新高考數(shù)學一輪復習微專題專練25平面向量的數(shù)量積及其應用（含詳解）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題
1．已知兩個單位向量e1，e2的夾角為60°，向量m＝5e1－2e2，則|m|＝( )
A． eq \r(19) B． eq \r(21) C．2 eq \r(5) D．7
2．[2022·全國乙卷(文)，3] 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(3，t)，| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝1，則 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
4．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
5．[2022·全國乙卷(理)，3]已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，|a－2b|＝3，則a·b＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．[2023·新課標Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，則 eq \f(1,x) ＋ eq \f(4,y) 的最小值為( )
A．4 B．9 D．8 D．10
8．已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
9．已知向量| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝2，| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝4， eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝4，則以 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) 為一組鄰邊的平行四邊形的面積為( )
A．4 eq \r(3) B．2 eq \r(3) C．4 D．2
二、填空題
10．已知|a|＝ eq \r(2) ，|b|＝1，a與b的夾角為45°，若tb－a與a垂直，則實數(shù)t＝________．
11．[2023·新課標Ⅱ卷]已知向量a，b滿足|a－b|＝ eq \r(3) ，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．
12．[2022·全國甲卷(理)，13]設向量a，b的夾角的余弦值為 eq \f(1,3) ，且|a|＝1，|b|＝3，則(2a＋b)·b＝________．
[能力提升]
13．(多選)[2021·全國新高考Ⅰ卷]已知O為坐標原點，點P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，則( )
14．(多選)[2023·山東省臨沂質(zhì)量檢測]在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況(如圖).假設行李包所受的重力為G，所受的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|且F1與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是( )
A．|F1|的最小值為 eq \f(1,2) |G|
B．θ的范圍為[0，π]
C．當θ＝ eq \f(π,2) 時，|F1|＝ eq \f(\r(2),2) |G|
D．當θ＝ eq \f(2π,3) 時，|F1|＝|G|
15．[2023·全國乙卷(理)]已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PO)) ＝ eq \r(2) ，則 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PD,\s\up6(→)) 的最大值為( )
A． eq \f(1＋\r(2),2) B． eq \f(1＋2\r(2),2)
C．1＋ eq \r(2) D．2＋ eq \r(2)
16．已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cs α＝ eq \f(1,3) ，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cs β＝________．
專練25 平面向量的數(shù)量積及其應用
1．A |m|＝ eq \r(（5e1－2e2）2) ＝ eq \r(25－20e1·e2＋4) ＝ eq \r(29－20×\f(1,2)) ＝ eq \r(19) .
2．D 由題意可得a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－3)) ，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝ eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))2) ＝5.故選D.
3．C 因為 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，t－3)，所以| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(1＋（t－3）2) ＝1，解得t＝3，所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(1，0)，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2×1＋3×0＝2，故選C.
4．B a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
5．C 將|a－2b|＝3兩邊平行，得a2－4a·b＋4b2＝9.因為|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故選C.
6．D 因為a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因為(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故選D.
7．B 依題意，得a·b＝x＋y－1＝0?x＋y＝1. eq \f(1,x) ＋ eq \f(4,y) ＝ eq \f(x＋y,x) ＋ eq \f(4（x＋y）,y) ＝5＋ eq \f(y,x) ＋ eq \f(4x,y) ≥9，當且僅當x＝ eq \f(1,3) ，y＝ eq \f(2,3) 時取等號．故選B.
8．B 設a與b的夾角為α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cs α＝ eq \f(1,2) ，∵α∈(0，π)，∴α＝ eq \f(π,3) .故選B.
9．A 因為cs ∠AOB＝ eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))|·|\(OB,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(4,2×4) ＝ eq \f(1,2) ，所以∠AOB＝60°，sin ∠AOB＝ eq \f(\r(3),2) ，則所求平行四邊形的面積為| eq \(OA,\s\up6(→)) |·| eq \(OB,\s\up6(→)) |·sin ∠AOB＝4 eq \r(3) ，故選A.
10．2
解析：由已知可得a·b＝1× eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝1.因為tb－a與a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.
11. eq \r(3)
解析：由|a－b|＝ eq \r(3) ，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，結(jié)合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝ eq \r(3) .
12．11
解析：因為cs 〈a，b〉＝ eq \f(1,3) ，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝1×3× eq \f(1,3) ＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
13．AC A：＝(cs α，sin α)，＝(cs β，－sin β)，所以||＝ eq \r(cs 2α＋sin 2α) ＝1，||＝ eq \r(（cs2β）＋（－sin β）2) ＝1，故|OP1|＝|OP2|，正確；
B：＝(cs α－1，sin α)，＝(cs β－1，－sin β)，所以||＝ eq \r(（cs α－1）2＋sin 2α) ＝ eq \r(cs 2α－2cs α＋1＋sin 2α) ＝ eq \r(2（1－cs α）) ＝ eq \r(4sin 2\f(α,2)) ＝2|sin eq \f(α,2) |，同理||＝ eq \r(（cs β－1）2＋sin 2β) ＝2|sin eq \f(β,2) |，故||，||不一定相等，錯誤；
C：由題意得： eq \(OA,\s\up6(→)) ·＝1×cs (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝cs (α＋β)，·OP2＝cs α·cs β＋sin α·(－sin β)＝cs (α＋β)，正確；
D：由題意得： eq \(OA,\s\up6(→)) ·＝1×cs α＋0×sin α＝cs α，·＝cs β×cs (α＋β)＋(－sin β)×sin (α＋β)
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β)))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β)) ，故一般來說 eq \(OA,\s\up6(→)) ·≠·，錯誤．
故選AC.
14．ACD 由題意知，F(xiàn)1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，兩邊同時平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，所以|F1|2＝ eq \f(|G|2,2（1＋cs θ）) .當θ＝0時，|F1|min＝ eq \f(1,2) |G|；當θ＝ eq \f(π,2) 時，|F1|＝ eq \f(\r(2),2) |G|；當θ＝ eq \f(2π,3) 時，|F1|＝|G|，故ACD正確．當θ＝π時，豎直方向上沒有分力與重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B錯．
15．A 方法一連接OA，由題可知|OA|＝1，OA⊥PA，因為|OP|＝ eq \r(2) ，所以由勾股定理可得|PA|＝1，則∠POA＝ eq \f(π,4) .設直線OP繞點P按逆時針旋轉(zhuǎn)θ后與直線PD重合，則－ eq \f(π,4) 0，解得－1