一 回歸教材 贏得高考
良好的心態(tài)是穩(wěn)定發(fā)揮乃至超常發(fā)揮的前提．考前這幾天，最明智的做法就是回歸基礎(chǔ)，鞏固基礎(chǔ)知識和基本能力；最有效的心態(tài)調(diào)節(jié)方法就是每天練一組基礎(chǔ)小題——做到保溫訓練手不涼，每天溫故一組基礎(chǔ)知識——做到胸中有糧心不慌．
(一) 集合與常用邏輯用語
1.集合
(1)集合的運算性質(zhì)
①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.
(2)子集、真子集個數(shù)計算公式
對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n，2n－1，2n－1，2n－2.
(3)集合運算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．
2．四種命題之間的相互關(guān)系
3．四種命題的真假關(guān)系
提醒 (1)兩個命題互為逆否命題時，它們有相同的真假性．
(2)兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系．
(3)如果一些命題的真假不容易直接判斷，則可以判斷其逆否命題的真假．
4．否命題與命題的否定的區(qū)別
5.含有一個量詞的命題的否定
全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如下所述：
提醒 由于全稱命題經(jīng)常省略量詞，因此，在寫這類命題的否定時，應(yīng)先確定其中的全稱量詞，再改寫量詞和否定結(jié)論．
6．全稱命題與特稱命題真假的判斷方法
1.集合運算的重要結(jié)論
(1)A∩B?A，A∩B?B；A?A∪B；B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)若A?B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A?B.若A?B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A?B.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
2．一些常見詞語的否定
3.充分條件與必要條件的三種判定方法
(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件).
(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．
(3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題．
易錯點1 忽視集合中元素的互異性
【突破點】 求解集合中元素含有參數(shù)的問題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值后，再根據(jù)其互異性檢驗．
易錯點2 未弄清集合的代表元素
【突破點】 集合的特性由元素體現(xiàn)，在解決集合的關(guān)系及運算時，要弄清集合的代表元素是什么．
易錯點3 遺忘空集
【突破點】 空集是一個特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的原因，在解題中常遺忘這個集合，導致解題錯誤或解題不全面．
易錯點4 忽視不等式解集的端點值
【突破點】 進行集合運算時，可以借助數(shù)軸，要注意集合中的“端點元素”在運算時的“取”與“舍”．
易錯點5 對含有量詞的命題的否定不當
【突破點】 由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進行命題否定時易只否定全稱命題的判斷詞，而不否定被省略的全稱量詞．
易錯點6 不清楚“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別
【突破點】 “否命題”是既否定其條件，又否定其結(jié)論，而“命題的否定”只是否定命題的結(jié)論．
易錯快攻一 遺忘空集
[典例1] 集合A＝{x|x1 000，則?p為( )
A．?n∈N，2n0，,Δ0的不等式時，首先要考慮對x2的系數(shù)進行分類討論．當a＝0時是一次不等式，解的時候還要對b，c進一步分類討論；當a≠0且Δ>0時，不等式可化為a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．
易錯點5 不等式恒成立問題處理不當
【突破點】 應(yīng)注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如對任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立問題，但對存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，可化為f(x)min≤g(x)max，應(yīng)特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關(guān)系．
易錯點6 尋找最優(yōu)整數(shù)解的方法不當
【突破點】 線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解一般在可行域的端點或邊界處取得，而最優(yōu)整數(shù)解的橫縱坐標均為整數(shù)，所以最優(yōu)整數(shù)解不一定在邊界或端點處取得，一般先把端點或邊界處的整點找出，然后代入驗證．
易錯快攻 忽視基本不等式的應(yīng)用條件
[典例] 函數(shù)y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)過定點A，若點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，則 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)的最小值為( )
A．3 B．2 eq \r(2)
C． eq \f(3＋2\r(2),2) D． eq \f(3－2\r(2),2)
[嘗試解題]
糾錯技巧
應(yīng)用基本不等式求最值時必須遵循“一正、二定、三相等”的順序．本題中求出 eq \f(m,2)＋n＝1后，若采用兩次基本不等式，有如下錯解：
eq \f(m,2)＋n＝1≥2 eq \r(\f(mn,2))，所以 eq \r(mn)≤ eq \f(\r(2),2)， eq \f(1,\r(mn))≥ eq \r(2)，① 又 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)≥2 eq \r(\f(1,mn))，②
所以 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)≥2 eq \r(2).選B.
此錯解中，①式取等號的條件是 eq \f(m,2)＝n，②式取等號的條件是 eq \f(1,m)＝ eq \f(1,n)即m＝n，兩式的等號不可能同時取得，所以2 eq \r(2)不是 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)的最小值．
【方法點津】
基本不等式加以引申，可得到如下結(jié)論：當a≥b>0時，a≥ eq \r(\f(a2＋b2,2))≥ eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)≥ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≥b，當且僅當a＝b時等號成立．其中稱 eq \r(\f(a2＋b2,2))為平方平均數(shù)、稱 eq \f(a＋b,2)為算術(shù)平均數(shù)、稱 eq \r(ab)為幾何平均數(shù)、稱 eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))為調(diào)和平均數(shù)，它們分別包含了兩個正數(shù)的平方之和a2＋b2、兩個正數(shù)之和a＋b、兩個正數(shù)之積ab、兩個正數(shù)的倒數(shù)之和 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)，只要已知這四個代數(shù)式的其中一個為定值，就可以求解另外三式的最值，應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)加以重視．
(三) 函數(shù)、導數(shù)
1.函數(shù)的定義域和值域
(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法
①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．
②若已知f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為函數(shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常見函數(shù)的值域
①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域為R.
②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a>0時，值域為 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當a0? eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]0，且a≠1)恒過(1，0)點．
(2)單調(diào)性：當a>1時，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝lgax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當00.
(3)由關(guān)于t的一元二次方程的實根分布情況得到關(guān)于a的不等式組是求解本題的一個關(guān)鍵點，注意一元二次方程的實根分布問題一般需要從一元二次方程根的判別式，對應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間端點所取值的正負，對應(yīng)二次函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間端點的位置關(guān)系三方面考慮．
易錯快攻二 混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”
[典例2] [2022·山東臨沂高三期末]已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－cs x，g(x)＝f(x)－x，a∈R.
(1)若f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，求a的最大值；
(2)當a取(1)中所求的最大值時，討論g(x)在R上的零點個數(shù)，并證明g(x)>－ eq \r(2).
[嘗試解題]
糾錯技巧
(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題的常用解法有兩種：一種是子區(qū)間法，即利用集合思想求解；另一種是恒成立法，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0).若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0).
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式f′(x)0)的圖象的兩種方法
提醒 圖象變換的實質(zhì)是點的坐標的變換，所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個函數(shù)圖象上的特征點之間的對應(yīng)確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點或最低點，當然也可以選取在原點左側(cè)或右側(cè)的第一個對稱中心點，根據(jù)這些點的坐標即可確定變換的方式、平移的單位與方向等．
4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
sin (α±β)＝sin αcs β±cs αsin β.
cs (α±β)＝cs αcs β?sin αsin β.
tan (α±β)＝ eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β).
sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式).
cs(α＋β)cs (α－β)＝cs2α－sin2β.
5．二倍角、輔助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin2α＝2sin αcs α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α).
①1＋sin2α＝(sin α＋cs α)2.
②1－sin 2α＝(sin α－cs α)2.
(2)輔助角公式
y＝a sin x＋b cs x＝ eq \r(a2＋b2)(sin x cs φ＋cs x sin φ)＝ eq \r(a2＋b2)sin (x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tan φ＝ eq \f(b,a)(a≠0)確定．
6．正、余弦定理及其變形(在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑)
提醒 在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”，避免增解.
7．平面向量數(shù)量積的坐標表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．
提醒 (1)要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行．
(2)a·b>0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件；a·b0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；an＋1－an0時，則 eq \f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；0< eq \f(an＋1,an)0).
7．雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)
提醒 (1)離心率e的取值范圍為(1，＋∞).當e越接近于1時，雙曲線開口越??；當e越接近于＋∞時，雙曲線開口越大．
(2)滿足||PF1|－|PF2||＝2a的點P的軌跡不一定是雙曲線，當2a＝0時，點P的軌跡是線段F1F2的中垂線；當00)外一點P(x0，y0)引圓的切線，切點為T，則|PT|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋Dx0＋Ey0＋F)；
(5)過圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一點P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在的直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(6)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過圓外一點P(x0，y0)的切線長d＝ eq \r(（x0－a）2＋（y0－b）2－r2).
2．橢圓中焦點三角形的相關(guān)結(jié)論
由橢圓上一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正、余弦定理．
以橢圓 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半徑公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e為橢圓的離心率)
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取得最大值，為bc.
(4)焦點三角形的周長為2(a＋c).
3．雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系
(1)若雙曲線的方程為 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則漸近線的方程為 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝0，即y＝± eq \f(b,a)x.
(2)若漸近線的方程為y＝± eq \f(b,a)x(a>0，b>0)，即 eq \f(x,a)± eq \f(y,b)＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ.(λ≠0)
(3)若所求雙曲線與雙曲線 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共漸近線，其方程可設(shè)為 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦點在x軸上；λ0，b>0)右支上不同于實軸端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標恒為a.
5．拋物線焦點弦的相關(guān)結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則
(1)焦半徑|AF|＝x1＋ eq \f(p,2)＝ eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝x2＋ eq \f(p,2)＝ eq \f(p,1＋cs α).
(2)x1x2＝ eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α).
(4) eq \f(1,|FA|)＋ eq \f(1,|FB|)＝ eq \f(2,p).
(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切．
(6)S△OAB＝ eq \f(p2,2sinα)(O為拋物線的頂點).
易錯點1 遺漏方程表示圓的充要條件
【突破點】 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，在此條件下，再根據(jù)其他條件求解．
易錯點2 解決截距問題忽略“0”的情形
【突破點】 解決直線在兩坐標軸上的截距或截距具有某種倍數(shù)關(guān)系的問題時，需注意兩點：
(1)截距不是距離，直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.
(2)明確直線方程的截距式不能表示過原點或與坐標軸垂直的直線．因此解題時應(yīng)該從截距是否為0進行分類討論．
易錯點3 不清楚直線的傾斜角與斜率關(guān)系
【突破點】 在解決由直線的斜率求其傾斜角的范圍問題時，先求出直線的斜率k的取值范圍，再利用三角函數(shù)y＝tan x的單調(diào)性，借助函數(shù)的圖象，確定傾斜角的范圍．
易錯點4 忽視斜率不存在的情況
【突破點】 (1)在解決兩直線平行的相關(guān)問題時，若利用l1∥l2?k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情況，就會導致漏解．
(2)對于解決兩直線垂直的相關(guān)問題時，若利用l1⊥l2?k1·k2＝－1求解，要注意其前提條件是k1與k2必須同時存在．
易錯點5 忽略直線與圓錐曲線相交問題中的判別式
【突破點】 凡是涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，一定不能忘記對判別式的討論．
易錯點6 忽視雙曲線定義中的條件
【突破點】 雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2ab>0)的左、右焦點F1，F(xiàn)2恰好是雙曲線x2－ eq \f(x2,8)＝1的左右頂點，橢圓C上的動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝2|F1F2|，過點F2的直線l交橢圓C于A，B兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)橢圓C上是否存在點M使得四邊形OAMB(O為原點)為平行四邊形？若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．
[嘗試解題]
糾錯技巧
對直線斜率存在與否進行討論，當斜率不存在時，結(jié)合條件容易得出結(jié)論；當斜率存在時，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出兩根之和，將條件OAMB為平行四邊形進行轉(zhuǎn)化，代入化簡即可得出結(jié)論．
易錯快攻二 忽視雙曲線定義中的限制條件
[典例2] 點P到曲線E上所有點的距離的最小值稱為點P到曲線E的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到圓C外的定點A的距離相等的點P的軌跡是( )
A．射線 B．橢圓
C．雙曲線的一支 D．雙曲線
[嘗試解題]
糾錯技巧
認為到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡一律是雙曲線往往是錯誤的，一定要注意雙曲線的定義中的限制條件，尤其是定義中“差的絕對值”這一條件．
【技巧點撥】
雙曲線的定義的數(shù)學表達式為||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|時，動點軌跡不存在．
(八) 概率與統(tǒng)計
1.分類加法計數(shù)原理
完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理).
2．分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理).
3．排列數(shù)、組合數(shù)公式及其相關(guān)性質(zhì)
(1)排列數(shù)公式
A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ eq \f(n！,（n－m）！)(m≤n，m，n∈N*)，A eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) ＝n！＝n(n－1)(n－2)…·2·1(n∈N*).
提醒 (1)在這個公式中m，n∈N*，且m≤n，并且規(guī)定0！＝1，當m＝n時，A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝n！.
(2)A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝ eq \f(n！,（n－m）！)主要有兩個作用：①利用此公式計算排列數(shù)；②對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形時常使用此公式．
(2)組合數(shù)公式
C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ,A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m)) )＝ eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝ eq \f(n！,m?。╪－m）！)(m≤n，n，m∈N*).
提醒 (1)公式C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝ eq \f(n！,m！（n－m）！)主要有兩個作用：①利用此公式計算組合數(shù)；②對含有字母的組合數(shù)的式子進行變形和證明時，常用此公式．
(2)組合數(shù)的性質(zhì)
C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) (m≤n，n，m∈N*)，C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n＋1)) ＝C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) (m≤n，n，m∈N*).
(3)排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系
A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m)) .
4．二項式定理
(a＋b)n＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) an＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) an－1b1＋…＋C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) an－rbr＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) bn(n∈N*).這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中各項的系數(shù)C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) (r＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數(shù)．式中的C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) an－rbr叫做二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項為展開式的第r＋1項：Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) an－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*).
5．二項展開式形式上的特點
(1)項數(shù)為n＋1.
(2)各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
(4)二項式的系數(shù)從C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ，C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ，一直到C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n)) ，C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) .
提醒 對于二項式定理應(yīng)用時要注意
(1)區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細．項的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負，二項式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正．
(2)運用通項求展開的一些特殊項，通常都是由題意列方程求出r，再求所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系．
(3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.
(4)在化簡求值時，注意二項式定理的逆用，要用整體思想看待a，b.
6．概率的計算公式
(1)古典概型的概率公式
P(A)＝ eq \f(事件A包含的基本事件數(shù)m,基本事件總數(shù)n)；
(2)互斥事件的概率計算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)對立事件的概率計算公式
P( eq \x\t(A))＝1－P(A)；
(4)幾何概型的概率計算公式
P(A)＝ eq \f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）).
7．統(tǒng)計中四個數(shù)據(jù)特征
(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)；
(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)；
(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 eq \(x,\s\up6(－))＝ eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差與標準差
方差：s2＝ eq \f(1,n)[(x1－ eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－ eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－ eq \(x,\s\up6(－)))2].
標準差：s＝ eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2]).
8．二項分布
(1)相互獨立事件的概率運算
①事件A，B相互獨立?P(AB)＝P(A)P(B).
②若事件A1，A2，…，An相互獨立，則這些事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
③事件A，B相互獨立，則 eq \(A,\s\up6(－))和 eq \(B,\s\up6(－))，A與 eq \(B,\s\up6(－))， eq \(A,\s\up6(－))與B也相互獨立．
(2)條件概率P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）)的性質(zhì)
①0≤P(B|A)≤1.
②若B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
③若A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B).
(3)二項分布
如果在每次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生r次的概率是P(ξ＝r)＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) prqn－r，其中r＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到隨機變量ξ的概率分布列如下：
我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并稱p為成功概率．
提醒 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝r}發(fā)生的概率為P(X＝r)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(M)) Cn－rN－M,C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(N)) )，r＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此時稱隨機變量X服從超幾何分布．
9．正態(tài)分布
(1)正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝ eq \i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx(即直線x＝a，直線x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
(2)正態(tài)曲線的特點
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．
③曲線在x＝μ處達到峰值 eq \f(1,σ\r(2π)) .
④曲線與x軸之間的面積為1.
⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．
⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
提醒 P(X≤a)＝1－P(X＞a)；P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)；P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).
1.求解排列問題常用的方法
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對稱性：在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) .
(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) ，當r＜ eq \f(n＋1,2) 時，二項式系數(shù)逐漸增大；當r＞ eq \f(n＋1,2) 時，二項式系數(shù)逐漸減?。攏是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大．
(3)各二項式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) ＝2n.
(4)奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋Ceq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))＋…＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C3n＋…＝2n－1.
3．均值與方差的性質(zhì)結(jié)論
(1)均值的性質(zhì)結(jié)論
①E(k)＝k(k為常數(shù)).
②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).
④若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2).
(2)方差的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論
①D(k)＝0(k為常數(shù)).
②D(aX＋b)＝a2D(X).
③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
④若X1，X2，…，Xn兩兩獨立，則D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn).
(3)兩點分布與二項分布的均值與方差
①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
②若隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
易錯點1 對統(tǒng)計圖表中的概念理解不清，識圖不準確
【突破點】 求解統(tǒng)計圖表問題，重要的是認真觀察圖表，發(fā)現(xiàn)有用信息和數(shù)據(jù)．對于頻率分布直方圖，應(yīng)注意圖中的每一個小矩形的面積是落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1，當小矩形等高時，說明頻率相等，計算時不要漏掉其中一個．
易錯點2 對等可能事件認識不清致誤
【突破點】 解與等可能事件相關(guān)的題目時，由于對等可能性事件的基本事件構(gòu)成理解不清，往往計算基本事件或多或少或所劃分事件根本不等可能性，從而導致失誤．
易錯點3 對抽樣概念把握不準
【突破點】 解決隨機抽樣問題時，造成失分原因是分層中不明確有幾層，計算比例時找不準比例關(guān)系．在學習時應(yīng)熟練掌握各種抽樣方法的步驟，注意系統(tǒng)抽樣中各段入樣的個體編號成等差數(shù)列，公差即每段的個體數(shù)．
易錯點4 不能正確區(qū)分古典概型與幾何概型
【突破點】 幾何概型與古典概型有相同之處又有不同之處，解題時容易犯一些似是而非的錯誤．在解決實際問題中，關(guān)鍵在于正確區(qū)分兩種概型．如基本事件是無限的屬于幾何概型，基本事件是有限的屬于古典概型．
易錯快攻一 對幾何概型問題的測度理解出錯
[典例1]
以正三角形的頂點為圓心，其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，它是具有類似于圓的“等寬性”曲線，由德國機械工程專家勒洛首先發(fā)現(xiàn)．如圖，D，E，F(xiàn)為正三角形ABC各邊中點，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(陰影部分)，若在△ABC中隨機取一點，則該點取自于該勒洛三角形部分的概率為( )
A． eq \f(π－\r(3),2) B． eq \f(2\r(3)π－3,9)
C． eq \f(\r(3)π－3,6) D． eq \f(\r(3)π－2,6)
[嘗試解題]
糾錯技巧
(1)求解有關(guān)幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍．當考查對象為點且點在線段上(平面區(qū)域內(nèi)、空間區(qū)域內(nèi))活動時，用線段長度比(面積比、體積比)計算．
(2)求解此類題的注意點：一是判斷試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)是否有無限多個；二是驗證每個基本事件的發(fā)生是否具有等可能性，只有每個基本事件發(fā)生的可能性都相等時，才可以用幾何概型的概率計算公式破解．
易錯快攻二 用頻率分布直方圖解題時誤把縱軸當作頻率
[典例2] 沃爾瑪超市為了了解某分店的銷售情況，在該分店的電腦小票中隨機抽取200張進行統(tǒng)計，將小票上的消費金額(單位：元)分成6組，分別是[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500)，[500，600]，制成如圖所示的頻率分布直方圖(假設(shè)抽到的消費金額均在[0，600]內(nèi)).
(1)求消費金額在[300，600]內(nèi)的小票張數(shù)；
(2)為做好2022“雙十二”促銷活動，該分店設(shè)計了兩種不同的促銷方案．
方案一：全場商品打八五折．
方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復減免．
利用頻率分布直方圖中的信息，分析哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由．
[嘗試解題]
糾錯技巧
此類以頻率分布直方圖為背景的方案決策型問題的易錯點有兩處：一是觀圖算頻率出錯，需注意頻率分布直方圖的縱軸表示的是“ eq \f(頻率,組距) ”；二是求平均數(shù)出錯，即利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)出錯，從而作出錯誤的決策，需認真審題與認真運算，避開此類錯誤．
二 考前練兵 考能提升
板塊一 小題補償練(必得分)
(一)集合與常用邏輯用語
一、選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．[2022·河北唐山一中高三期中]已知集合A＝{x|x2－8x≤0}，B＝{x|0c”是“a2＋b2>c2”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(Sn＋1)(Sn＋2＋1)＝(Sn＋1＋1)2(n∈N*)，a1＝1，a2＝2，則Sn＝( )
A. eq \f(n（n＋1）,2) B．2n＋1
C.2n－1 D．2n＋1＋1
5．已知函數(shù)f(x)＝ eq \f(1,2)sin x＋ eq \f(\r(3),2)cs x，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是( )
A. eq \f(π,6) B． eq \f(π,4)
C. eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
6．函數(shù)f(x)＝(x2－4x＋1)·ex的大致圖象是( )
7.
如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影)，設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒(大小忽略不計，取 eq \r(3)≈1.732)，則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為( )
A.20 B．27
C.54 D．64
8．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( )
A.3 B．4
C. eq \f(9,2) D． eq \f(11,2)
9．已知四面體ABCD的所有棱長相等，E為棱AC的中點，F(xiàn)為棱AB上一點，且AF＝ eq \f(1,4)AB，則異面直線BE，DF所成角的余弦值為( )
A. eq \f(\r(39),78) B． eq \f(4\r(19),57)
C. eq \f(\r(39),39) D． eq \f(6\r(19),57)
10．函數(shù)f(x)＝ eq \f(cs 2x＋2sin x·cs 2x－2sin 2x cs x,\r(2)cs （x＋\f(π,4)）)的值域為( )
A.(－ eq \r(2)＋1， eq \r(2)＋1)
B.[－ eq \r(2)＋1， eq \r(2)＋1)
C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，\r(2)＋1))
D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，\r(2)＋1))
11．在三棱錐P -ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝ eq \r(3)，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為( )
A. eq \f(4π,3) B． eq \f(8\r(2)π,3)
C.8π D．12π
12．已知三棱錐S -ABC的體積為4，且AC＝4，SA2＋BC2＝24，∠ACB＝30°，則三棱錐S-ABC的表面積為( )
A.10 eq \r(3)B．12 eq \r(3)
C.7 eq \r(6)或12 eq \r(3) D．9 eq \r(6)或10 eq \r(3)
二、填空題(把正確答案填在題中橫線上)
13．若曲線y＝ eq \r(x)在點P(a， eq \r(a))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是________．
14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m，n滿足m＝( eq \r(3)b－c，cs C)，n＝(a，cs A)，m∥n，則cs A的值為________．
15．如圖所示，四邊形ABCD為邊長為2的菱形，∠B＝60°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AB上運動(不含端點)，且EF∥AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，當五棱錐B -ECDAF的體積最大時，EF的長為______________.
16．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝，若方程[f(x)]2－2mf(x)＋m2－2＝0有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為________.
提速練(二)
一、選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，N＝{x|2x≤32}，則M∪N＝( )
A.(－∞，6] B．(－∞，5]
C.[0，6] D．[0，5]
2．已知復數(shù)z＝ eq \f(2,\r(3)－i)，則復數(shù)z的共軛復數(shù) eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A. eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i B． eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i
C. eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i D． eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i
3．橢圓2x2－my2＝1的一個焦點坐標為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\r(2)))，則實數(shù)m＝( )
A. eq \f(2,3)B． eq \f(2,5)
C.－ eq \f(2,3) D．－ eq \f(2,5)
4．已知函數(shù)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（\f(1,2)）x，x≥2
f（x＋1），xb>c B．a(chǎn)>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
7．某同學研究曲線C：x eq \s\up6(\f(1,3))＋y eq \s\up6(\f(1,3))＝1的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：①x、y的取值范圍是R；②曲線C是軸對稱圖形；③曲線C上的點到坐標原點的距離的最小值為 eq \f(\r(2),8). 其中正確的結(jié)論序號為( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
8．若在直線l上存在不同的三點A、B、C，使得關(guān)于x的方程x2 eq \(OA,\s\up6(→))＋x eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝0有解(O?l)，則方程解集為( )
A．?
B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1))
C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0))
D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋\r(5),2)，\f(－1－\r(5),2)))
9．將函數(shù)f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|< eq \f(π,2))的圖象向右平移 eq \f(π,12)個單位長度后所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值為( )
A．－ eq \r(3) B．－1
C．－2 D．0
10．已知O為△ABC的外心，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝4， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝2 eq \r(3)，則 eq \(AO,\s\up6(→))·( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
11．已知實數(shù)a、b、c、d滿足 eq \f(a－2ea,b)＝ eq \f(1－c,d－3)＝1(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為( )
A．10 B．18
C．8 D．12
12．1777年法國著名數(shù)學家蒲豐曾提出過著名的投針問題，此后人們根據(jù)蒲豐投針原理，運用隨機模擬方法可以估算圓周率π的近似值. 請你運用所學知識，解決蒲豐投針問題：平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于a(a>0)，向此平面任投一根長度為l(l

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