目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30590" 【典型例題】 PAGEREF _Tc30590 \h 1
\l "_Tc31738" 【考點(diǎn)一 全等圖形識(shí)別】 PAGEREF _Tc31738 \h 1
\l "_Tc32702" 【考點(diǎn)二 利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和】 PAGEREF _Tc32702 \h 3
\l "_Tc15097" 【考點(diǎn)三 全等三角形的概念】 PAGEREF _Tc15097 \h 5
\l "_Tc1829" 【考點(diǎn)四 全等三角形的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc1829 \h 7
\l "_Tc29876" 【考點(diǎn)五 用SSS證明三角形全等】 PAGEREF _Tc29876 \h 9
\l "_Tc4801" 【考點(diǎn)六 用SAS證明三角形全等】 PAGEREF _Tc4801 \h 12
\l "_Tc11679" 【考點(diǎn)七 用ASA證明三角形全等】 PAGEREF _Tc11679 \h 14
\l "_Tc16994" 【考點(diǎn)八 用AAS證明三角形全等】 PAGEREF _Tc16994 \h 17
\l "_Tc18098" 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc18098 \h 20
【典型例題】
【考點(diǎn)一 全等圖形識(shí)別】
例題：（2022·河北石家莊·八年級(jí)期末）觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（ ）
A．3組B．4組C．5組D．6組
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形B．兩個(gè)全等圖形形狀一定相同
C．兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形一定是全等圖形D．兩個(gè)正三角形一定是全等圖形
2．（2022·河北滄州·八年級(jí)期末）以下四組圖形中，與如下圖形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)二 利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和】
例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東·濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，求______度．
2．（2022·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，由4個(gè)相同的小正方形組成的格點(diǎn)圖中，∠1+∠2+∠3=________度．
【考點(diǎn)三 全等三角形的概念】
例題：（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級(jí)期中）有下面的說(shuō)法：①全等三角形的形狀相同；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等．其中正確的說(shuō)法有( )
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
說(shuō)理過(guò)程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于 ＝ ，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．又因?yàn)? ＝ ，所以射線 能落在射線 上，這時(shí)因?yàn)? ＝ ，所以點(diǎn) 與 重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【考點(diǎn)四 全等三角形的性質(zhì)】
例題：（2022·福建泉州·八年級(jí)期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周長(zhǎng)為22，則B′C′的長(zhǎng)為 _____．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·云南昆明·三模）如圖，，若，則的度數(shù)是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
2．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖所示，D，A，E在同一條直線上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的長(zhǎng)；
(2)∠BAC的度數(shù)．
【考點(diǎn)五 用SSS證明三角形全等】
例題：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如圖，，點(diǎn)E在BC上，且，．
(1)求證：；
(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在線段BC上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，在線段CB的異側(cè)有兩點(diǎn)A，D，且滿足，，，連接AF；
(1)與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)若，，AF平分時(shí)，求的度數(shù)．
2．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．
(1)若，，求四邊形AECF的面積；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【考點(diǎn)六 用SAS證明三角形全等】
例題：（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，且．求證：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·云南普洱·二模）如圖，和分別在線段的兩側(cè)，點(diǎn)，在線段上，，，求證：．
2．（2022·四川省南充市白塔中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B、C、E、F共線，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求證：△ABE≌△DCF．

【考點(diǎn)七 用ASA證明三角形全等】
例題：（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點(diǎn)，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣西百色·二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點(diǎn)O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
2．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）如圖，已知，，．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【考點(diǎn)八 用AAS證明三角形全等】
例題：（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知BE與CD相交于點(diǎn)O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO與△CEO全等嗎？為什么？
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·福建省福州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求證：AB=CD．
2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF//AB，DF交AC于E點(diǎn)，DE＝EF．
(1)求證：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的長(zhǎng)．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形
B．兩個(gè)正方形是全等圖形
C．若兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，則它們一定是全等圖形
D．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等
2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列圖標(biāo)中，不是由全等圖形組合成的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在和中，，，若補(bǔ)充條件后一定能保證，則補(bǔ)充的條件不能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·四川遂寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小華家梳妝臺(tái)上的一塊三角形玻璃不小心打成了如圖所示的四塊，需要去玻璃裝飾品店再購(gòu)買(mǎi)一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的玻璃，最省事的辦法是攜帶哪兩塊玻璃去玻璃裝飾品店讓商家再裁出一塊？（ ）
A．（1）和（3）B．（3）和（4）
C．（1）和（4）D．（1）和（2）
5．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，則對(duì)于結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
6．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，，，則_______．
7．（2023秋·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，已知，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 ______ ，使得．
8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，相交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是_____．
9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了和，則___________度．
10．（2022秋·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、是的高線，與相交于點(diǎn)F．若．且的面積為6，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
三、解答題
11．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，，，．求證：．
12．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
說(shuō)理過(guò)程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于 ＝ ，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．又因?yàn)? ＝ ，所以射線 能落在射線 上，這時(shí)因?yàn)? ＝ ，所以點(diǎn) 與 重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
13．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，A，C，E三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC△DAE．
(1)求證：BC=DE+CE；
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，BCDE？請(qǐng)說(shuō)明理由．
14．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：與交于點(diǎn)，，．求證：規(guī)范證明過(guò)程
證明：在和中，
______
______ ______
在和中，
______
．
15．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)，，，在同一條直線上．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
16．（2023秋·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
17．（2023秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，點(diǎn)在上．
(1)平分嗎？為什么？
(2)試說(shuō)明．
18．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，且，，且．
(1)如圖1，連接、，求證：；
(2)如圖2，求證；
19．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1，已知中，，平分交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)如圖2，若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足，試判斷的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
專題13 全等三角形(圖形)性質(zhì)與判定
【考點(diǎn)導(dǎo)航】
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30590" 【典型例題】 PAGEREF _Tc30590 \h 1
\l "_Tc31738" 【考點(diǎn)一 全等圖形識(shí)別】 PAGEREF _Tc31738 \h 1
\l "_Tc32702" 【考點(diǎn)二 利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和】 PAGEREF _Tc32702 \h 3
\l "_Tc15097" 【考點(diǎn)三 全等三角形的概念】 PAGEREF _Tc15097 \h 5
\l "_Tc1829" 【考點(diǎn)四 全等三角形的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc1829 \h 7
\l "_Tc29876" 【考點(diǎn)五 用SSS證明三角形全等】 PAGEREF _Tc29876 \h 9
\l "_Tc4801" 【考點(diǎn)六 用SAS證明三角形全等】 PAGEREF _Tc4801 \h 12
\l "_Tc11679" 【考點(diǎn)七 用ASA證明三角形全等】 PAGEREF _Tc11679 \h 14
\l "_Tc16994" 【考點(diǎn)八 用AAS證明三角形全等】 PAGEREF _Tc16994 \h 17
\l "_Tc18098" 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc18098 \h 20
【典型例題】
【考點(diǎn)一 全等圖形識(shí)別】
例題：（2022·河北石家莊·八年級(jí)期末）觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（ ）
A．3組B．4組C．5組D．6組
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：觀察圖①④⑤⑥四組圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折后能夠完全重合，是全等圖形，共4組，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等圖形的定義，能夠完全重合的圖形是全等形，難度不大．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形B．兩個(gè)全等圖形形狀一定相同
C．兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形一定是全等圖形D．兩個(gè)正三角形一定是全等圖形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：A：兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B：兩個(gè)全等圖形形狀一定相同，故B正確，符合題意；
C：兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
D：兩個(gè)正三角形不一定是全等圖形，故D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等圖形，熟練運(yùn)用“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形”是本題的關(guān)鍵．
2．（2022·河北滄州·八年級(jí)期末）以下四組圖形中，與如下圖形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
認(rèn)真觀察圖形，可以看出選項(xiàng)中只有B中的圖形可以由題干中已給的圖形旋轉(zhuǎn)得到，其它三個(gè)形狀與題干中已給的圖形不一致．
【詳解】
解：由全等形的概念結(jié)合圖形可知：A、C、D中圖形形狀與題干中已給的圖形不一致，故不符合題意；B中的圖形可以由題干中已給的圖形順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是全等形的識(shí)別，做題時(shí)要注意運(yùn)用定義，注意觀察題中圖形，屬于較容易的基礎(chǔ)題．
【考點(diǎn)二 利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和】
例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【詳解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故選B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東·濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，求______度．
【答案】45
【解析】
【分析】
連接，根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解．
【詳解】
解：如圖所示，連接

∵圖中是的正方形網(wǎng)格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案為：45．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征．
2．（2022·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，由4個(gè)相同的小正方形組成的格點(diǎn)圖中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【解析】
【分析】
首先利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出的值，即可得出答案；
【詳解】
如圖所示，
在△ACB和△DCE中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案是：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等圖形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)三 全等三角形的概念】
例題：（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級(jí)期中）有下面的說(shuō)法：①全等三角形的形狀相同；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等．其中正確的說(shuō)法有( )
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】
先分別驗(yàn)證①②③④的正確性，并數(shù)出正確的個(gè)數(shù)，即可得到答案.
【詳解】
①全等三角形的形狀相同，根據(jù)圖形全等的定義，正確；
②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；
③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；
④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等，正確；
故四個(gè)命題都正確，
故D為答案.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等的定義、全等三角形圖形的性質(zhì)，即全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、面積周長(zhǎng)均相等.
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
說(shuō)理過(guò)程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于 ＝ ，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．又因?yàn)? ＝ ，所以射線 能落在射線 上，這時(shí)因?yàn)? ＝ ，所以點(diǎn) 與 重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【解析】
【分析】
直接利用已知結(jié)合全等的定義得出答案．
【詳解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．又因?yàn)椤螦＝∠A′，所以射線AC能落在射線A'C'上，這時(shí)因?yàn)锳C＝A'C'，所以點(diǎn)C 與C'重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案為：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解填空．
【考點(diǎn)四 全等三角形的性質(zhì)】
例題：（2022·福建泉州·八年級(jí)期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周長(zhǎng)為22，則B′C′的長(zhǎng)為 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】
根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等詳解即可．
【詳解】
解：∵△ABC≌ΔA′B′C′，ΔA′B′C′的周長(zhǎng)為22，
∴△ABC的周長(zhǎng)為22，
∵AB+AC＝12，
∴BC＝22﹣12＝10，
∴B'C'＝BC＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·云南昆明·三模）如圖，，若，則的度數(shù)是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解即可．
【詳解】
，
，
，
，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖所示，D，A，E在同一條直線上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的長(zhǎng)；
(2)∠BAC的度數(shù)．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBA＝∠CAE等量代換即可得到結(jié)論．
(1)
解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)
∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)五 用SSS證明三角形全等】
例題：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如圖，，點(diǎn)E在BC上，且，．
(1)求證：；
(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）運(yùn)用SSS證明即可；
（2）由（1）得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得結(jié)論．
(1)
在和中，
，
∴(SSS)；
(2)
AC和BD的位置關(guān)系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在線段BC上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，在線段CB的異側(cè)有兩點(diǎn)A，D，且滿足，，，連接AF；
(1)與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)若，，AF平分時(shí)，求的度數(shù)．
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“SSS”可證△AEB≌△DFC，可得結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分線的性質(zhì)可求解．
(1)
解：，
理由如下：
∵
∴
在和中
∴
∴
(2)
解：∵
∴
∴
∵平分
∴
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．
(1)若，，求四邊形AECF的面積；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）連接AC，證明△ACE ≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：連接AC，如圖，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
證明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ)，∠BEC與∠AEC互補(bǔ)，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)六 用SAS證明三角形全等】
例題：（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，且．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.
【詳解】
證明：∵點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
在△AOD與△OBC中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·云南普洱·二模）如圖，和分別在線段的兩側(cè)，點(diǎn)，在線段上，，，求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性質(zhì)得到結(jié)論即可．
【詳解】
證明：，
，
在和中
，
≌（SAS），
．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形全等的判定，平行線的性質(zhì)，找到三角形全等的條件是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·四川省南充市白塔中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B、C、E、F共線，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求證：△ABE≌△DCF．

【答案】證明見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】
根據(jù)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）；即可證明；
【詳解】
證明：∵點(diǎn)B、C、E、F共線，BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定條件是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)七 用ASA證明三角形全等】
例題：（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點(diǎn)，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
【詳解】
證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意義）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意義）
∠ACE＝90°（已證）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性質(zhì)）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形內(nèi)角和等于180°）
∠B＝90°（已證）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性質(zhì)）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣西百色·二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點(diǎn)O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）證明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到結(jié)論；
（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可證得結(jié)論．
(1)
證明：在△ABO與△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA）
∴AB＝DC；
(2)
證明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在△ABC與△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
【點(diǎn)睛】
此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）如圖，已知，，．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行線的性質(zhì)得，利用“角邊角”即可證明；
（2）由鄰補(bǔ)角的定義求出，進(jìn)而得到，再利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出．
由兩直線平行得
(1)
證明：，
，
在和中，
，
．
(2)
解：，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義、全等三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
【考點(diǎn)八 用AAS證明三角形全等】
例題：（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知BE與CD相交于點(diǎn)O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO與△CEO全等嗎？為什么？
【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
根據(jù)AAS證明△BDO與△CEO全等即可．
【詳解】
解：△BDO與△CEO全等；
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
∵在△BDO與△CEO中，，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·福建省福州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求證：AB=CD．
【答案】見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】
根據(jù)全等三角形證明△ABE≌△CDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】
證明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，一般證明線段相等先大致判斷兩個(gè)線段所在三角形是否全等，然后再看證明全等的條件有哪些．
2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF//AB，DF交AC于E點(diǎn)，DE＝EF．
(1)求證：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)BD＝1
【解析】
【分析】
（1）利用角角邊定理判定即可；
（2）利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD的長(zhǎng)，用AB﹣AD即可得出結(jié)論．
(1)
證明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
(2)
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
【點(diǎn)睛】
此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形
B．兩個(gè)正方形是全等圖形
C．若兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，則它們一定是全等圖形
D．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等
【答案】D
【分析】依據(jù)全等圖形的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形是全等圖形，說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、若兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，則它們不一定是全等圖形，說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、兩個(gè)全等圖形的面積一定相等，說(shuō)法正確，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的性質(zhì)和定義，掌握全等圖形的性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列圖標(biāo)中，不是由全等圖形組合成的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全等圖形的概念分析即可．
【詳解】解：A、該圖像是由三個(gè)全等的圖形構(gòu)成，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、該圖像是由五個(gè)全等的圖形構(gòu)成，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、該圖像不是由全等圖形構(gòu)成，故該選項(xiàng)符合題意；
D、該圖像是由兩個(gè)全等的圖形構(gòu)成，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，熟練掌握能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等圖形是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在和中，，，若補(bǔ)充條件后一定能保證，則補(bǔ)充的條件不能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐個(gè)驗(yàn)證即可．
【詳解】解：A、兩邊及其夾角相等，可以證明全等，故A不合題意；
B、兩角夾一邊，可以證明全等，故B不合題意；
C、不是兩條邊的夾角，不能證明全等，故C符合題意；
D、兩角相等，其中一個(gè)角的對(duì)邊也相等，可以證明全等，故D不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法：．
4．（2023秋·四川遂寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小華家梳妝臺(tái)上的一塊三角形玻璃不小心打成了如圖所示的四塊，需要去玻璃裝飾品店再購(gòu)買(mǎi)一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的玻璃，最省事的辦法是攜帶哪兩塊玻璃去玻璃裝飾品店讓商家再裁出一塊？（ ）
A．（1）和（3）B．（3）和（4）
C．（1）和（4）D．（1）和（2）
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形全等判定的條件逐一驗(yàn)證即可得到答案．
【詳解】解：A．帶第（1）和（3）塊去，只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不能配一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的玻璃；
B．帶第（3）和（4）塊去，只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，不能配一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的玻璃；
C．帶第（1）和（4）塊去，只保留了原三角形的兩個(gè)角，不能配一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的玻璃；
D．帶第（1）和（2）塊去，保留了原三角形的兩個(gè)角和夾邊，符合“角邊角”定理，能配一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的玻璃；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟記三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，則對(duì)于結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行判斷．
【詳解】∵，
∴，
故①③正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正確；
不一定相等，故②不符合題意；
綜上：正確的有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，，，則_______．
【答案】##度
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，已知，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 ______ ，使得．
【答案】或或．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定，即可求解．
【詳解】解：添加的條件是或或，
理由是：在和中，
添加：，
，
．
添加：
，，，
，
添加：
，，，
．
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，相交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是_____．
【答案】##20度
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了和，則___________度．
【答案】
【分析】作輔助線，使為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形，可得到，利用等角代換即可得解．
【詳解】解：如圖，連接、，，，，
由圖可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中求兩角和，構(gòu)造全等三角形，利用等角代換是解題關(guān)鍵．
10．（2022秋·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、是的高線，與相交于點(diǎn)F．若．且的面積為6，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
【答案】1
【分析】利用證明，得，再根據(jù)三角形面積可得的長(zhǎng)，從而可得答案．
【詳解】解：，是的高線，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的面積為6，
，
，
，
，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由可得，則由可證明，問(wèn)題則解決．
【詳解】證明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，由線段的和差關(guān)系得到、熟悉全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
說(shuō)理過(guò)程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于 ＝ ，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．又因?yàn)? ＝ ，所以射線 能落在射線 上，這時(shí)因?yàn)? ＝ ，所以點(diǎn) 與 重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【分析】直接利用已知結(jié)合全等的定義得出答案．
【詳解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．又因?yàn)椤螦＝∠A′，所以射線AC能落在射線A'C'上，這時(shí)因?yàn)锳C＝A'C'，所以點(diǎn)C 與C'重合．這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案為：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解填空．
13．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，A，C，E三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC△DAE．
(1)求證：BC=DE+CE；
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，BCDE？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)當(dāng)△ABC滿足∠ACB為直角時(shí)，BCDE．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BCE=∠E，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
【詳解】（1）證明：∵△ABC△DAE，
∴AE=BC，AC=DE，
又∵AE=AC+CE，
∴BC=DE+CE；
（2）解：∵BCDE，
∴∠BCE=∠E，
又∵△ABC△DAE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠ACB=90°，
即當(dāng)△ABC滿足∠ACB為直角時(shí)，BCDE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
14．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：與交于點(diǎn)，，．求證：規(guī)范證明過(guò)程
證明：在和中，
______
______ ______
在和中，
______
．
【答案】，，，，1，2，，，，．
【分析】利用證明，可得，再利用證明，進(jìn)而可得．
【詳解】證明：在和中，
在和中，
．
故答案為：，，，，1，2，，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的證明方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)，，，在同一條直線上．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，然后再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可解答；
（2）根據(jù)題意求出，再根據(jù)線段的和差即可解答．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
16．（2023秋·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)的度數(shù)為
【分析】（1）根據(jù)邊角邊定理判定即可；
（2）由全等的性質(zhì)易得，由平行線的性質(zhì)及已知即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）證明：在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
答：的度數(shù)為．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，點(diǎn)在上．
(1)平分嗎？為什么？
(2)試說(shuō)明．
【答案】(1)平分，理由見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)“邊邊邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：平分，理由如下：
在與中，
，
∴，
∴，
即平分．
（2）解：由（1）可得：，
在與中，
得，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)．
18．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，且，，且．
(1)如圖1，連接、，求證：；
(2)如圖2，求證；
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，然后證明，進(jìn)而得到；
（2）首先根據(jù)題意得到，然后證明，得到，然后利用三角形面積公式即可求解．
【詳解】（1），，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）作交的延長(zhǎng)線于，作于N，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．
19．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)校考期末）如圖1，已知中，，平分交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)如圖2，若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足，試判斷的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定可得到，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)可得到，再利用全等三角形的判定可得到，進(jìn)而得到結(jié)論；
（3）利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法得到 ，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）解：∵平分，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解： ∵是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴,
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
在上截取，如圖所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴,
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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