1.下列從左到右的變形，屬于因式分解的是( )
A. (x+2)(x?2)=x2?4B. x2?4+3x=(x+2)(x?2)+3x
C. x2+4xy?x=x(x+4y)D. a2?1=(a+1)(a?1)
2.下列多項式不能用公式法因式分解的是( )
A. a2?8a+16B. a2+a+14C. ?a2?9D. a2?4
3.在式子1a,20yπ,3ab3c4,56+x,x7+y8,9x+10y中，分式的個數(shù)有( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.把多項式a3b4?abnc因式分解時，提取的公因式是ab4，則n的值可能為( )
A. 5B. 3C. 2D. 1
5.下列運算中，正確的是( )
A. m?nm+n=n?mn+mB. 22a+b=1a+b
C. abab?b2=aa?bD. a?a+b=?aa+b
6.下列各式中，無論x取何值，分式都有意義的是( )
A. 1x2+3B. 12x+1C. 3x+1x2D. x2x?1
7.下列各式從左到右的變形不正確的是( )
A. ?y6x=?y6xB. ?y?6x=?y6xC. y?6x=?y6xD. ?y?6x=y6x
8.下列分式中，最簡分式是( )
A. 2xy4x2B. a2+b2a+bC. 2?x4?x2D. 3?xx2?6x+9
9.如果二次三項式x2+ax+2可分解為(x?1)(x+b)，則a+b的值為( )
A. ?2B. ?5C. 3D. 5
10.小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：x?y，a?b，2，x2?y2，a，x+y，分別對應(yīng)下列六個字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將2a(x2?y2)?2b(x2?y2)因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是( )
A. 愛我中華B. 我游中華C. 中華美D. 我愛美
11.計算(?2)2019+(?2)2018的值是( )
A. ?2B. 22018C. 2D. ?22018
12.當(dāng)x是____時，多項式x2+2x+5的最小值是____.( )
A. ?1，4B. ?1，5C. 0，5D. 0，4
13.如果把分式xyx+y(x、y均不為0且x+y≠0)中的x和y都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值( )
A. 變?yōu)樵瓉淼?倍B. 不變C. 變?yōu)樵瓉淼?5D. 變?yōu)樵瓉淼?0倍
14.已知x2+kx+16可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則k的值為( )
A. ?8B. ±4C. 8D. ±8
15.若x≠?1，則我們把?1x+1稱為x的“和1負(fù)倒數(shù)”，如：2的“和1負(fù)倒數(shù)”為?13，?3的“和1負(fù)倒數(shù)”為12.若x1=23，x2是x1的“和1負(fù)倒數(shù)”，x3是x2的“和1負(fù)倒數(shù)”，…，依次類推，x2023的值是( )
A. 23B. ?35C. 75D. ?52
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
16.18b(a?b)2與12(a?b)3的公因式是______．
17.把9m2?36n2分解因式的結(jié)果是 ．
18.實數(shù)a，b滿足a+b=6，則12a2+ab+12b2=______．
19.當(dāng)x=______時，分式|x|?5x+5的值為零．
20.已知分式x?3x2?5x+a，當(dāng)x=2時，分式無意義，則a=______．
21.當(dāng)x______時，分式?21?3x的值為正數(shù)．
22.將分式1a2?9和a9?3a進(jìn)行通分時，最簡公分母是______．
23.已知x?y=4xy，則2x?3xy?2yx?2xy?y的值為______．
三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
24.(本小題8分)
分解因式．
(1)?a3+2a2b?ab2；
(2)x2(m?n)+y2(n?m)；
(3)(x2+4)2?16x2；
(4)a4?18a2+81；
(5)(x2?12)2+6(x2?12)+9；
(6)15×1012?992×15(用簡便方法做)．
25.(本小題8分)
計算：
(1)2x3y?(3yz)2÷xyz2；
(2)(xy?x2)÷x2?2xy+y2xy；
(3)x+3yx2?y2?x+2yx2?y2+2x?3yx2?y2；
(4)x2+2x+1x2?1?xx?1．
26.(本小題8分)
計算：
(1)x2?4x2?4x+4÷x2+2x2x?4?1x；
(2)(a?2?4a?2)÷a?4a2?4．
27.(本小題8分)
先化簡a?32a?4÷(5a?2?a?2)，并任選一個你喜歡的數(shù)a代入求值．
28.(本小題8分)
如圖①是由邊長為a的大正方形紙片剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形．我們把紙片剪開后，拼成一個長方形(如圖②)．
(1)探究：上述操作能驗證的等式的序號是______．
①a2+ab=a(a+b) ②a2?2ab+b2=(a?b)2③a2?b2=(a+b)(a?b)
(2)應(yīng)用：利用你從(1)中選出的等式，完成下列各題：
①已知4x2?9y2=12，2x+3y=4，求2x?3y的值；
②計算(1?122)×(1?132)×(1?142)×(1?152)×…×(1?11002).
29.(本小題8分)
【閱讀材料】
對于二次三項式a2+2ab+b2可以直接分解為(a+b)2的形式，但對于二次三項式a2+2ab?8b2，就不能直接用公式了，我們可以在二次三項式a2+2ab?8b2中先加上一項b2，使其成為完全平方式，再減去b2這項，(這里也可把?8b2拆成+b2與?9b2的和)，使整個式子的值不變．于是有：a2+2ab?8b2=a2+2ab?8b2+b2?b2=(a2+2ab+b2)?8b2?b2=(a+b)2?9b2=[(a+b)+3b][(a+b)?3b]=(a+4b)(a?2b).我們把像這樣將二次三項式分解因式的方法叫做添(拆)項法．
【應(yīng)用材料】
(1)上式中添(拆)項后先把完全平方式組合在一起，然后用______法實現(xiàn)分解因式．
(2)請你根據(jù)材料中提供的因式分解的方法，將下面的多項式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．
解：A、是整式的乘法，故A不符合題意；
B、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故B不符合題意；
C、x2+4xy?x=x(x+4y?1)，故C不符合題意；
D、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故D符合題意；
故選：D．
本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．
2.【答案】C
【解析】解：∵a2?8a+16=(a?4)2，
a2+a+14=(a+12)2，
a2?4=(a+2)(a?2)，
∴選項A、B、D能用公式法因式分解．
?a2?9是平方和的形式，不能運用公式法因式分解．
故選：C．
A、B選項考慮利用完全平方公式分解，C、D選項考慮利用平方差公式分解．
本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解決本題的關(guān)鍵．
3.【答案】B
【解析】解：分式有：1a，56+x，9x+10y一共3個．
故選：B．
判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以20yπ不是分式，是整式．
4.【答案】A
【解析】解：∵多項式的公因式是各項的數(shù)字因式的最大公約數(shù)與同底數(shù)冪的最低次冪的乘積，
∴n≥4．
又∵5>4，
∴A符合題意，B、C、D不合題意．
故選：A．
因公因式為多項式中各項的數(shù)字因式的最大公約數(shù)與同底數(shù)冪的最低次冪的乘積，得n≥4，故A正確．
本題主要考查提公因式法中公因式的找法，熟練掌握多項式公因式的找法是解題關(guān)鍵．
5.【答案】C
【解析】解：A．m?nm+n=?n?mm+n，錯誤；
B.22a+2b=1a+b，錯誤；
C.abab?b2=aa?b，正確；
D.a?a+b=?aa?b，錯誤；
故選：C．
依據(jù)分式的基本性質(zhì)以及分式中的符號法則進(jìn)行判斷即可．
本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．
6.【答案】A
【解析】解：A、無論x取何值，x2+3≥3，分式都有意義，故本選項符合題意；
B、x=?12時，2x+1=0，分式無意義，故本選項不符合題意；
C、x=0時，x2=0，分式無意義，故本選項不符合題意；
D、x=12時，2x?1=0，分式無意義，故本選項不符合題意．
故選：A．
根據(jù)分式有意義，分母不等于0對各選項分析判斷即可得解．
本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：(1)分式無意義?分母為零；(2)分式有意義?分母不為零；(3)分式值為零?分子為零且分母不為零．
7.【答案】B
【解析】解：A．?y6x=?y6x，正確，故此選項不合題意；
B.?y?6x=y6x，原式不正確，故此選項符合題意；
C.y?6x=?y6x，正確，故此選項不合題意；
D.?y?6x=y6x，正確，故此選項不合題意；
故選B．
根據(jù)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，進(jìn)而分別判斷得出答案．
此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，正確掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8.【答案】B
【解析】解：A、2xy4x2=y2x，則原分式不是最簡分式，故此選項不合題意；
B、a2+b2a+b是最簡分式，故此選項符合題意；
C、2?x4?x2=?(x?2)(x?2)(x+2)=?1x+2，則原分式不是最簡分式，故此選項不合題意；
D、3?xx2?6x+9=?x?3(x?3)2=?1x?3，則原分式不是最簡分式，故此選項不合題意；
故選：B．
利用最簡分式定義進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了最簡分式，關(guān)鍵是掌握一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．
9.【答案】B
【解析】解：∵二次三項式x2+ax+2可分解為(x?1)(x+b)，
∴x2+ax+2=(x?1)(x+b)
=x2+(b?1)x?b，
則?b=2，b?1=a，
解得：b=?2，a=?3，
故a+b=?5．
故選：B．
直接利用多項式乘法將原式變形進(jìn)而計算得出答案．
此題主要考查了十字相乘法及多項式乘多項式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
10.【答案】A
【解析】解：2a(x2?y2)?2b(x2?y2)=2(x2?y2)(a?b)=2(x+y)(x?y)(a?b)，
信息中的漢字有：華、我、愛、中．
所以結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能為愛我中華．
故選：A．
利用提公因式法和平方差公式分解因式的結(jié)果為2(x+y)(x?y)(a?b)，然后找出對應(yīng)的漢字即可對各選項進(jìn)行判斷．
本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題．
11.【答案】D
【解析】解：(?2)2019+(?2)2018
=(?2)2018×(?2+1)
=?22018．
故選：D．
直接利用提取公因式法分解因式進(jìn)而計算得出答案．
此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
12.【答案】A
【解析】解：設(shè)y=x2+2x+5；
配方法得：y=(x+1)2+4；
∴當(dāng)x=?1時多項式有最小值且最小值為4．
故選：A．
根據(jù)題意求y=x2+2x+5的最小值，用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式解答．
本題考查了配方法求二次函數(shù)的最大值和最小值，解題的關(guān)鍵是配方法解題．
13.【答案】A
【解析】解：把分式xyx+y中的x和y都變?yōu)樵瓉淼?倍得：
5x?5y5x+5y=5xyx+y，
∴分式的值變?yōu)樵瓉淼?倍，
故選：A．
把分式xyx+y中的x和y都變?yōu)樵瓉淼?倍，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡即可得出結(jié)論．
本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變．
14.【答案】D
【解析】解：∵x2+kx+16可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，
∴k=±8，
故選：D．
利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出k的值．
此題考查了因式分解?運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
15.【答案】A
【解析】解：∵x1=23，
∴x2=?11+23=?35，x3=?11?35=?52，x4=?11?52=23，
……，
∴此數(shù)列每3個數(shù)為一周期循環(huán)，
∵2023÷3=674?1，
∴x2023=x1=23，
故選：A．
根據(jù)和1負(fù)倒數(shù)的定義分別計算出x1，x2，x3，x4?，則得到從x1開始每3個值就循環(huán)，據(jù)此求解可得．
本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．
16.【答案】6(a?b)2
【解析】解：18b(a?b)2與12(a?b)3的公因式是6(a?b)2，
故答案為：6(a?b)2．
確定公因式的系數(shù)，取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；確定字母及字母的指數(shù)，取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各相同字母的指數(shù)取其指數(shù)最低的，由此確定公因式即可．
本題考查了公因式，熟練掌握公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】9(m?2n)(m+2n)
【解析】解：9m2?36n2
=9(m2?4n2)
=9(m?2n)(m+2n)．
故答案為：9(m?2n)(m+2n)．
首先提取公因式9，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案．
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．
18.【答案】18
【解析】解：∵a+b=6，
∴12a2+ab+12b2=12(a+b)2=12×36=18，
故答案為：18．
利用提公因式法和完全平方公式因式分解，將已知等式代入計算即可求出值．
此題考查了提公因式法和公式法因式分解，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
19.【答案】5
【解析】解：根據(jù)題意得：x+5≠0且|x|?5=0，
解得：x=5．
故答案是：5．
根據(jù)分式的值為零的條件可以求出x的值．
本題主要考查了分式有意義的條件，分式的值為零，需同時具備兩個條件：(1)分子為0；(2)分母不為0.這兩個條件缺一不可．
20.【答案】6
【解析】解：分式x?3x2?5x+a，
當(dāng)x=2時，分式無意義，得22?5×2+a=0，
解得a=6．
故答案是：6．
根據(jù)分母為零分式無意義，可得答案．
本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母等于零是解答此題的關(guān)鍵．
21.【答案】>13
【解析】解：根據(jù)題意，1?3x13時，分式?21?3x的值為正數(shù)．
根據(jù)題意，因為分子是負(fù)數(shù)，所以主要分母的值也是負(fù)數(shù)則可，從而列出不等式．
本題考查不等式的解法和分式值的正負(fù)條件，解不等式時當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)需改變不等號的方向，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)時，兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)不需改變不等號的方向．
22.【答案】3(a+3)(a?3)
【解析】解：∵a2?9=(a+3)(a?3)，9?3a=?3(a?3)，
∴最簡公分母為：3(a+3)(a?3)．
故答案為：3(a+3)(a?3)．
直接利用因式分解法以及最簡公分母的定義分析得出答案．
本題考查了最簡公分母的確定方法，通分的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各個分式中分母的最簡公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握．
23.【答案】52
【解析】解：∵x?y=4xy，
∴2x?3xy?2yx?2xy?y=(2x?2y)?3xy(x?y)?2xy=2(x?y)?3xy(x?y)?2xy=2?4xy?3xy4xy?2xy=5xy2xy=52．
故答案為：52．
現(xiàn)將2x?3xy?2yx?2xy?y變形為2(x?y)?3xy(x?y)?2xy，然后將x?y=4xy代入，進(jìn)而解決此題．
本題主要考查分式的化簡，熟練掌握分式的化簡是解決本題的關(guān)鍵．
24.【答案】解：(1)?a3+2a2b?ab2
=?a(a2?2ab+b2)
=?a(a?b)2；
(2)x2(m?n)+y2(n?m)
=x2(m?n)?y2(m?n)
=(m?n)(x2?y2)
=(m?n)(x+y)(x?y)；
(3)(x2+4)2?16x2
=(x2+4+4x)(x2+4?4x)
=(x+2)2(x?2)2；
(4)a4?18a2+81
=(a2?9)2
=[(a+3)(a?3)]2
=(a+3)2(a?3)2；
(5)(x2?12)2+6(x2?12)+9
=(x2?12+3)2
=(x2?9)2
=[(x+3)(x?3)]2
=(x+3)2(x?3)2；
(6)15×1012?992×15
=15×(1012?992)
=15×(101+99)×(101?99)
=15×200×2
=6000．
【解析】(1)先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
(2)先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
(3)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可；
(4)先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解因式即可；
(5)先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解因式即可；
(6)先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式法、公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．
25.【答案】解：(1)2x3y?(3yz)2÷xyz2
=2x3y?9y2z2?z2xy
=6；
(2)(xy?x2)÷x2?2xy+y2xy
=x(y?x)?xy(y?x)2
=x2yy?x；
(3)x+3yx2?y2?x+2yx2?y2+2x?3yx2?y2
=2x+2yx2?y2
=2(x+y)(x?y)(x+y)
=2x?y；
(4)x2+2x+1x2?1?xx?1
=(x+1)2(x?1)(x+1)?xx?1
=x+1x?1?xx?1
=1x?1．
【解析】(1)先算乘方，再算乘法與除法即可；
(2)把能分解的因式進(jìn)行分解，除法轉(zhuǎn)為乘法，再約分即可；
(3)利用分式的加減法的法則進(jìn)行運算即可；
(4)先通分，再進(jìn)行減法運算即可．
本題主要考查分式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
26.【答案】解：(1)x2?4x2?4x+4÷x2+2x2x?4?1x
=(x?2)(x+2)(x?2)2?2(x?2)x(x+2)?1x
=2x?1x
=1x；
(2)(a?2?4a?2)÷a?4a2?4
=a2?4a+4?4a?2?(a?2)(a+2)a?4
=a(a?4)a?2?(a?2)(a+2)a?4
=a(a+2)
=a2+2a．
【解析】(1)把能分解的因式進(jìn)行分解，除法轉(zhuǎn)為乘法，再約會，最后算減法即可；
(2)先算括號里的運算，把能分解的因式進(jìn)行分解，除法轉(zhuǎn)為乘法，再約分即可．
本題主要考查分式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
27.【答案】解：原式=a?32(a?2)÷(5a?2?a2?4a?2)
=a?32(a?2)÷9?a2a?2
=a?32(a?2)?a?2?(a+3)(a?3)
=?12(a+3)
=?12a+6，
∵a≠±3且a≠2，
∴可取a=1，
則原式=?18．
【解析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再選取使分式有意義的a的值代入計算即可．
本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
28.【答案】解：(1)③，
(2)①∵4x2?9y2=12，
∴(2x+3y)(2x?3y)=12，
∵2x+3y=4，
∴2x?3y=12÷4=3；
②(1?122)×(1?132)×(1?142)×(1?152)×…×(1?11002)=(1?12)(1+12)(1?13)(1+13)(1?14)(1+14)…(1?1100)(1+1100)=12×32×23×43×34×54×…×99100×101100=12×101100=101200．
【解析】解：(1)圖①的面積可表示為a2?b2，
圖②的面積可表示為(a+b)(a?b)，
∵圖①的面積=圖②的面積，
∴上述操作能驗證的等式是：a2?b2=(a+b)(a?b)，
故答案為③；
(2)見答案．
(1)根據(jù)圖①的面積等于圖②的面積列出等式便可；
(2)①運用前面得到的平方差公式進(jìn)行解答便可；
②運用平方差公式解答便可．
本題主要考查了平方差公式的幾何背景圖，因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練地應(yīng)用平方差公式解題．
29.【答案】解：(1)添(拆)項；
(2)①m2+6m+8
=m2+6m+9?1
=(m+3)2?1
=(m+3+1)(m+3?1)
=(m+4)(m+2)；
②a4+10a2b2+9b4
=a4+10a2b2+25b4?16b4
=(a2+5b2)2?(4b2)2
=(a2+5b2+4b2)(a2+5b2?4b2)
=(a2+9b2)(a2+b2).
【解析】【分析】
本題考查了因式分解的添(拆)項法，讀懂材料，掌握添(拆)項法的步驟是解決本題的關(guān)鍵．
(1)根據(jù)給出材料方法，直接得答案；
(2)①把8變?yōu)??1，利用添(拆)項法分解；
②把9b4變?yōu)?5b4?16b4，利用添(拆)項法分解．
【解答】
解：(1)二次三項式a2+2ab?8b2的因式分解，利用了添(拆)項法．
故答案為：添(拆)項．
(2)見答案．

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