? 高三理數(shù)第二次聯(lián)考試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.假設(shè)全集 ， ， ，那么集合 等于〔??? 〕
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
2.假設(shè)復(fù)數(shù) ，那么 〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.以下函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是〔??? 〕
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
4.某實(shí)驗(yàn)室研發(fā)新冠疫苗，試驗(yàn)中需對(duì) ， 兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)．已經(jīng)進(jìn)行的連續(xù)五次試驗(yàn)所測(cè)得的指標(biāo)數(shù)據(jù)如下表：

110
115
120
125
130

85
89
90
92
94
與 具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，利用上表中的五組數(shù)據(jù)求得回歸直線(xiàn)方程為 ．根據(jù)該回歸方程，預(yù)測(cè)下一次試驗(yàn)中當(dāng) 時(shí)， ，那么 的值為〔??? 〕

5.〔??? 〕
A.?4????????????????????????????????????????B.?2π????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?8
6.在 中， ， ， 分別為 ， ， 的對(duì)邊，如果 ，那么 的值為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
7.—對(duì)夫婦帶著他們的兩個(gè)小孩一起去坐纜車(chē)，他們隨機(jī)地坐在了一排且連在一起的 個(gè)座位上〔一人一座〕．為平安起見(jiàn)，管理方要求每個(gè)小孩旁邊要有家長(zhǎng)相鄰陪坐，那么他們 人的坐法符合平安規(guī)定的概率是〔??? 〕
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.橢圓 的焦點(diǎn)為 ， ，且橢圓與直線(xiàn) ： 有公共點(diǎn)，那么橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為〔??? 〕
A.?10???????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ，其期望 ，當(dāng) 時(shí)，目標(biāo)函數(shù) 的最小值為 ，那么 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為〔??? 〕
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.拋物線(xiàn) ，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) 作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn) ， ，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與 軸的交點(diǎn)為 ，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
11.圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為 ， 、 是底面圓周上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)判斷，其中正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
①圓錐的側(cè)面積為 ②母線(xiàn)與圓錐底面所成角的大小為60°③ 可能為等腰直角三角形④ 面積的最大值為
A.?①③?????????????????????????????????????B.?②④?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?②③
12. ，函數(shù) ， ．記函數(shù) 的最小值為 ，函數(shù) 的最小值為 ，當(dāng) 時(shí)， 的最大值是〔??? 〕
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
二、填空題
13.函數(shù) ，那么 ________．
14. ，假設(shè) ，那么 ________．
15.執(zhí)行如下列圖的程序框圖，假設(shè)輸出的結(jié)果 ，那么 的取值范圍是________．

16.雙曲線(xiàn) ： 與拋物線(xiàn) ： 的焦點(diǎn) 重合，過(guò)點(diǎn) 作直線(xiàn) 與拋物線(xiàn) 交于 、 兩點(diǎn)〔 點(diǎn)在 軸上方〕且滿(mǎn)足 ，假設(shè)直線(xiàn) 只與雙曲線(xiàn)右支相交于兩點(diǎn)，那么雙曲線(xiàn) 的離心率 的取值范圍是________．
三、解答題
17.數(shù)列 的首項(xiàng) ，假設(shè)向量 ， ， ，且 ．
〔1〕求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ；
〔2〕數(shù)列 ，假設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ．
18.某疫苗研發(fā)機(jī)構(gòu)將其生產(chǎn)的某款疫苗在征集的志愿者中進(jìn)行人體試驗(yàn)，現(xiàn)隨機(jī)選取100名試驗(yàn)者檢驗(yàn)結(jié)果并評(píng)分〔總分值為100分〕，得到如下列圖的頻率分布直方圖．

〔1〕求 的值，并估計(jì)所有試驗(yàn)者的平均得分〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表〕；
〔2〕據(jù)檢測(cè)，這100名試驗(yàn)者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率分別為 ， ， ，假設(shè)同時(shí)給此三人注射該疫苗，記此三人中產(chǎn)生抗體的人數(shù)為隨機(jī)變量 ，求隨機(jī)變量 的分布列及其期望值 ．
19.四棱錐 及其三視圖如下列圖，其底面 是正方形，且平面 平面 ，當(dāng) 、 分別是棱 、 的中點(diǎn)時(shí)，連接 、 ．

〔1〕證明：直線(xiàn) 平面 ；
〔2〕求直線(xiàn) 與平面 所成角的正弦值．
20.橢圓 ： 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，短軸長(zhǎng)為 ，點(diǎn) 在橢圓上， 軸，且 ．
〔1〕求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
〔2〕將橢圓 按照坐標(biāo)變換 得到曲線(xiàn) ，假設(shè)直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 相切且與橢圓 相交于 ， 兩點(diǎn)，求 的取值范圍．
21.函數(shù) ，假設(shè)函數(shù) 在 處的切線(xiàn)與直線(xiàn) 平行．
〔1〕求 的值及函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕 ，假設(shè)函數(shù) 與函數(shù) 的圖像在 有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
22.在平面直角坐標(biāo)系 中，曲線(xiàn) 的參數(shù)方程為 〔 為參數(shù)〕，以原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn) 的極坐標(biāo)方程為 ．
〔1〕求曲線(xiàn) 的普通方程和直線(xiàn) 的直角坐標(biāo)方程；
〔2〕設(shè)點(diǎn) 是曲線(xiàn) 上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) 到直線(xiàn) 距離的最值．
23.函數(shù) ．
〔1〕解不等式 ；
〔2〕假設(shè) 的最小值為 ，且正實(shí)數(shù) ， 滿(mǎn)足 ，求 的最小值．

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】因?yàn)槿?， ， ，
， ,所以， .
故答案為：C．

【分析】根據(jù)題意由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。
2.【解析】【解答】
，
.
故答案為：A
【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理化簡(jiǎn)再由復(fù)數(shù)的模的定義計(jì)算出答案。
3.【解析】【解答】對(duì)于A， 在 上為減函數(shù)，不符合題意；
對(duì)于B， 在 上為增函數(shù)，令 ，解得 ，不符合題意；
對(duì)于C， 在 上沒(méi)有定義，不符合題意；
對(duì)于D， 在 上有零點(diǎn) ，且在 為增函數(shù)，符合題意.
故答案為：D．

【分析】根據(jù)題意由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。
4.【解析】【解答】由表格中的數(shù)據(jù)，求得： ，
，那么 ，①
又因?yàn)橄乱淮螌?shí)驗(yàn)中 時(shí)， ，那么 ，②
聯(lián)立①②，解得： ．
故答案為：D．

【分析】根據(jù)題意由條件結(jié)合圖表中數(shù)據(jù)求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，再由斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式求出的值即可。
5.【解析】【解答】
因?yàn)?是奇函數(shù)，且在區(qū)間 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以
對(duì)應(yīng)的區(qū)域是一個(gè)半徑為2的半圓，面積為
故 .
故答案為：B．

【分析】根據(jù)題意首相由定積分的運(yùn)算性質(zhì)整理原式再由奇函數(shù)的定義以及定積分面積的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式計(jì)算出結(jié)果即可。
6.【解析】【解答】∵ ，由正弦定理可得
即：
整理得：
對(duì)照余弦定理可得
故答案為：A．

【分析】首相由正弦定理整理化簡(jiǎn)點(diǎn)的a、b、c的關(guān)系式，再把結(jié)果代入到余弦定理計(jì)算出答案即可。
7.【解析】【解答】 人隨機(jī)坐有 種坐法，除去兩個(gè)小孩相鄰且坐在兩端的情況，有 種符合平安規(guī)定的坐法，
因此，所求事件的概率為 .
故答案為：C．

【分析】根據(jù)題意由排列的定義求出總的事件個(gè)數(shù)和所求事件的個(gè)數(shù)再把數(shù)值代入到概率公式計(jì)算出答案即可。
8.【解析】【解答】設(shè)橢圓 與直線(xiàn) 的一個(gè)公共點(diǎn)為

那么 〔即為長(zhǎng)軸長(zhǎng)〕
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線(xiàn) 上找點(diǎn) ，使得 最小
設(shè) 關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，那么 ，可得 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
那么 ，當(dāng)且僅當(dāng) ， ， 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng) 的最小值為10．
故答案為：A．
【分析】 根據(jù)題意首先設(shè)橢圓的方程，再與直線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，然后根據(jù)該方程組有解即可求出a的最小值，那么問(wèn)題解決．
9.【解析】【解答】根據(jù)二項(xiàng)分布期望的定義，可知 ，得 ，
畫(huà)出不等式組 表示的區(qū)域，如圖中陰影局部所示，

其中 ， ， ，
平移直線(xiàn) ，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 取最小值，即 ，
于是 ，
令 ，可得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為 ．
故答案為：B．

【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求解b，再由二項(xiàng)分布的概率求得a，代入到， 令x=1計(jì)算出答案即可。
10.【解析】【解答】設(shè)過(guò)拋物線(xiàn) ： 的焦點(diǎn) 的直線(xiàn)為： ，
代入拋物線(xiàn)方程得： ；
由直線(xiàn)上兩點(diǎn) ， ，
那么有 ，
，A正確，不符合題意
，B正確，符合題意
∵ 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，故 ，

當(dāng) 時(shí)， ，即 ，C錯(cuò)誤，符合題意．
由
，D正確，符合題意
故答案為：C

【分析】根據(jù)題意 設(shè)出直線(xiàn)AB的方程為， 〔m≠0〕，然后與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解．
11.【解析】【解答】如圖，設(shè) 為底面圓的圓心，那么 為圓錐的高．
??
設(shè)圓錐的母線(xiàn)為 ，由底面半徑為1，所以底面圓的周長(zhǎng)為 ，
其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，那么此半圓的半徑為 ，此半圓的半圓弧長(zhǎng) ，所以 ，
所以側(cè)面展開(kāi)圖的面積為： ，所以①不正確．
由圓錐的性質(zhì)可知 與圓錐底面所成角為 ，那么 ，
所以 ，所以②正確．
在 中， ， ， 不可能為直角三角形，所以③不正確．
在 中， ，由 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以④正確．
故正確的判斷為②④，
故答案為：B.

【分析】 根據(jù)題意作出圓錐以及側(cè)面展開(kāi)圖，求解幾何體的側(cè)面積即可判斷出①錯(cuò)誤；求出側(cè)棱與底面所成角即可判斷出②正確；判斷三角形的形狀即可判斷出③錯(cuò)誤；求出三角形的面積的最大值即可判斷出④正確，由此得出答案。
12.【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
記 ，
∴ ，
所以，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
∵ ，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，
所以，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增．
∴ ，即 ．
①當(dāng) ，即當(dāng) 時(shí)，由上可知，函數(shù) 的最小值為 ，滿(mǎn)足 ；
②當(dāng) ，即當(dāng) 時(shí)，由上可知，函數(shù) 的最小值為 ，
且 ，不合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù) 的最大值為1。
故答案為：D．

【分析】因?yàn)?， ，再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，那么，記 ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f(x)的最小值，再利用分類(lèi)討論的方法結(jié)合函數(shù) 的最小值為 ，函數(shù) 的最小值為 ， 進(jìn)而求出當(dāng) 時(shí)的的最大值。
二、填空題
13.【解析】【解答】因?yàn)?，
所以 ，
故答案為：

【分析】根據(jù)題意由分段函數(shù)的解析式選擇適宜的解析式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。
14.【解析】【解答】由 ，可得： ， ，
所以 ，那么 ，
故答案為：6

【分析】首先由指、對(duì)互化的公式整理原式再由條件結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出a的值即可。
15.【解析】【解答】由 ， ；
， ；
， ；
， ；
， 退出結(jié)束，
那么 .
故答案為： .

【分析】根據(jù)題意由程序框圖的循環(huán)特點(diǎn)代入數(shù)值計(jì)算出答案即可。
16.【解析】【解答】設(shè)直線(xiàn) 的傾斜角 ，直線(xiàn) 與拋物線(xiàn) 交于 、 兩點(diǎn)〔 點(diǎn)在 軸上方〕，那么 為銳角，
焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線(xiàn) ，準(zhǔn)線(xiàn)與 軸交點(diǎn)記為 ，
過(guò) 、 分別向準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為 、 ，過(guò) 向 作垂線(xiàn)，垂足為 ，
設(shè)直線(xiàn) 與 軸交點(diǎn)記為 ，過(guò) 向 軸作垂線(xiàn)，垂足為 ，

由拋物線(xiàn)的定義 ，
因?yàn)?，所以 ，∴ ，
因?yàn)?，
所以 ，
由 ，那么 ，
由直線(xiàn) 只與雙曲線(xiàn)右支相交于兩點(diǎn)，那么 ，
那么 ，
由 ，那么 ．
故答案為：〔1,2〕.

【分析】 根據(jù)題意即可得出拋物線(xiàn)的焦半徑公式由此得到， 從
而計(jì)算出由此直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，進(jìn)而得到k的取值范圍與整體思想結(jié)合離心率的公式即可求出e的取值范圍。
三、解答題
17.【解析】【分析】(1)首先由向量垂直的坐標(biāo)公式整理得出數(shù)列的遞推公式，結(jié)合遞推公式即可得出數(shù)列為等比數(shù)列由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(2)由(1)的結(jié)論整理即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此得到數(shù)列的余弦公式再由錯(cuò)位相減法計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和即可。
18.【解析】【分析】(1)結(jié)合條件由頻率分布柱狀圖中的數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)公式計(jì)算出答案即可。
(2)根據(jù)題意首先求出的取值再由概率的公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的每一個(gè)的概率值，由此即可得出分布列再把數(shù)值代入到期望公式計(jì)算出結(jié)果即可。
19.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合三視圖的性質(zhì)即可得出該幾何體的形狀，結(jié)合三角形的幾何性質(zhì)由面面垂直的性質(zhì)定理即可得出線(xiàn)面垂直，再中點(diǎn)的性質(zhì)得出線(xiàn)線(xiàn)平行結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可得證出結(jié)論。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面PAB法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面PAB的法向量的坐標(biāo)，結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此即可得到到直線(xiàn) 與平面 所成角的正弦值 。
20.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由條件可得出b的值，再由橢圓里a、b、c的關(guān)系求出a的值由此得出橢圓的方程。
(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線(xiàn)的方程再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k和m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，并把結(jié)果代入弦長(zhǎng)公式整理化簡(jiǎn)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，由整體思想令即可求出弦長(zhǎng)的取值范圍。

?
21.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再把x=1代入到導(dǎo)函數(shù)的解析式計(jì)算出導(dǎo)數(shù)值進(jìn)而得到切線(xiàn)的斜率，由此計(jì)算出t的值進(jìn)而得出函數(shù)的解析式，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間。
(2)結(jié)合條件把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有解，由函數(shù)的單調(diào)性得到再構(gòu)造函數(shù)， 根據(jù)g(x)的單調(diào)性即可求出a的取值范圍。
22.【解析】【分析】 〔1〕根據(jù)題意直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可；
〔2〕利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．
23.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由絕對(duì)值的幾何意義整理得到函數(shù)的解析式再由不等式的解法，求解出不等式的解集即可。
(2)由(1)的結(jié)論即可得出函數(shù)的解析式，再由條件結(jié)合根本不等式計(jì)算出最小值即可。

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四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期4月第三次聯(lián)考+數(shù)學(xué)（理）+答案

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