例1．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與軸交于點A、與軸交于點B，且∠ABO＝45°，A(－6，0)，直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.
(1)求△ABC的面積；
(2)如圖2，D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊，D為直角頂點，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；
(3)如圖3，點E是軸正半軸上一點，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段AO上一動點，判斷是否存在這樣的點M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，請寫出其最小值，并加以說明.
【變式訓練1】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點在軸上，點，，，．
(1)如圖①，若點為的中點，求的長；
(2)如圖②，若點在軸上，且，求的度數(shù)；
(3)如圖③，設(shè)平分交軸于點，點是射線上一動點，點是射線上一動點，的最大值為，判斷是否存在這樣點，，使的值最??？若存在，請在答題卷上作出點，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．
【變式訓練2】在平面直角坐標系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB(點A在x軸正半軸上)．
(1)若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．
①如圖1，當點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標；
(2)如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【變式訓練3】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點在軸上，點，，，．
(1)如圖①，若點為的中點，求的長；
(2)如圖②，若點在軸上，且，求的度數(shù)；
(3)如圖③，設(shè)平分交軸于點，點是射線上一動點，點是射線上一動點，的最大值為，判斷是否存在這樣點，，使的值最小？若存在，請在答題卷上作出點，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．
類型二、幾何圖形中的最短路徑問題
例．已知點在內(nèi)．
(1)如圖1，點關(guān)于射線的對稱點是，點關(guān)于射線的對稱點是，連接、、.
①若，則______；
②若，連接，請說明當為多少度時，；
(2)如圖2，若，、分別是射線、上的任意一點，當?shù)闹荛L最小時，求的度數(shù)．
【變式訓練1】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕(如圖①)，點為其交點.
(1)探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖②，若分別為上的動點.
①當?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；
②如圖③，若點在線段上，，則的最小值= .
【變式訓練2】如圖，等邊(三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形)的邊長為，動點和動點同時出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設(shè)運動時間為，，和交于點．
(1)在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；
(2)連接，求為何值時，；
(3)若于點，點為上的點，且使最短．當時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．
【變式訓練3】如圖1，已知直線的同側(cè)有兩個點、，在直線上找一點，使點到、兩點的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點就是所要找的點，通過這種方法可以求解很多問題.
(1)如圖2，在平面直角坐標系內(nèi)，點的坐標為，點的坐標為，動點在軸上，求的最小值；
(2)如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值為______.
(3)如圖4，，，，點，分別是射線，上的動點，則的最小值為__________.
【變式訓練4】已知：如圖，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一點，∠ABE＝∠ABC，過點C作CD⊥AB于D，交BE于點P．
(1)直接寫出圖中除ABC外的所有等腰三角形；
(2)求證：BD＝PC；
(3)點H、G分別為AC、BC邊上的動點，當DHG周長取取小值時，求∠HDG的度數(shù)．
類型三、最短路徑問題的實際應(yīng)用
例1.如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學在圖2設(shè)計兩種：
小明：作，交于點，點．在處建橋．路徑是．
小紅：作，交于點，點；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．
(1)在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由．
(2)假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在處實施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點某小船從舊橋下到新橋下，到達后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點時小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間(未到兩橋)且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．
【變式訓練1】(1)如圖1，，是直線同旁的兩個定點，請在直線上確定一點P，使得最??；
(2)如圖2，已知，P是內(nèi)一點，．請在上找一點，上找一點，使得的周長最小，畫出圖形并求出這個最小值．
【變式訓練2】閱讀下列材料，解決提出的問題：
最短路徑問題:如圖(1)，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點C，使得點C到點A，點B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點，可知這個交點即為所求．
如圖(2)，如果點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點C，使得這個點到點A、點B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點B關(guān)于的對稱點B，這時對于直線l上的任一點C，都保持CB＝CB，從而把問題(2)變?yōu)閱栴}(1)．因此，線段AB與直線l的交點C的位置即為所求．
為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′．因為AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最?。?br>任務(wù)：
數(shù)學思考：(1)材料中劃線部分的依據(jù)是 ．
(2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是 ．(填字母代號即可)
A．轉(zhuǎn)化思想 B．分類討論思想 C．整體思想
遷移應(yīng)用
(3)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點P為AC邊上的動點，點D為AB邊上的動點，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為 cm．
專題04 軸對稱問題的三種考法
類型一、函數(shù)中的最值問題(和最小，差最大問題)
例1．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與軸交于點A、與軸交于點B，且∠ABO＝45°，A(－6，0)，直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.
(1)求△ABC的面積；
(2)如圖2，D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊，D為直角頂點，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；
(3)如圖3，點E是軸正半軸上一點，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段AO上一動點，判斷是否存在這樣的點M，N，使OM＋NM的值最??？若存在，請寫出其最小值，并加以說明.
【答案】(1)36；(2)證明見解析；(3)3，理由見解析.
【詳解】解：(1)由已知條件得： AC=12，OB=6，∴
(2)過E作EF⊥x軸于點F，延長EA交y軸于點H,
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF軸，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
(3)由已知條件可在線段OA上任取一點N,再在AE作關(guān)于OF的對稱點,當點N運動時，最短為點O到直線AE的距離,即點O到直線AE的垂線段的長，
∵，OA=6，∴OM+ON=3
【變式訓練1】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點在軸上，點，，，．
(1)如圖①，若點為的中點，求的長；
(2)如圖②，若點在軸上，且，求的度數(shù)；
(3)如圖③，設(shè)平分交軸于點，點是射線上一動點，點是射線上一動點，的最大值為，判斷是否存在這樣點，，使的值最??？若存在，請在答題卷上作出點，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)6；(2)15°；(3)存在，圖見解析，3
【詳解】解：(1)，,，
又∵點為的中點，∴；
(2)，，∴,是等腰直角三角形，，
過點作軸于點，
∵,∴是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵,∴,
∵,,，
，，，，
是等腰直角三角形，即，∵,；
(3)存在點，；作點O關(guān)于BF的對稱點D，
過點作軸于點，并與射線交于點，連接,
則BF垂直平分OD，∴,,∴,
當D，N，M在一條直線上時，m最小，最小值為DN的長度，
∵,∴,∴為AB的中點，
∵,∴,∴,∴．故的最小值為．
【變式訓練2】在平面直角坐標系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB(點A在x軸正半軸上)．
(1)若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．
①如圖1，當點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；
②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標；
(2)如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．
【答案】(1)①見解析；②點C的坐標為(0，﹣4)或(0，4)；(2)2
【詳解】解：(1)①證明：∵△OAB和△ACD是等邊三角形，
∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC(SAS)，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；
②解：存在兩種情況：
當點D落在第二象限時，如圖1所示：
作BM⊥OA于M，
∵B(2，2)，∴OM＝2，BM＝2，
∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC(SAS)，
∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，
∴OC＝AB＝OA＝4，∴C(0，﹣4)；
當點D落在第一象限時，如圖1﹣1所示：作BM⊥OA于M，
∵B(2，2)，∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，
同①得：△ABD≌△AOC(SAS)，∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，
若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C(0，4)；
綜上所述，若△ABD是等腰三角形，點C的坐標為(0，﹣4)或(0，4)；
(2)解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如圖2所示：
∵△OAB是等邊三角形，ON'⊥AB，F(xiàn)B是OA邊上的中線，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，
∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，
∴N'和N關(guān)于BF對稱，此時OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，
∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；
即OM+NM的最小值為2．
【變式訓練3】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點在軸上，點，，，．
(1)如圖①，若點為的中點，求的長；
(2)如圖②，若點在軸上，且，求的度數(shù)；
(3)如圖③，設(shè)平分交軸于點，點是射線上一動點，點是射線上一動點，的最大值為，判斷是否存在這樣點，，使的值最小？若存在，請在答題卷上作出點，，并直接寫出作法和的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)6；(2)15°；(3)存在，圖見解析，3
【詳解】解：(1)，,，
又∵點為的中點，∴；
(2)，，∴,
是等腰直角三角形，，
過點作軸于點，
∵,∴是等腰直角三角形，
∵,∴，
∵,∴,
∵,,，
，，，，
是等腰直角三角形，即，
∵,；
(3)存在點，；作點O關(guān)于BF的對稱點D，
過點作軸于點，并與射線交于點，
連接,
則BF垂直平分OD，∴,,
∴,
當D，N，M在一條直線上時，
m最小，最小值為DN的長度，∵,∴,∴為AB的中點，
∵,∴,∴,∴．
故的最小值為．
類型二、幾何圖形中的最短路徑問題
例．已知點在內(nèi)．
(1)如圖1，點關(guān)于射線的對稱點是，點關(guān)于射線的對稱點是，連接、、.
①若，則______；
②若，連接，請說明當為多少度時，；
(2)如圖2，若，、分別是射線、上的任意一點，當?shù)闹荛L最小時，求的度數(shù)．
【答案】(1)①100°；②當時，；(2)．
【詳解】(1)①∵點P關(guān)于射線OM的對稱點是G，點P關(guān)于射線ON的對稱點是H，
∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案為：100°；
②，，、、三點其線，，
，當時，；
(2)如圖所示：分別作點關(guān)于、的對稱點、，
連接，、、，交、于點、，則，，
此時周長的最小值等于的長.
由軸對稱性質(zhì)可得，，，，
，，
由軸對稱性質(zhì)可得，．
【變式訓練1】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕(如圖①)，點為其交點.
(1)探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖②，若分別為上的動點.
①當?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；
②如圖③，若點在線段上，，則的最小值= .
【答案】(1)AO=2OD，理由見解析；(2)①；②．
【詳解】(1)AO=2OD，理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，
∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；
(2)如圖②，作點D關(guān)于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
則此時PN+PD的長度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等邊三角形，∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，∴，
∴PB=；
(3)如圖③，作Q關(guān)于BC的對稱點Q′，作D關(guān)于BE的對稱點D′，
連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．
根據(jù)軸對稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=，
【變式訓練2】如圖，等邊(三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形)的邊長為，動點和動點同時出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設(shè)運動時間為，，和交于點．
(1)在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；
(2)連接，求為何值時，；
(3)若于點，點為上的點，且使最短．當時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．
【答案】(1)CD與BE始終相等；(2)5；(3)7
【詳解】解：(1)由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等邊三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌△CEB(SAS)，
∴BE=CD，∴CD與BE始終相等；
(2)∵DE∥BC，∴AD=AE，
∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；
(3)∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D點關(guān)于BM的對稱點D'交BC于點D'，連接D'E，交BM于點P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，∴△CD′E為等邊三角形，∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值為7．
【變式訓練3】如圖1，已知直線的同側(cè)有兩個點、，在直線上找一點，使點到、兩點的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點就是所要找的點，通過這種方法可以求解很多問題.
(1)如圖2，在平面直角坐標系內(nèi)，點的坐標為，點的坐標為，動點在軸上，求的最小值；
(2)如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值為______.
(3)如圖4，，，，點，分別是射線，上的動點，則的最小值為__________.
【答案】(1)5；(2)；(3)13.
【詳解】解：(1)作點A 關(guān)于x軸的對稱點，連接，的最小值即為的長，構(gòu)造以為斜邊的直角三角形

，
在中，由勾股定理得 ，即 ，所以的最小值為5.
(2)作于點H，交AD與點，過點作于點，則的最小值為，
平分，， ，，
在中， ，，
由勾股定理得，，
所以的最小值為.
(3)作點C關(guān)于OB的對稱點，作點D關(guān)于OA的對稱點， 連接分別交OA、OB于點，連接，則的最小值為的長.

由對稱可得OA垂直平分，OB垂直平分，


在中由勾股定理得
所以的最小值為13.
【變式訓練4】已知：如圖，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一點，∠ABE＝∠ABC，過點C作CD⊥AB于D，交BE于點P．
(1)直接寫出圖中除ABC外的所有等腰三角形；
(2)求證：BD＝PC；
(3)點H、G分別為AC、BC邊上的動點，當DHG周長取取小值時，求∠HDG的度數(shù)．
【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由見解析；(2)見解析；(3)45°
【解析】(1)解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，∴∠ABE = 22.5°，∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE為等腰三角形，
∵CD⊥AB，∴∠ADC = ∠CDB = 90°，∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，∴DA= DC，∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，
綜上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
(2)證明：如圖，在線段AD上取點H，使DH=DB，連接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，
∵CE=CP，∴BH=CP，∴ ；
(3)解：如圖，作點D關(guān)于直線BC的對稱點M，作點D關(guān)于AC的對稱點F，連接FM交BC于點G，交AC于點H，此時△DGH的周長最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
類型三、最短路徑問題的實際應(yīng)用
例1.如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學在圖2設(shè)計兩種：
小明：作，交于點，點．在處建橋．路徑是．
小紅：作，交于點，點；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．
(1)在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由．
(2)假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在處實施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點某小船從舊橋下到新橋下，到達后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點時小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間(未到兩橋)且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．
【答案】(1)小紅設(shè)計的路徑更短一些，原因見解析；(2)兩橋之間的距離為千米或千米或千米；
【詳解】解：(1)小紅設(shè)計的路徑更短一些；理由如下：
連接CE，∵，且，∴為平行四邊形，可得，
小紅走的路線是：，
小明走的路線是：，
∵在三角形中，，,
所以小明的路線比小紅的要長，
即：小紅設(shè)計的路徑更短一些；
(2)設(shè)小船一共走了次完整的來回，兩橋之間距離為千米，
由題可得順流所需時間為，逆流所需要的時間是，
所以一個完整來回所需時間為，次完整的來回所需時間為：；
∵小船早上點出發(fā)，第二天早上點發(fā)現(xiàn)，
∴小船行駛了小時；
①若小明發(fā)現(xiàn)小船時，船是從舊橋到新橋的，
則依題意可得：，
化簡可得：，
∵為整數(shù)，且，
∴，
即：兩橋之間的距離為千米；
②若小明發(fā)現(xiàn)小船時，船是從新橋到舊橋的，
則依題意可得：，
化簡可得：，
∵為整數(shù)，且，
∴，或；
即：兩橋之間的距離為千米或千米；
綜上可得：兩橋之間的距離為千米或千米或千米；
【變式訓練1】(1)如圖1，，是直線同旁的兩個定點，請在直線上確定一點P，使得最?。?br>(2)如圖2，已知，P是內(nèi)一點，．請在上找一點，上找一點，使得的周長最小，畫出圖形并求出這個最小值．
【答案】(1)畫圖見詳解；(2)畫圖見詳解，
【詳解】解：(1)過點作，并在上截取，連接交于點，由“兩點之間線段最短”可知此時最?。?br>故點即為所求，如圖：

(2)作出點關(guān)于、的對稱點、，連接、．此時的周長最小，如圖：
根據(jù)對稱性可得出：，，
∵
∴
∴
∴的周長最小值為．
【變式訓練2】閱讀下列材料，解決提出的問題：
最短路徑問題:如圖(1)，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點C，使得點C到點A，點B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點，可知這個交點即為所求．
如圖(2)，如果點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點C，使得這個點到點A、點B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點B關(guān)于的對稱點B，這時對于直線l上的任一點C，都保持CB＝CB，從而把問題(2)變?yōu)閱栴}(1)．因此，線段AB與直線l的交點C的位置即為所求．
為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′．因為AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．
任務(wù)：
數(shù)學思考
(1)材料中劃線部分的依據(jù)是 ．
(2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是 ．(填字母代號即可)
A．轉(zhuǎn)化思想
B．分類討論思想
C．整體思想
遷移應(yīng)用
(3)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點P為AC邊上的動點，點D為AB邊上的動點，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為 cm．
【答案】(1)兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；(2)A；(3)4
【詳解】(1)材料中劃線部分的依據(jù)是兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；
故答案為兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；
(2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化的思想，故答案為A．
(3)如圖(3)中，作點B關(guān)于點C的對稱點B′，連接AB′．作BH⊥AB′于H．
作點D關(guān)于AC的對稱點D′，則PD＝PD′，
∴PB+PD＝PB+PD′，
根據(jù)垂線段最短可知，當點D′與H重合，B，P，D′共線時，PB+PD的最小值＝線段BH的長，
∵BC＝CB′，AC⊥BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，
∴∠BAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝4cm，
∴PB+PD的最小值為4cm．
故答案為4．

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