一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中項是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3. 在的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.若是上周期為3的偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且．則（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
6. 函數(shù)在區(qū)間上所有零點的和等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 是雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點，點在軸上，滿足，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8．設是一個無窮數(shù)列的前項和，若一個數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則稱數(shù)列為和諧數(shù)列，有下列3個命題：
= 1 \* GB3 ①若對任意的正整數(shù)均有，則為和諧數(shù)列；
= 2 \* GB3 ②若等差數(shù)列是和諧數(shù)列，則一定存在最小值；
= 3 \* GB3 ③若的首項小于零，則一定存在公比為負數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列．
以上3個命題中真命題的個數(shù)有 （ ）個
A．3 B．2 C．1 D．0
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.下列命題中，真命題有（ ）
A.若隨機變量，則
B.數(shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位數(shù)是8.5
C.若隨機變量，，則
D.若事件,滿足且，則與獨立
10. 如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個動點，則（ ）
A. 存在唯一點，使得
B. 存在唯一點，使得直線與平面所成角取到最小值
C. 若，則三棱錐外接球的表面積為
D. 若異面直線與所成的角為，則動點的軌跡是拋物線的一部分
11. 已知函數(shù)的定義域均為，且滿足，，，則（ ）
A. B. 的圖象關于點對稱
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若復數(shù)（其中表示虛數(shù)單位），則____________．
13.如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任意一點關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若（其中，分別是軸，軸正方向的單位向量），則點的斜坐標為，向量的斜坐標為，，，則的面積為______.
14. 已知的三個內(nèi)角A，B，C滿足，當最大時，動點P使得AP，AB，PB的長依次成等差數(shù)列，此時的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.
求的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前2n項和．
16. （15分）
如圖，圓臺上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為為圓臺下底面的一條直徑，圓上點滿足是圓臺上底面的一條半徑，點在平面的同側(cè)，且.
（1）證明：平面平面；
（2）若圓臺的高為2，求直線與平面所成角的正弦值.
17．（15分）
某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗．該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現(xiàn)有只白鼠，已知每只白鼠在未接種疫苗時接觸病鼠后被感染的概率為，設隨機變量表示只白鼠在未接種疫苗時接觸病鼠后被感染的白鼠數(shù)，假設每只白鼠是否被感染之間相互獨立.
（1）若，求數(shù)學期望；
（2）接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為，現(xiàn)有兩個不同的研究團隊理論研究發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)的取值有關．團隊提出函數(shù)模型為．團隊提出函數(shù)模型為．現(xiàn)將接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，進行實驗，隨機變量表示第組被感染的白鼠數(shù)，現(xiàn)將隨機變量的實驗結(jié)果繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示．
（?。┰噷懗鍪录?，，…，”發(fā)生的概率表達式（用表示，組合數(shù)不必計算）；
（ⅱ）在統(tǒng)計學中，若參數(shù)時使得概率最大，稱是的最大似然估計．根據(jù)這一原理和團隊，提出的函數(shù)模型，判斷哪個團隊的函數(shù)模型可以求出的最大似然估計，并求出最大似然估計．
參考數(shù)據(jù)：．
（17分）
如圖，已知拋物線，點，過點任作兩條直線，分別與拋物線交于A,B與C，D.
（1）若的斜率分別為，求四邊形的面積；
（2）設
（?。┱业綕M足的等量關系；
（ⅱ）交于點，證明：點在定直線上.
19. （17分）
已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性：
（2）若是方程的兩不等實根，求證：
（i）；
（ii）．2023-2024學年度東北育才學校高中部高三年級第六次模擬考試暨假期質(zhì)量測試數(shù)學科答案
單選題
A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A
多選題
AD 10.BCD 11.AC
填空題
12. 13. 14.
解答題
15.（本題滿分13分）
解：（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為,
則, , , …………………………3分
又, 可得, …………………………4分
所以. …………………………6分
（2）由（1）可得， …………………………7分
故，以它為通項的數(shù)列是以為首項、公比為的等比數(shù)列，……8分
所以數(shù)列的前2n項和 …………10分
. ………………………13分
16.（15分）
解（1）取中點，由題意，，
又，故.
又，故，
所以四邊形為平行四邊形，則.
由平面，故平面，
又面，故平面平面.…………………………7分
（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則有：，
故
設平面的法向量
而，
故，令，得
設所求角的大小為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為. ………………………15分
17.（1）由題知，隨機變量服從二項分布，，
由，即，
得，所以． ………………………4分
（2）（?。?，
，
． ………………………8分
（ⅱ）記，
則，
當時，，單增；
當時，，單減；
當時，取得最大值，即取得最大值．
在團體提出的函數(shù)模型中，
記函數(shù)，，
當時，，單增；
當時，，單減．
當時，取得最大值，則不可以估計．
………………………13分
在團體提出的函數(shù)模型中，
記函數(shù)，單調(diào)遞增，
令，解得，
則是的最大似然估計． ………………………15分
18.解：（1）由已知
聯(lián)立直線得
設，則
所以
聯(lián)立直線得
設，則
所以
因為，所以 …………………………4分
因為，所以的直線方程為
整理得，因為過點，
所以 ① ……………………7分
同理可得 ②
同理可得AC：，BD：
聯(lián)立與方程，解出點坐標，
，…………………………11分
由①②得，帶入點縱坐標
所以點坐標在直線上 ………………………17分
19.（1）由題意得，函數(shù)的定義域為.
由得：，
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，由得，由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．……………………4分
（2）因為是方程的兩不等實根，
即是方程的兩不等實根，
令，則，
即是方程的兩不等實根.
令，則，
所以在上遞增，在上遞減，，
當時，；當時，且.
所以，即.
令．
（i）要證，只需證， ……………………6分
解法1：令，
則，
令，
則
，
所以在上遞增，，
所以，所以，
所以，
所以，即，所以． ……………………11分
解法2：先證，
令，只需證，
只需證，
令，
，
所以上單調(diào)遞減，所以．
因為，所以，
所以，即，
所以．
解法3：由，
設，
所以，
即，
構(gòu)造函數(shù)，
，
所以在上單調(diào)遞增，所以．
（ii）要證：，只需證：，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
令得
即 ①
令得
即 ②
①+②得：，
即． ……………………17分

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