第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 設(shè)集合，則的子集個(gè)數(shù)是（）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】解方程組求出，即可得答案.
【詳解】由題意知，
解，得或，
故，其子集有，
所以的子集個(gè)數(shù)是4，
故選：B
2. 已知是的共軛復(fù)數(shù),則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．
【詳解】i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．
3. 設(shè)向量，且，則（）
A. 3B. C. -1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)形式的共線條件進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】由題意，，又，且，
根據(jù)向量共線的條件可知，，解得.
故選：D
4. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，常見函數(shù)的單調(diào)性逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知其是奇函數(shù)，
由其單調(diào)性可知，在時(shí)遞增，
故不在上單調(diào)遞增，例如，但，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，設(shè)，
則，是奇函數(shù)，
但定義域是，無法在上單調(diào)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)?，又?br>故是偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)?，又?br>故是奇函數(shù)，又時(shí)，，均在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確.
故選：D
5. 已知等比數(shù)列前項(xiàng)和（為常數(shù)），則的值為（）
A. B. C. -1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和求出，確定的值，即可求得答案.
【詳解】由題意等比數(shù)列的前項(xiàng)和，
則時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故必適合上式，
故，
故選：C
6. 已知中，“”是“”成立的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形大邊對(duì)大角可知，由在上的單調(diào)性可得，由此可確定結(jié)果.
【詳解】由正弦定理以及三角形大邊對(duì)大角可得：
，
又，在上單調(diào)遞減，
，即，
“”是“”成立的充分必要條件.
故選：C.
7. 已知函數(shù)，若直線與和的圖象分別交于點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由條件結(jié)合函數(shù)的圖象求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的最小值．
【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，
在上遞增；在上遞增，且，如圖，
所以，且，則，
所以，
構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以的最小值為，即的最小值為1．
故選：B．
8. 一個(gè)容器裝有細(xì)沙，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，后剩余的細(xì)沙量為，經(jīng)過后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，若容器中的沙子只有開始時(shí)的十六分之一，則需再經(jīng)過的時(shí)間為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得，解出的值，得到，再令，求解得到的值，然后可求出答案．
【詳解】依題意有，即，
兩邊取對(duì)數(shù)得，
當(dāng)容器中只有開始時(shí)的十六分之一，則有，
兩邊取對(duì)數(shù)得，
所以再經(jīng)過的時(shí)間為.
故選：A.
9. 已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的最小值為（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得答案.
【詳解】依題意，則，
解得，所以，
將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，
得到函數(shù).
由，得，
所以當(dāng)，即時(shí)，取最小值，
所以在區(qū)間上的最小值為.
故選：B.
10. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】將切化弦，結(jié)合正弦定理得，再利用余弦定理求出答案．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得，即．
故選：C．
11. 已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，則下列關(guān)系中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值、三角函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由題易知，取，，則，所以A錯(cuò)誤；
，所以，B錯(cuò)誤；
，，所以，C正確；
，，，，
即，D錯(cuò)誤.
故選：C
12. 已知函數(shù)，若，則的最小值為（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由題干條件得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而得到最小值，求出答案.
【詳解】的定義域?yàn)椋鶕?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)得，
，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，所以，
令，則，
由解得，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.
故選：A.
第II卷（非選擇題，共90分）
二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上.
13. 已知為實(shí)數(shù)，，則向量在向量方向上的投影為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由投影的定義先分別計(jì)算出，再代入投影公式即可.
【詳解】由題意，所以，
則向量在向量方向上的投影為.
故答案為：.
14. 已知，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】對(duì)已知式子利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)變形可得答案.
詳解】由，得
，
，
所以，
所以，
故答案為：
15. 已知中，若的面積為為的平分線與邊的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合三角形角平分線的性質(zhì)、余弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，
所以，
由余弦定理可知：，
因?yàn)榻瞧椒志€，
所以，
在三角形中，由余弦定理可知：，
在三角形中，由余弦定理可知，
故答案：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角形角平分線的性質(zhì).
16. 已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則__________.
【答案】36
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的對(duì)稱中心，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】，
因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，對(duì)稱中心為，
所以曲線的對(duì)稱中心為，即，
因?yàn)椋字獢?shù)列為等差數(shù)列，，
所以，
則，，
所以.
故答案為：36.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程成演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答
（一）必考題：共60分.
17. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
（1）求的通項(xiàng)公式，
（2）設(shè)，且的前項(xiàng)和為，證明，.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，列方程求解首項(xiàng)和公差，即得答案；
（2）由（1）結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和可得表達(dá)式，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
設(shè)的公差為，由得，，解得，
，即，
，結(jié)合，
；
【小問2詳解】
證明：由.
，
即，
又隨著n的增大增大，
當(dāng)時(shí)，取最小值為，
又時(shí)，，且無限趨近于0，故，
故.
18. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.
（1）求A；
（2）求的內(nèi)切圓半徑.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得值，即可得答案；
（2）由數(shù)量積定義可得的值，利用余弦定理求出，再結(jié)合三角形面積，即可求得答案.
【小問1詳解】
，
故在中，；
【小問2詳解】
由，
在中，由余弦定理，
，
又，r為三角形內(nèi)切圓半徑，
.
19. 在中，從條件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.求：
（1）求；
（2）設(shè)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的值.
條件：①
②.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由誘導(dǎo)公式、三角恒等變換結(jié)合正弦定理邊化角化簡(jiǎn)即可求解.
（2）由二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后結(jié)合圖象將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)交點(diǎn)問題即可求解.
【小問1詳解】
若選條件①：由，結(jié)合正弦定理邊化角，
，且，
，即，
又，且，
所以，又.
若選條件②：，
則
所以，于是，又，所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，
由題意，
且由題知，從而.
由題知在上與有3個(gè)交點(diǎn).
又在的大致圖象如圖：
由圖可知，，又，
.
20. 已知函數(shù).
（1）若時(shí)，求在區(qū)間上的最大值與最小值.
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）最大值為，最小值為
（2）
【解析】
【分析】（1）先求在上的極值情況，得到極大值和極小值，然后和端點(diǎn)值，比較，即可得到最大值和最小值；
（2）由題意，原問題可以轉(zhuǎn)化成只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析即可.
【小問1詳解】
由題意得.
當(dāng)時(shí)，，
.
由，解得；
由，解得.
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.
故
又，，
函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
【小問2詳解】
存在實(shí)數(shù)，使不等式的解集恰好為，
等價(jià)于函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).
，
i）當(dāng)時(shí)，由，解得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
由，解得或，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又只需要，解得.
ii）當(dāng)時(shí)，顯然只有一個(gè)零點(diǎn)成立.
iii）當(dāng)時(shí)，由，解得，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減；
由，解得或，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
又只需要，解得.
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
21. 已知函數(shù).
（1）求過原點(diǎn)的切線方程；
（2）已知對(duì)任意的，都有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，將點(diǎn)代入即可得答案；
（2）令，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的符號(hào)合理分類討論.
【小問1詳解】
因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)為，
所以切線斜率為，切線方程為，
將點(diǎn)代入切線方程解得，故切線方程為；
【小問2詳解】
令，
則原不等式即為，
又，且，
若時(shí)，則，
再令且，
因?yàn)?，，而，故（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
所以在上為增函數(shù)，所以，
此時(shí)不等式恒成立即恒成立.
當(dāng)時(shí)，，則，
設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，有即在上單調(diào)遞增，
若，則，有恒成立，
故在上單調(diào)遞減，故，不合題意；
若，則存在，使得，
故，，有恒成立，
故在上單調(diào)遞減，故，不合題意；
綜合上述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于第二問根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，解答時(shí)結(jié)合的符號(hào)合理分類討論，繼而證明在該兩個(gè)范圍內(nèi)不等式恒成立和不成立.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；
（2）已知直線（t為參數(shù)），若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別是A、B，求的值．
【答案】（1）；；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）兩邊同時(shí)乘以，由，可得直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)P的直角坐標(biāo).
（2）將直線的參數(shù)方程代入C方程，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】解：（1）由，得，
又，，∴，
即曲線C的直角坐標(biāo)方程為，
點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為．
（2）把直線l的方程代入C方程，整理得，
，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是、，則，
于是
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23. 設(shè)函數(shù).
（1）解不等式，
（2）若關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）分類討論x的取值范圍，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求解；
（2）將沒有實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為沒有實(shí)數(shù)根，求出函數(shù)的最小值，結(jié)合題意可得不等式，即可求得答案.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，恒成立，.
當(dāng)時(shí)，，得；
當(dāng)時(shí)，不成立.
綜上，原不等式的解集為；
【小問2詳解】
方程沒有實(shí)數(shù)根，即沒有實(shí)數(shù)根，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即值域?yàn)椋?br>若沒有實(shí)數(shù)根，則，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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