一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，那么（ ）
A．B．C．D．
2．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知平面向量，滿足，，與的夾角為，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．-2B．2C．D．
4．已知數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A．B．C．D．
5．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
6．已知是過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦．若，則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ ）
A．1B．2C．D．
7．已知函數(shù)，對(duì)一切x∈R恒有f（b）≤f（x）≤f（a）（a，b∈R），則sin（a+b）的值是（ ）
A．-B．
C．-D．
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，對(duì)恒成立，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為π
B．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增
D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)最值點(diǎn)
10．德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷在年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么是的函數(shù).”這個(gè)定義較清楚的說(shuō)明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個(gè)法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個(gè)，都有一個(gè)確定的和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為，當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)家們對(duì)“函數(shù)是連續(xù)的”的認(rèn)識(shí)，也使數(shù)學(xué)家們更加認(rèn)可函數(shù)的對(duì)應(yīng)說(shuō)定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（ ）
A．B．是奇函數(shù)
C．的值域是D．
11．已知是等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，滿足，則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．B．
C．最小D．時(shí)，的最大值為
三、填空題
12．集合滿足?，則集合的個(gè)數(shù)有 個(gè).
13．在某次考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．已知參加本次考試的學(xué)生有1000人，則本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至110分之間的學(xué)生大約有 人．（參考數(shù)據(jù)：，）
14．已知雙曲線的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn). 設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 ．
四、解答題
15．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
16．如圖所示，在樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生中抽出40名參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，將其成績(jī)(均為整數(shù)整理后畫出的頻率分布直方圖如圖，觀察圖形，回答下列問(wèn)題：
（1）求成績(jī)?cè)?0~90這一組的頻數(shù)；
（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、40百分位數(shù)；
（3）從成績(jī)是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中選2人，求他們不在同一分?jǐn)?shù)段的概率.
17．如圖所示，四棱柱的側(cè)棱與底面垂直，底面是菱形，四棱錐的頂點(diǎn)在平面上的投影恰為四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，四棱錐和四棱柱的高相等．
（1）證明：平面；
（2）若，，求平面與平面所成的二面角的余弦值．
18．在直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
(1)寫出橢圓的一個(gè)參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知是橢圓上一點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，求的最小值．
19．已知函數(shù).
(1)若，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】利用復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的定義與除法運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以.
故選：D.
2．B
【分析】量詞命題的否定步驟為：改量詞，否結(jié)論，由此得解.
【詳解】因?yàn)槊}“”是存在量詞命題，
所以其否定為.
故選：B.
3．B
【分析】根據(jù)平面垂直向量可得，利用平面向量的數(shù)量積的定義求出，計(jì)算即可求得的值.
【詳解】由，得，
即，又的夾角為，
所以，
所以，解得.
故選：B.
4．C
【分析】利用遞推關(guān)系即求.
【詳解】依題意有，則，
由此得，，，．
故選：C．
5．D
【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，
的展開式通項(xiàng)為，
所以，的展開式通項(xiàng)為，其中，、，
令，得，得，
所以，展開式中的系數(shù)為.
故選：D.
6．D
【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，分別過(guò)A，P，B三點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線,由拋物線的定義可求出，進(jìn)而可得關(guān)于的方程，即可求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo).
【詳解】如圖所示，設(shè)線段的中點(diǎn)為，
分別過(guò)A，P，B三點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線，
垂足分別為，Q，，由題意得
．
由得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，
又，∴，∴．
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.
7．A
【分析】根據(jù)輔助角公式可得，，其中，，且，可得，代入求解即可
【詳解】由輔助角公式，函數(shù)，
其中，，
由題意可知，
此時(shí)，，
所以.
故選：A
8．D
【解析】根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用的單調(diào)性求解不等式即可.
【詳解】由，可得，
即，令，
則.
令，，
所以在上是單調(diào)遞減函數(shù).
不等式，
等價(jià)于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，解得，
且，即，
故不等式的解集為.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了利用構(gòu)造新函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，考查了分析問(wèn)題的邏輯思維能力，屬于困難題.
9．AC
【分析】由題可得，可得函數(shù)，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】由圖可知，
所以，又，
所以，
所以，，，
得，，
又，得，
所以，所以，
所以函數(shù)的周期為，A正確；
由，得，，，取得，，對(duì)稱中心為，
取得，，對(duì)稱中心為，所以點(diǎn)不是曲線的對(duì)稱中心，B錯(cuò)誤；
由，得，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，C正確；
由，可得，，取得，為函數(shù)的最值點(diǎn)，所以區(qū)間內(nèi)有一個(gè)最值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.
故選：AC．
10．ACD
【解析】利用狄里克雷函數(shù)的定義可判斷AC選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；分和兩種情況討論，結(jié)合狄里克雷函數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由題意可知，.
對(duì)于A選項(xiàng)，，則，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，則，則，
當(dāng)時(shí)，則，則，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由于，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，所以，，
當(dāng)時(shí)，，所以，，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵就是緊扣函數(shù)的新定義，在解題的過(guò)程中要對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的定義來(lái)求解，在判斷命題為假命題時(shí)，可以通過(guò)特例來(lái)說(shuō)明.
11．AB
【分析】由求得，再依次判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】設(shè)公差為，由得，解得，A正確；
，B正確；由，知，又，可得，
當(dāng)或7時(shí)，取得最大值，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
12．3
【分析】根據(jù)題意求出所有的集合，即可解出.
【詳解】因?yàn)?，即?，所以，，，即集合的個(gè)數(shù)有3個(gè).
故答案為：3.
13．840
【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性及三段區(qū)間的概率求，進(jìn)而估計(jì)區(qū)間人數(shù).
【詳解】由題設(shè)，
所以，
所以考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至110分之間的學(xué)生大約有人.
故答案為：
14．
【分析】畫出圖形，利用已知條件，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)得b＝3，再利用a,b,c關(guān)系列出方程組轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】由題意可得圖象如圖，CD是雙曲線的一條漸近線
y，即bx﹣ay＝0，F(xiàn)（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，F(xiàn)E⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中點(diǎn)，EF3，
EFb，
所以b＝3，雙曲線1（a＞0，b＞0）的離心率為2，可得，
可得：，解得a．
則雙曲線的方程為：1．
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，注意梯形中位線的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
15．(1)；
(2)．
【分析】（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量法求得和公比，即可得通項(xiàng)公式；
（2）由分組求和法求和．
【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，
所以；
（2）由（1）得
．
16．（1）4；（2）平均數(shù)為，40百分位數(shù)為；（3）.
【分析】(1)由給定的頻率分布直方圖，求出成績(jī)?cè)?0~90這一組頻率即可得解；
(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)及百分位數(shù)的方法計(jì)算即得；
(3)先求出給定兩段的學(xué)生總數(shù)，再用列舉法求概率的方法求解即得.
【詳解】（1）依題意50~60這一組的頻率為，60~70這一組的頻率為，
70~80這一組的頻率為，90~100這一組的頻率為，
則80~90這一組的頻率，其頻數(shù)為4；
（2）這次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為
，
40~50這一組的頻率為0.1，50~60這一組的頻率為0.15，40~60的頻率為0.25，60~70這一組的頻率為，
因此40百分位數(shù)在60~70這一組內(nèi)，且在本組內(nèi)需要找到頻率為0.15的部分，
所以40百分位數(shù)為；
（3）記選出的2人不在同一分?jǐn)?shù)段為事件，
40~50之間的人數(shù)為人，設(shè)為，，，，90~100之間有人，設(shè)為1，2，
從這6人中選出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)樣本點(diǎn)，
其中事件包括，，，，，，，，共8個(gè)基本事件，
于是得，
所以不在同一分?jǐn)?shù)段的概率.
17．（1）詳見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，分別以為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可.
（2）根據(jù)，設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量，同理求得平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角為，利用求解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為a，底面邊長(zhǎng)為b，，
則
，
所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）因?yàn)?，設(shè)，
則
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，
則 ，所以 ，
令 ，則 ，所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，
則 ，所以 ，
令 ，則 ，所以
設(shè)平面與平面所成的二面角為，
所以，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行以及二面角的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
18．(1)（為參數(shù)），；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，可得，即可求得橢圓的普通方程，進(jìn)而求得參數(shù)方程，再通過(guò)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求得的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，利用距離公式結(jié)合三角函數(shù)即可求得最值.
【詳解】（1）由題可知，，可得,
所以橢圓的普通方程為，
故橢圓的一個(gè)參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
由，得的直角坐標(biāo)方程為．
（2）設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值．
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
19．(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解；
（2）方法一：求導(dǎo)，根據(jù)題意分析可得當(dāng)時(shí)，恒成立，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解；方法二：求導(dǎo)，根據(jù)題意分析可得在上恒成立，分類討論運(yùn)用參變分離法結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，
所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）方法一：因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，
且，由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒成立，
則，
當(dāng)時(shí)，，
整理得，
設(shè)，
（i）當(dāng)，即時(shí)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，即，所以單調(diào)遞減，
所以，解得，不符合題意，舍去；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，，不符合題意，舍去；
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
①若，則，
即，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，解得，不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；
由題意可得，解得，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
方法二：因?yàn)椋?br>則.
由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒成立.
因?yàn)?，則恒成立.
又因?yàn)?，則恒成立，
所以在上恒成立，
令，則，
因?yàn)椋瑒t，
可知，所以在上單調(diào)遞增，且，
可得：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；
設(shè)，則，設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，，該不等式成立，所以；
②當(dāng)時(shí)，，可得，
當(dāng)時(shí)，，則，即，
所以在上單調(diào)遞增，
可得，所以；
③當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)?，所?
且和在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞增，且，
可知，使得，即，
可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)，，
即，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．

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