2023-2024學(xué)年江西省宜春市高安市八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

這是一份2023-2024學(xué)年江西省宜春市高安市八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析），共18頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.下列長(zhǎng)度的三條線段不能組成三角形的是( )
A. 3，4，5B. 6，10，8C. 2，3，6D. 2，2，3
2.如圖，在△ABC中，利用三角板能表示BC邊上的高的為( )
A. B.
C. D.
3.如圖，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，則AC為( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如下，則要說(shuō)明∠D′O′C′=∠DOC，需要證明△D′O′C′≌△DOC，則這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是( )
A. SASB. SSSC. ASAD. AAS
5.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，BE平分∠ABC交AC于D，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.下列說(shuō)法：①BD=CF；②AD=AF；③CE=AF；④BD=2CE；⑤AB+AD=BC；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
6.如圖，自行車的主框架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是三角形具有______．
7.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：3：5，這個(gè)三角形為_(kāi)_____三角形(按角分類)
8.如圖，已知AB=AC，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件______，使△ABE≌△ACD(無(wú)需添加任何輔助線或點(diǎn))．
9.已知多邊形的各個(gè)內(nèi)角都等于150°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_____．
10.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)為_(kāi)_____°.
11.已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(2,4)，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO全等，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：______．
三、解答題：本題共11小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
12.(本小題6分)
已知三角形的兩邊長(zhǎng)為8和10，第三邊長(zhǎng)x最?。?br>(1)求x的取值范圍；
(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圍成的三角形周長(zhǎng)最大？并求出周長(zhǎng)．
13.(本小題6分)
如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，若∠BAE=30°，∠CAD=20°，求∠B的度數(shù)．
14.(本小題6分)
如圖，△ABC≌△DCB，AC與BD相交于點(diǎn)E，若∠D=80°，∠ABC=60°，求∠BEC的度數(shù)．
15.(本小題8分)
為了制作燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，證明：△ABC≌△AED．
16.(本小題6分)
如圖所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=3cm，AC=4cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的長(zhǎng)．
(2)求△ABE的面積．
17.(本小題8分)
如圖，AC/?/BE，點(diǎn)D在BC上，AB=DE，∠ABE=∠CDE．
(1)求證：△ABC≌△DEB；
(2)若AC=5，BE=7，求CD的長(zhǎng)．
18.(本小題8分)
如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)D．
(1)若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度數(shù)；
(2)若把∠A截去，得到四邊形MNCB，如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
19.(本小題8分)
已知：如圖，點(diǎn)A、E、C同一條直線上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．
求證：
(1)△ABC≌△ADC；
(2)BE=DE．
20.(本小題9分)
如圖，在△ABC中(AB>BC)，AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長(zhǎng)分成70和50兩部分，求AC和AB的長(zhǎng)．
21.(本小題9分)
(1)把一大一小兩個(gè)等腰直角三角板(即EC=CD，AC=BC)如圖1放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F.求證：
①ΔACD≌ΔBCE；
②AF⊥BE．
(2)如果把兩個(gè)等腰直角三角形(即EC=CD，AC=BC)按圖2放置，連結(jié)AD、BE交一點(diǎn)F，問(wèn)AF與BE是否垂直？并說(shuō)明理由．
22.(本小題12分)
閱讀理解，自主探究：
“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角角度為90°，于是有三組邊相互垂直，所以稱為“一線三垂直模型”.當(dāng)模型中有一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形．
(1)問(wèn)題解決：如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作直線DE，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，求證：△ADC≌△CEB；
(2)問(wèn)題探究：如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作直線CE，AD⊥CE于點(diǎn)D，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長(zhǎng)．
(3)拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A(?1,0)，C(1,3)，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求B點(diǎn)坐標(biāo)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．
直接利用三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊，進(jìn)而判斷得出答案．
【解答】
解：A.∵3+4=7>5，
∴能組成三角形，不符合題意；
B.∵6+8=14>10，
∴能組成三角形，不符合題意；
C.∵2+3=53，
∴能組成三角形，不符合題意．
2.【答案】B
【解析】解：A、表示的是△ABC中AB邊上的高，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、表示的是△ABC中BC邊上的高，故此選項(xiàng)符合題意；
C、不能表示△ABC的高，故此選項(xiàng)符合題意；
D、表示的是△ABC中AC邊上的高，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：B．
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫三角形的高，根據(jù)此定義逐項(xiàng)判斷即可．
本題考查了三角形的高，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的高的定義．
3.【答案】A
【解析】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AC?BC=DB?BC，即AB=CD，
∵AD=8，BC=2，
∴AB=12(AD?BC)=12×(8?2)=3，
∴AC=AB+BC=3+2=5．
故選：A．
根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=DB，再求出AB=CD=12(AD?BC)=3，那么AC=AB+BC，代入數(shù)值計(jì)算即可得解．
本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出AB=CD是解題的關(guān)鍵．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及作圖?基本作圖，全等三角形的判定方法有：ASA；SAS；SSS；AAS，以及HL(直角三角形判定全等的方法)．
由作一個(gè)角等于已知角的方法得到O′D′=OD，O′C′=OC，C′D′=CD，利用SSS可得出△D′O′C′和△DOC全等，進(jìn)而由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠D′O′C′=∠DOC，即可得到兩三角形全等的依據(jù)為SSS．
【解答】
解：在△D′O′C′和△DOC中，
O′D′=ODO′C′=OCC′D′=CD，
∴△D′O′C′≌△DOC(SSS)，
∴∠D′O′C′=∠DOC．
則全等的依據(jù)為SSS．
故選B．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=∠BEC=90°，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACF，
又∵AB=AC，∠BAD=∠FAC=90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=FC，AD=AF，∠ABD=∠FCA，
故①②正確；
又∵BE為△BCF的角平分線，BE⊥CF，
∴△EBF≌△EBC，
∴EF=EC，BF=BC，
∴BD=2CE，故④正確．
假設(shè)AF=CE，則CF=2AF，可得∠ACF=∠ABD=30°，顯然不可能，故③錯(cuò)誤，
∵AB+AD=AB+AF，
∵BC=BF，
∴AB+AD=BC，故⑤正確，
正確個(gè)數(shù)為4，
故選：C．
根據(jù)已知可證△ABD≌△ACF，可判斷①②正確，又BE為△BCF的角平分線，BE⊥CF，可判斷△EBF≌△EBC，得出④⑤正確．假設(shè)③成立，推出矛盾即可；
本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱發(fā)現(xiàn)圖形中的兩個(gè)全等三角形．
6.【答案】穩(wěn)定性
【解析】【分析】
本題考查的是三角形的性質(zhì)，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．
【解答】
解：自行車的主框架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是三角形具穩(wěn)定性，
故答案為：穩(wěn)定性．
7.【答案】直角
【解析】解：∵∠C=180°×52+3+5=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：直角．
根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出最大的角∠C，然后作出判斷即可．
本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，求出最大的角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】AD=AE(答案不唯一)
【解析】解：再添加一個(gè)條件：AD=AE，
理由：在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAD=AE，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
故答案為：AD=AE(答案不唯一)．
根據(jù)全等三角形的判定方法，即可解答．
本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】12
【解析】解：∵多邊形的各個(gè)內(nèi)角都等于150°，
∴每個(gè)外角為30°，
設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則30°n=360°，解得n=12．
故答案為：12．
設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的外角和是360度求出n的值即可．
本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，解答此類問(wèn)題時(shí)要找到不變量，即多邊形的外角是360°這一關(guān)鍵．
10.【答案】540
【解析】解：如圖所示，
由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1=∠A+∠G，
由四邊形的內(nèi)角和是360°可得，
∠1+∠2+∠E+∠F=360°，∠3+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=∠1+∠C+∠D+∠E+∠F+∠B
=360°×2?180°
=540°．
故答案為：540．
根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠A+∠G的和，再利用兩個(gè)四邊形的內(nèi)角和減去一個(gè)平角的度數(shù)計(jì)算即可．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和與三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，把角的度數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)四邊形的內(nèi)角和與一個(gè)平角的差是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】(0,4)或(4,0)或(4,4)
【解析】解：如圖所示，以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO全等，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4)或(4,0)或(4,4)．
故答案為：(0,4)或(4,0)或(4,4)．
畫(huà)出圖形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)軸與圖形的性質(zhì)可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
本題考查了全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，作出圖形利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡(jiǎn)單．
12.【答案】解：(1)由三角形的三邊關(guān)系，得2AC=56，滿足三邊關(guān)系，
∴AC=56，AB=36；
②當(dāng)AC+CD=50，AB+BD=70時(shí)，
4x+x=50，
解得：x=10，
∴AC=4x=4×10=40，
∴BD=CD=10，BC=20，
AB=70?BD=70?10=60，
∵AC+BC=AB，
不滿足三邊關(guān)系，∴舍去，
∴AC=56，AB=36．
【解析】先根據(jù)AC=2BC和三角形的中線列出方程求解，分類討論①AC+CD=70，②AC+CD=50，注意答案是否滿足條件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關(guān)系．
本題考查了三角形中線的性質(zhì)和三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，列出方程．
21.【答案】(1)證明：①由題意知，∠BCE=∠ACD=90°，
在△ACD和△BCE中，
EC=CD∠ECB=∠DCACB=CA，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDF，
∴∠BDF=∠BEC，
∵∠BEC+∠EBC=90°
∴∠BDF+∠EBC=90°，
∴AF⊥BE；
(2)解：AF⊥BE，
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
EC=CD∠ECB=∠DCACB=CA，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
∴∠CBF=∠CAD，
∵∠ABC+∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠CBF+∠BAD=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BE．
【解析】(1)①根據(jù)SAS即可證明△ACD≌△BCE；
②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠BEC=∠ADC，進(jìn)而判斷出∠BDF=∠BEC，即可證明AF⊥BE；
(2)同(1)①的方法判斷出△ACD≌△BCE，得出∠CBF=∠CAD，即可得出結(jié)論．
此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的判定，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．
22.【答案】(1)證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE=2.5cm，CD=BE，
∴BE=CD=CE?DE=2.5?1.7=0.8(cm)，
即BE的長(zhǎng)為0.8cm；
(3)解：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作直線l//x軸，交y軸于點(diǎn)G，過(guò)A作AE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)B作BF⊥l于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，

則∠AEC=∠CFB=∠ACB=90°，
∵A(?1,0)，C(1,3)，
∴EG=OA=1，CG=1，F(xiàn)H=AE=OG=3，
∴CE=EG+CG=2，
∵∠ACE+∠EAC=90°，∠ACE+∠FCB=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=CB，
∴△AEC≌△CFB(AAS)，
∴AE=CF=3，BF=CE=2，
∴FG=CG+CF=1+3=4，BH=FH?BF=3?2=1，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1)．
【解析】(1)由余角的性質(zhì)可證∠DAC=∠ECB，再由AAS證△ADC≌△CEB即可；
(2)由“AAS”可證△ADC≌△CEB，得AD=CE=2.5cm，CD=BE，即可解決問(wèn)題；
(3)過(guò)點(diǎn)C作直線l//x軸，交y軸于點(diǎn)G，過(guò)A作AE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)B作BF⊥l于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，證△AEC≌△CFB(AAS)，得AE=CF=3，BF=CE=2，則FG=CG+CF=4，BH=FH?BF=1，即可得出結(jié)論．
本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、“一線三垂直”模型等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．