. 已知一組數(shù)據(jù)為2，3，4，5，6，則該組數(shù)據(jù)方差為（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先計(jì)算這組平均數(shù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方差公式，熟記方差公式是解題的關(guān)鍵．
6. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根．
7. 已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】將方程組的兩個(gè)方程相減，可得到，代入，即可解答．
【詳解】解：，
得，
，
代入，可得，
解得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．
8. 由相同小正方體搭成的立體圖形的部分視圖如圖所示，則搭成該立體圖形的小正方體的最少個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)俯視圖可得底層最少有6個(gè)，再結(jié)合左視圖可得第二層最少有2個(gè)，即可解答．
【詳解】解：根據(jù)俯視圖可得搭成該立體圖形的小正方體第三層最少為6個(gè)，
根據(jù)左視圖第二層有2個(gè)，可得搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為2個(gè)，
根據(jù)左視圖第二層有1個(gè)，可得搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為1個(gè)，
故搭成該立體圖形的小正方體第二層最少為個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷小立方體的個(gè)數(shù)，準(zhǔn)確地得出每層最少的小正方體個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
9. 關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個(gè)，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解共有4個(gè)，確定出m的范圍即可．
【詳解】解：，
由②得：，
解集為，
由不等式組的整數(shù)解只有4個(gè)，得到整數(shù)解為2，1，0，，
∴，
∴；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)不等式組的解集得到是解此題的關(guān)鍵．
10. 如圖，切于點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如圖，連接，證明，，可得，從而可得．
【詳解】解：如圖，連接，

∵切于點(diǎn)B，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
11. 如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)開口向上，與y軸交于y軸負(fù)半軸，，根據(jù)對(duì)稱軸為直線可得，由此即可判斷①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而得到當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷②；根據(jù)時(shí)，，即可判斷③；利用圖象法即可判斷④．
【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向上，與y軸交于y軸負(fù)半軸，
∴，
∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，故②正確；
∵時(shí)，，
∴，
∴，即，故③正確；
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，故④正確；
綜上所述，其中正確的結(jié)論有①②③④共4個(gè)，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)F，使，連結(jié)，交于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連結(jié)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長度變化而變化，不固定，可 判斷②不一定成立．
【詳解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正確；

又∵,,
∴,
∴，
∵，即：，
∴，
∴，故③正確，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正確，
∵若，則，
又∵，
∴，
而點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，隨著長度變化而變化，不固定，
而，
則故不一定成立，故②錯(cuò)誤；
綜上，正確的有①③④共3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形＂三線合一＂的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
第Ⅱ卷（非選擇題 共102分）
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將正確答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，然后利用完全平方式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：

，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．
14. 已知方程的根為，則的值為____________．
【答案】6
【解析】
【分析】解方程，將解得的代入即可解答．
【詳解】解：，
對(duì)左邊式子因式分解，可得
解得，，
將，代入，
可得原式，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，中，是中線，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于長為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)M，N．直線交于點(diǎn)E．連接交于點(diǎn)F．過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G．若，則的長為____________．
【答案】
【解析】
【分析】由作圖方法可知是線段的垂直平分線，則是的中線，進(jìn)而得到點(diǎn)F是的重心，則，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，則．
【詳解】解：由作圖方法可知是線段的垂直平分線，
∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴是的中線，
又∵是的中線，且與交于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)F是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，推出點(diǎn)F是的重心是解題的關(guān)鍵．
16. 關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是____________．
【答案】且
【解析】
【分析】解分式方程，可用表示，再根據(jù)題意得到關(guān)于的一元一次不等式即可解答．
【詳解】解：解，可得，
的方程的解為非負(fù)數(shù)，
，
解得，
，
，
即，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．
17. 一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．
【答案】##
【解析】
【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用特殊角的三角函數(shù)值，列方程即可解答．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
由題意可知,，
設(shè)為x，
，，
根據(jù)，可得方程，
解得，
漁船與燈塔C的最短距離是海里，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解解直角三角形-方位角問題，熟知特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________

【答案】或．
【解析】
【分析】如圖，由是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點(diǎn)，當(dāng)重合時(shí)，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過作軸于，延長交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．
【詳解】解：如圖，∵是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴在以為直徑的圓上，，
∴是圓與直線的交點(diǎn)，

當(dāng)重合時(shí)，
∵，則，
∴，符合題意，
∴，
當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過作軸于，延長交于，則，，
∴，

∵，，
∴，
∴，
∴，設(shè)，
∴，，
而，
∴，
解得：，則，
∴，
∴；
綜上：或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共78分．請(qǐng)把解答過程寫在答題卡相應(yīng)的位置上．
19. 計(jì)算：
【答案】6
【解析】
【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
20. 先化簡(jiǎn)：，再從選擇中一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【答案】；1
【解析】
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．
【詳解】解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
21. 某校為落實(shí)“雙減”工作，推行“五育并舉”，計(jì)劃成立五個(gè)興趣活動(dòng)小組（每個(gè)學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小組）：A．音樂，B．美術(shù)，C．體育，D．閱讀，E．人工智能，為了解學(xué)生對(duì)以上興趣活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
根據(jù)圖中信息，完成下列問題：
（1）①補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角的度數(shù)為____________．
（2）若該校有3600名學(xué)生，估計(jì)該校參加E組（人工智能）的學(xué)生人數(shù)；
（3）該學(xué)校從E組中挑選出了表現(xiàn)最好的兩名男生和兩名女生，計(jì)劃從這四位同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年人工智能競(jìng)賽，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見解析；②；
（2）人；
（3）；
【解析】
【分析】（1）①先求解總?cè)藬?shù)，再求解D組人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；②由乘以D組的占比即可得到圓心角的大?。?br>（2）由3600乘以E組人數(shù)的占比即可；
（3）畫出樹狀圖，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合題意的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式，即可求解．
【小問1詳解】
解：①由題意可得：總?cè)藬?shù)為：（人），
∴D組人數(shù)為：（人），
補(bǔ)全圖形如下：
②由題意可得：；
【小問2詳解】
該校有3600名學(xué)生，估計(jì)該校參加E組（人工智能）的學(xué)生人數(shù)有：
（人）；
【小問3詳解】
記A，B表示男生，C，D表示女生，畫樹狀圖如圖：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到一名男生一名女生的有8種結(jié)果，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了從統(tǒng)計(jì)圖與扇形圖中獲取信息，利用樣本估計(jì)總體，利用畫樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22. 如圖，中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F．

（1）求證：；
（2）點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，滿足，交于點(diǎn)H，若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，推出，即可解答；
（2）通過平行四邊形的性質(zhì)證明，再通過（1）中的結(jié)論得到，最后證明，利用對(duì)應(yīng)線段比相等，列方程即可解答．
【小問1詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
∴，
；
【小問2詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
設(shè),則，
可得方程，
解得，
即的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
23. 習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得矛盾文學(xué)獎(jiǎng)的甲、乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元，購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．
（1）求甲，乙兩種書的單價(jià)分別為多少元：
（2）若學(xué)校決定購買以上兩種書的總費(fèi)用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？
【答案】（1）甲種書的單價(jià)為35元，乙種書的單價(jià)為30元
（2）該校最多可以購買甲種書40本
【解析】
【分析】（1）設(shè)甲種書的單價(jià)為x元，乙種書的單價(jià)為y元，利用2本甲種書的價(jià)格1本乙種書的價(jià)格；3本甲種書的價(jià)格2本乙種書的價(jià)格，列方程解答即可；
（2）設(shè)購買甲種書本，則購買乙種書本，根據(jù)購買甲種書的總價(jià)購買乙種書的總價(jià)，列不等式解答即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲種書的單價(jià)為x元，乙種書的單價(jià)為y元，
可得方程，
解得，
原方程的解為，
答：甲種書的單價(jià)為35元，乙種書的單價(jià)為30元．
【小問2詳解】
解：設(shè)購買甲種書本，則購買乙種書本，
根據(jù)題意可得，
解得，
故該校最多可以購買甲種書40本，
答：該校最多可以購買甲種書40本．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，列出正確的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式：
（2）當(dāng)時(shí)，直接寫出x的取值范圍；
（3）在雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【小問1詳解】
解：把，代入中得：，
∴，
∴直線的解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式；
【小問2詳解】
解：聯(lián)立，解得或，
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴當(dāng)時(shí)，或；
【小問3詳解】
解：如圖所示，設(shè)直線交y軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，，，
∵是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，正確利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)E．平分，過點(diǎn)E作于點(diǎn)D，延長交的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，證明，即可解答；
（2）根據(jù)，可得，求出的長，再利用勾股定理得的長，即可得到的長，最后證明，即可解答．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，
，
，
平分，
，
，
，
,
,
是的切線；
【小問2詳解】
解：設(shè)，則，
，解得，
，
，
根據(jù)勾股定理可得，,
，
直徑，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正弦的概念，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上時(shí)，連接交于點(diǎn)D．如圖1．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)M，連接，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；的最大值為
（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，得出，根據(jù)軸，得出，根據(jù)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和最大值即可；
（3）證明，得出，設(shè)，，得出，，根據(jù)，得出，求出或或，根據(jù)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P、M、C、四點(diǎn)重合，不存在舍去，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，．
【小問1詳解】
解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
【小問2詳解】
解：過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，如圖所示：
設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
∵點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，
∴，
∵軸，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【小問3詳解】
解：根據(jù)折疊可知，，，，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，，
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴或，
解得：或或，
∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P、M、C、四點(diǎn)重合，不存在，
∴，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出輔助線或畫出圖形．

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