例1．如圖，已知，P是的平分線上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，如果，求的長．
【變式訓(xùn)練1】如圖，中，，點(diǎn)分別在邊，上，，．
求證： 平分．
【變式訓(xùn)練2】圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點(diǎn)M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)連接AM，求證：AM平分∠EMF．
【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；
(3)如圖3，在(2)的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．
類型二、過邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線構(gòu)造等腰三角形
例1.如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．
【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．
【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF
類型三、利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補(bǔ)短
例1.已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式訓(xùn)練1】如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD(如圖2)，判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【變式訓(xùn)練2】如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．(提示：過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F．)
【變式訓(xùn)練3】如圖所示，已知B(﹣2，0)，C(2，0)，A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長線上，CD交AB于點(diǎn)F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求證：∠ABD＝∠ACD；
(2)求證：AD平分∠CDE；
(3)若在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練4】已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合)，滿足．
(1)如圖2，若，且，則________，_______．
(2)求證：．
(3)如圖3，若，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．
課后訓(xùn)練
1．如圖①，是四邊形的一個(gè)外角，//，，點(diǎn)在的延長線上，，，垂足為．
(1)求證：①平分；②．
(2)如圖②，若，，．求的度數(shù)．
2．已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．
(1)求證：；
(2)如圖2，過點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；
(3)如圖3，在(2)的條件下，若，求線段GF的長．
3．如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．
(1)求證：CG=CE；
(2)如圖2，連接FC，AC．若BF平分∠DBE，求證：CF平分∠ACE；
(3)如圖3，若G為DC中點(diǎn)，AB=2，求EF的長．
4．已知：在四邊形中，于E，且．
(1)如圖1，求的度數(shù)；
(2)如圖2，平分交于F，點(diǎn)G在上，連接，且．求證：；
(3)如圖3，在(2)的條件下，，過點(diǎn)F作，且，若，求線段的長．
5．如圖，的和的平分線，相交于點(diǎn)，．
(1)求的度數(shù)；
(2)如圖，連接，求證：平分；
(3)如圖，在⑵的條件下，在上取點(diǎn)，使得，且，，求的周長．
6．如圖所示，是的高，點(diǎn)H為的垂直平分線與的交點(diǎn)，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若，求證：；
(3)在(2)的條件下，若，，求的長．
7．教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容．
請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．
定理應(yīng)用：
(1)如圖②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．若AC=3，BC=4，求CD的長；
(2)如圖③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)M在AC上．若AC=6，BC=8，則PC+PM的最小值為 ．
專題03 與角平分線有關(guān)的輔助線的三種考法
類型一、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線
例1．如圖，已知，P是的平分線上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，如果，求的長．
【答案】4cm
【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PF⊥OB于點(diǎn)F，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，∴PF＝PE，∠EOP＝∠DOP
∵PDOA，∠AOB＝30°，∴∠PDF＝∠AOB＝30°，
∴∠DPO＝∠EOP＝∠DOP，∴ PD＝OD＝8cm
在Rt△PDF中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30°
∴PF=PD=4cm，∴ PF＝PE＝4cm．
【變式訓(xùn)練1】如圖，中，，點(diǎn)分別在邊，上，，．
求證： 平分．
【答案】見解析
【詳解】證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)．
．
在和中，．
．點(diǎn)在的平分線上．平分．
．
【變式訓(xùn)練2】圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點(diǎn)M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)連接AM，求證：AM平分∠EMF．
【答案】(1)見解析．(2)見解析．(3)見解析．
【解析】(1)證明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，∵，
∴△ABF≌△AEC(SAS)，∴EC＝BF；
(2)根據(jù)(1)，∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM(對頂角相等)，∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．
(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如圖：
∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等)．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；
(3)如圖3，在(2)的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．
【答案】(1)見解析；(2)AD﹣AB＝2BE，理由見解析；(3)3．
【詳解】(1)證明：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC＝DC；
(2)解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；
(3)解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG(SAS)∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點(diǎn)O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF(ASA)，
∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
類型二、過邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線構(gòu)造等腰三角形
例1.如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為______cm2．
【答案】4.5
【詳解】解：延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中， ，∴△ABP≌△EBP(ASA)，∴AP=PE，
∴∴ cm2，故答案為4.5．
【變式訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，若BD＝4，則CE＝________．
【答案】2
【詳解】解：如圖，延長BA、CE相交于點(diǎn)F，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE(ASA)，∴CE=EF，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD=CF，
∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案為：2．
【變式訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF
【答案】見解析
【解析】證明：延長AE、BC交于點(diǎn)F. 如圖所示：∵AE⊥BE，∴∠BEA=90°，
又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中,，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.
又AE=BD，∴AE=AF，即點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，∴AB=BF，∴BD是∠ABC的角平分線，
∵∠C=90°，DF⊥AB于F，∴CD=DF.
類型三、利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長補(bǔ)短
例1.已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】AB=AC+BD，證明見詳解．
【詳解】解：延長AE，交BD的延長線于點(diǎn)F，∵，∴∠F=∠CAF，
∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，
∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
【變式訓(xùn)練1】如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD(如圖2)，判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【答案】(1)見解析；(2)AE+CD=AC，證明見解析
【解析】(1)證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=(180°-∠ABC)=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-(90°-∠ABC)，
即∠AOC=90°+∠ABC；
(2)解：AE+CD=AC，
證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，
在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，
則在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
過M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，∴，
∵AO=3OD，∴，∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．
【變式訓(xùn)練2】如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．(提示：過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F．)
【答案】見解析
【詳解】證明：過點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，
∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB．
【變式訓(xùn)練3】如圖所示，已知B(﹣2，0)，C(2，0)，A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長線上，CD交AB于點(diǎn)F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求證：∠ABD＝∠ACD；
(2)求證：AD平分∠CDE；
(3)若在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．
【答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析；(3)∠BAC=60°，理由見解析
【解析】(1)證明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)證明：過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N，如下圖所示：
則∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)，∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)；
(3)解：∠BAC的度數(shù)為60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，連接AP，如下圖所示：
∵CD=AD+BD，∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等邊三角形，
∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【變式訓(xùn)練4】已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合)，滿足．
(1)如圖2，若，且，則________，_______．
(2)求證：．
(3)如圖3，若，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)36，126；(2)見解析；(3)
【詳解】(1)∵，且，
∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，
又∵是的平分線，∴∠BAD=∠CAD=18°，
∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案為：36，126
(2)在上截取，連接，
又∵AE=AE，，∴，∴，
∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴
∴；
(3)∵，∴，
∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，
∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴點(diǎn)E到CA、CB的距離相等，
又∵是的平分線，∴點(diǎn)E到AC、AB的距離相等，
∴點(diǎn)E到BA、BC的距離相等，∴是的平分線，
∴∠ABE=∠CBE，∴，
又∵，∴，
即．
課后訓(xùn)練
1．如圖①，是四邊形的一個(gè)外角，//，，點(diǎn)在的延長線上，，，垂足為．
(1)求證：①平分；②．
(2)如圖②，若，，．求的度數(shù)．
【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)90°
【解析】(1)解：①∵ADBC，∴∠C=∠CDE，
∵BC=BD，∴∠C=∠CDB，
∴∠CDB=∠CDE，∴DC平分；
②如圖，過點(diǎn)F作FH⊥BD，交BD延長線于H，
∵∠FDG=∠CDE，∠FDH=∠CDB，∠EDC=∠CDB，∴∠FDG=∠FDH，
∵FG⊥AE，F(xiàn)H⊥BD，∴FH=FG，∠H=∠FGD=∠AGF=90°,
∵FD=FD，∴Rt△FHD≌Rt△FGD(HL)，∴DH=DG，
∵，∴FB=FA，
∴Rt△FHB≌Rt△FGA(HL)∴BH=AG，
∵BD=BC，∴AG=BH=BD+DH=BC+DG，即AG=BC+DG；
(2)解：∵AB=4，BC=3，DG=1，
∴BD=BC=3，AG=BC+DG=3+1=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∵AB2+BD2=42+32=52=AD2，∴∠ABD=90°，
過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，交AD于N，如圖，
則∠AMF=∠BMF=90°=∠ABD，∴FMBD，∴∠BFM=∠FBD，
∵，∴FB=FA，
∴AM=AB=2，∠AFM=∠BFM，∴∠AFM=∠FBD，
由(1)②知，Rt△FHB≌Rt△FGA，
∴∠FAG=∠FBD，∴∠FAG=∠AFN，
∵FMBD，∴∠MFD=∠BDC，
∵∠BDC=∠CDE=∠FDG，∴∠MFD=∠FDG，
∴∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°，
∴2∠AFM+2∠DFN=180°，
∴2∠AFD=180°，∴∠AFD=90°．
2．已知：如圖1，四邊形ABCD中，，連接AC、BD，交于點(diǎn)E，．
(1)求證：；
(2)如圖2，過點(diǎn)B作，交DC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，若，求證：；
(3)如圖3，在(2)的條件下，若，求線段GF的長．
【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)
【解析】(1)解：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P，AF⊥BC，交CB的延長線于點(diǎn)F，

∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC
∴四邊形APBF是矩形
∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，
∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，∴AP＝PB，
∴四邊形APBF是正方形，∴AP＝AF，且AD＝AC，
∴，∴∠DAP＝∠FAC，
∵∠FAC+∠PAC＝90°，∴∠DAP+∠PAC＝90°，∴∠DAC＝90°
(2)如圖，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BD于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CP⊥BF于點(diǎn)P，在BD上截取DH＝BC，連接AH，

∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°，
∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，F(xiàn)M⊥BC，∴FN＝FM，
∵S△DBF＝2S△CBF，
∴×2，∴BD＝2BC，
∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°，
∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，
∴△ADH≌△ACB(SAS)，
∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°，
∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，
∴△AHB≌△PBC(AAS)，∴AB＝PC，
∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，
∴△AGB≌△CGP(AAS)，∴AG＝GC
(3)解：如圖，
∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3，
∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝，
在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝，∴AC＝AD＝2AG＝3
在中，CD＝＝，
∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC
∵DF+FC＝DC，∴FC＝
在中，PF＝＝1，∴FG＝PG+PF＝1+ ＝．
3．如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．
(1)求證：CG=CE；
(2)如圖2，連接FC，AC．若BF平分∠DBE，求證：CF平分∠ACE；
(3)如圖3，若G為DC中點(diǎn)，AB=2，求EF的長．
【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解；(3)
【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠DGF＝∠BGC，∴∠GBC＝∠EDC，
在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE；
(2)證明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，∴DF＝EF，
∴CF是Rt△DCE的中線，∴CF＝EF，∴∠E＝∠FCE，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵BF平分∠DBE，∴∠FBE∠DBE＝22.5°，
∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE＝67.5°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ACF＝∠FEC，∴CF平分∠ACE；
(3)解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD，
∵G為DC中點(diǎn)，∴CG＝GDCD＝1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG，
設(shè)GF＝x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，
∴，解得：x，
∴DF2＝12﹣()2，∴DF，
由(1)知：△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∴EF＝DE﹣DF．
4．已知：在四邊形中，于E，且．
(1)如圖1，求的度數(shù)；
(2)如圖2，平分交于F，點(diǎn)G在上，連接，且．求證：；
(3)如圖3，在(2)的條件下，，過點(diǎn)F作，且，若，求線段的長．
【答案】(1)120°；(2)見解析；(3)3．
【解析】(1)解：如圖1，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴AD=2AF=2EF，
∵AD=2AE，∴AE=EF=AF，∴∠CAD=60°，∵∠B+∠CAD=180°，∴∠B=120°；
(2)證明：如圖2，作FM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥AB于點(diǎn)N，
∴∠BMF=∠BNF=90°，∠GMF=∠ANF=90°，
∵BF平分∠ABC，∴FM=FN，
在Rt△BFM和Rt△BFN中，，∴Rt△BFM≌Rt△BFN(HL)，∴BM=BN，
在Rt△FMG和Rt△FNA中，，∴Rt△FMG≌Rt△FNA(HL)，
∴MG=NA，∴BN+NA=BM+MG，∴AB=BG．
(3)如圖3，
連接AG，DF，DG，作FM⊥BC于M，延長GF交AD于N，
∵AF=AD，∠DAE=60°，∴△ADF是等邊三角形，∴∠AFD=60°，AF=DF，
∵GF=AF，∠DFC=180°-∠AFD=120°，∴AF=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG，∠FAG=∠FGA，∴∠AGD=∠AFN+∠DFN=∠AFD=×60°＝30°，
∵∠ADC=120°，AD=DG，∴∠DGA=∠DAG==30°，
∴∠DGC=180°-∠DGA-∠AGD=180°-30°-30°=120°，
∴∠DGC=∠DFC，
∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC-∠1=180°-∠DFC-∠2，
∴∠GCF=∠FDG，∠DCF=∠FGD，∴∠GCF=∠DCF，
∵FH⊥CD，∴FM=FH，
∵∠FMG=∠FHD=90°，∴Rt△FMG≌Rt△FHD(HL)，∴DH=MG，
同理可得：△MCF≌△HCF(HL)，
∴CM=CH=2CG，∴GM=CG=DH，∴3CG=CD=，∴GM=CG=，
∴BM=BG-GM=AB-GM=5-=，
在Rt△BFM中，∠BFM=90°-∠FBM=90°-60°=30°，
∴BF=2BM=3．
5．如圖，的和的平分線，相交于點(diǎn)，．
(1)求的度數(shù)；
(2)如圖，連接，求證：平分；
(3)如圖，在⑵的條件下，在上取點(diǎn)，使得，且，，求的周長．
【答案】(1)120°；(2)見解析；(3)28
【詳解】(1)證明：如圖1，
分別平分，，
，
，
；
(2)如圖2，過點(diǎn)分別作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N， GQ⊥AC于Q，
平分， GM⊥AB于M，GN⊥BC 于N，
，同理，，
∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q， 平分 ；
(3)解：∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，GM=GQ，∴ 平分，
∵又， ，
在上取點(diǎn)，使 ，
平分，，
又，，
，，，
， ，，，
又，，
，
，
△ABC的周長為：，
的周長是．
6．如圖所示，是的高，點(diǎn)H為的垂直平分線與的交點(diǎn)，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若，求證：；
(3)在(2)的條件下，若，，求的長．
【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)1
【詳解】解：(1)連接，
∵H為的垂直平分線與的交點(diǎn)，∴，，
∵，∴，∴，
∵，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
在中，，
∴
∴，即平分，
在上截取，連接，
在和中，，
∴，
∴，AB=AG，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
(3)在上截取，連接，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
由(2)可知，
又∵，．
∴．∵
∴ ，∴
∴，∴
∴．
7．教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容．
請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．
定理應(yīng)用：
(1)如圖②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．若AC=3，BC=4，求CD的長；
(2)如圖③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)M在AC上．若AC=6，BC=8，則PC+PM的最小值為 ．
【答案】教材呈現(xiàn)：證明見解析；定理應(yīng)用：(1)；(2)．
【詳解】教材呈現(xiàn)：是的平分線，，
，，
在和中，，，；
定理應(yīng)用：(1)如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，
在中，，，
AD平分，且，，
在和中，，
，，，
設(shè)，則，
在中，，即，解得，即CD的長為；
(2)如圖，過點(diǎn)M作，交AB于點(diǎn)N，連接PN，
AD平分，
垂直平分MN(等腰三角形的三線合一)，
，
，
由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，取得最小值，最小值為CN，
又由垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，CN取得最小值，
在中，，
，
又，
，
解得，
即的最小值為，
故答案為：．

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