本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷 選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次函數(shù)的值域得集合M，由得集合N，再求交集即可.
【詳解】集合，
由，解得，所以，
所以.
故選：A.
2. 若復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用除法法則求出，再根據(jù)模的計算公式計算.
【詳解】，則.
故選：B
3. 右圖是2012年在某大學(xué)自主招生考試的面試中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（ ）

A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，4
【答案】C
【解析】
【分析】去掉最高分93和最低分79計算出平均數(shù)再代入方差公式即可.
【詳解】由圖易知最高分為93,最低分為79，則剩余數(shù)的平均數(shù)為
，代入方差公式：
則剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為85和1.6
故選：C.
4. 已知變量滿足，若目標(biāo)函數(shù)取到最大值3，則a的值為（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)最大值，數(shù)形結(jié)合討論參數(shù)a，判斷函數(shù)所過的點列方程求參數(shù)，即可得答案.
【詳解】畫出可行域知，該區(qū)域是由點所圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），
直線在y軸上的截距為，斜率為，
要使目標(biāo)函數(shù)取到最大值3，
當(dāng)時，過時有最大值，，不符；
當(dāng)時，過時有最大值，，不符；
當(dāng)時，過時有最大值，，滿足.
當(dāng)時，過時有最大值，，不符.
所以.
故選：A
5. 在的展開式中，的指數(shù)是整數(shù)的項共有（ ）
A. 3項B. 4項C. 5項D. 6項
【答案】C
【解析】
【分析】先寫出展開式的通項，然后分析的指數(shù)部分，對取合適的值使的指數(shù)為整數(shù)，由此完成求解.
【詳解】因為展開式通項為，
若為整數(shù)且，
經(jīng)計算可知滿足條件，所以共有項，
故選：C.
6. 已知直線分別與軸、軸交于、兩點，點在圓上，則面積的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，加上半徑最大，再利用三角形的面積公式即可求解.
【詳解】設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，
則，
，
故選：B
【點睛】本題考查了點到直線的距離公式、三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.
7. 教育的目標(biāo)是立德樹人，是為新時代具有中國特色的社會主義培養(yǎng)全面發(fā)展的接班人，某初中學(xué)校為了響應(yīng)上級的號召，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展決定每天減少了一節(jié)學(xué)科類課程，增加了一節(jié)活動課，為此學(xué)校特開設(shè)了傳統(tǒng)武術(shù)，舞蹈，書法，小提琴四門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，初一到初三3學(xué)年將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（ ）
A. 60種B. 78種C. 54種D. 84種
【答案】C
【解析】
【分析】由題意每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1，1，2或0，2，2，利用分組分配的方法求解即可.
【詳解】由題意，三年修完四門選修課程，每學(xué)年至多選2門，
則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1，1，2或0，2，2，
先將4門學(xué)科按1，1，2分成三組，有種方式，
再分到三個學(xué)年，有種不同方式，
由分步計數(shù)原理得，不同選修方式共有種．
同理將4門課程按0，2，2分成三組，再排列，有種，
所以共有種，
故選：C．
8. 函數(shù)的部分圖像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和絕對值的幾何意義可知，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和絕對值的幾何意義可知，則C、D錯；
當(dāng)時，，，
由得，由得，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則A對，B錯；
故選：A．
【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
9. 甲、乙、丙、丁四人商量是否參加志愿者服務(wù)活動.甲說：“乙去我就肯定去.”乙說：“丙去我就不去.”丙說：“無論丁去不去，我都去.”丁說：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”則以下推論可能正確的是
A. 乙、丙兩個人去了B. 甲一個人去了
C. 甲、丙、丁三個人去了D. 四個人都去了
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用甲、乙、丙、丁四位同學(xué)所說結(jié)合丙說：“無論丁去不去，我都去．”分別分析得出答案．
【詳解】對于選項A，∵丙說：“無論丁去不去，我都去．” ∴丙一定去出游，故A選項錯誤；
對于選項B，∵乙說：“丙去我就不去．”， ∴由選項A可知，乙一定沒去，故選項B錯誤； 對于選項C，∵丁說：“甲乙中至少有一人去，我就去．” ∴由選項B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三個人去了，此選項正確；
對于選項D，∵乙說：“丙去我就不去．” ∴四個人不可能都去出游，故此選項錯誤．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了推理與論證，依次分析得出各選項正確性是解題關(guān)鍵．
10. 已知，，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)、作差法比較大小，以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易判斷.
【詳解】由，，可得，故A不正確；
由，，則，
則，可得，故B正確；
由，，，故C錯誤；
由可得，故D不正確
故選：B
【點睛】本題考查由已知條件判斷不等式的正誤，涉及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬綜合簡單題.
11. 已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點在上，若，且，則的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可知，點在雙曲線的左支上，利用勾股定理計算得出，利用雙曲線的定義可得出、所滿足的等量關(guān)系式，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.
【詳解】因為為雙曲線的左焦點，且，則點在雙曲線的左支上，
，由勾股定理可得，
由雙曲線的定義可得，
所以，雙曲線的離心率為.
故選：C.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
12. 已知，，若對于、，，都有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題首先可以求出，并證得在上為增函數(shù)，然后設(shè)以及，將轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，再然后將在上恒成立轉(zhuǎn)化為，令，得到，最后通過求出即可求出的取值范圍.
【詳解】因為，所以，
設(shè)，
因為，所以在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則等價于，
即，
設(shè)，則證明，
即證明在上恒成立，化簡得，，
設(shè)，則，，
因為在上單調(diào)遞增，
所以，，
故選：D．
【點睛】本題考查通過導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立，考查函數(shù)單調(diào)性的定義的靈活應(yīng)用，考查通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，是難題.
第II卷 非選擇題（90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項和，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.
【詳解】由等差數(shù)列基本性質(zhì)可得，
因此，.
故答案為：.
【點睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
14. 已知在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，可得函數(shù)值，整理不等式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，化簡不等式，可得答案.
【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則，
由不等式，則，可得，
由函數(shù)在單調(diào)遞減，則，解得.
故答案為：.
15. 三棱柱中，面，所有頂點在同一個球面上，，則該球的表面積為________.
【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)所求外接球是以為鄰邊長方體的外接球，進(jìn)而求出球體半徑，即可求球的表面積.
【詳解】由題意，三棱柱是以為鄰邊長方體截得的，其外接球是其長方體的外接球，
其直徑是長方體的對角線長為，所以 ，
所以該球的表面積為.
故答案為：
16. 在中，，，是角，，所對應(yīng)邊，且，，成等比數(shù)列，則的取值范圍___.
【答案】
【解析】
【分析】將所求式子進(jìn)行化簡得到，根據(jù)題意得到，再由三角形三邊關(guān)系，得到不等式，從而得到關(guān)于的不等式組，解出的范圍，得到答案.
【詳解】
因為，，成等比數(shù)列，所以，即，
在中，，即，
所以，
設(shè)，所以，即，
解得，
所以，
即.
故答案為：.
【點睛】本題考查三角恒等變形，三角形三邊關(guān)系，正弦定理角化邊，解一元二次不等式，屬于中檔題.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 在“低碳生活知識競賽”第一環(huán)節(jié)測試中，依次回答A，B，C三道題，且A，B，C三道題的分值分別為30分?20分?20分.競賽規(guī)定：選手累計得分不低于40分即通過測試，并立即停止答題.已知甲選手回答A，B，C三道題正確的概率分別為0.1?0.5?0.5，乙選手回答A，B，C三道題正確的概率分別為0.2?0.4?0.4，且回答各題時相互之間沒有影響.
（1）求甲通過測試的概率；
（2）設(shè)Y為本次測試中乙的得分，求Y的分布列以及期望；
（3）請根據(jù)測試結(jié)果來分析，甲，乙兩人誰通過測試的概率更大？
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）甲通過測試的概率更大.
【解析】
【分析】（1）甲通過測試，則甲的得分X為40或50，分別求出概率，然后相加即可；
（2）Y的可能取值為0，20，30，40，50.分別求出相應(yīng)的概率值，列表求出期望即可；
（3）比較二者通過測試的概率即可.
【詳解】（1）若甲通過測試，則甲的得分X為40或50，
，
，
所以；
（2）Y的可能取值為0，20，30，40，50.
，
，
，
，
.
Y的分布列為
則；
（3）甲通過測試的概率更大.
理由如下：
乙通過測試的概率，
甲通過測試的概率為0.3，大于乙通過測試的概率.
18. 如圖，在三棱錐中，.
（1）證明：平面平面；
（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)二面角和線面角的定義，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)點在面內(nèi)的射影為點，由知，又為直角三角形，故點為線段的中點，則面，又平面，
平面平面；
【小問2詳解】
過點作的平行線交于點，則，連接，
因面，面，
所以平面，所以面，
而面，
所以 ，所以即為二面角的平面角，故，
，則，，，
過點作于，連接，
由面面，
因為平面平面，，平面，
所以面，
即為直線與平面所成角，.
19. 已知數(shù)列的前n項和為，且，，n.
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：≤＜.
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由可得當(dāng)n≥2時，，兩式相減可得， ， 利用等比數(shù)列的通項公式可得，進(jìn)而可求；
（2）結(jié)合（1）可得，利用裂項相消法求得，結(jié)合數(shù)列的增減性，可得結(jié)論.
【詳解】（1）∵
當(dāng)n＝1時，，即，∴；
當(dāng)n≥2時，，
∴，
∴，即；
∴是等比數(shù)列，且首項為，公比為，
∴
∴；
（2）
，
∴
又∵單調(diào)遞增，所以，
∴≤＜.
【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常見方法：1、等差等比公式法；2、裂項相消法；3錯位相減法；4、倒序相加法.
20. 已知右焦點為的橢圓經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）經(jīng)過的直線與橢圓分別交于、（不與點重合），直線、分別與軸交于、，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，且直線的方程為.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，設(shè)直線、的斜率分別為、，將韋達(dá)定理代入等式，求出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）因為橢圓經(jīng)過點，且該橢圓的右焦點為.
所以，，解得，
因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）存在直線，使得，理由如下：
若直線與軸垂直，則直線過點，不合乎題意，
由已知可設(shè)所在直線的方程為，
代入橢圓的方程，得，
，
設(shè)、，則，，
記直線、的斜率分別為、，
欲使直線滿足，只需.
因為、、三點共線，所以，即.
即
.
由，即，可得.
所以存在直線，使得，
此時直線的方程為，即.
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
21. 已知函數(shù)，且.
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大值；
（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為，極大值，無極小值；（2）
【解析】
【分析】（1）將代入，求 ，由和可得的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可得極值；
（2），即當(dāng)時，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分、討論的單調(diào)性和最值，最小值小于即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，
，
由，可得，單調(diào)遞增；
由，可得，單調(diào)遞減；
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為，
當(dāng)時，函數(shù)取極大值，無極小值.
（2）由題意可得：
對于恒成立，
，
①當(dāng)，時，；
時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，
且，所以不符合題意；
③當(dāng)時，時恒有，故在上是減函數(shù)，
所以對任意都成立只需，
即，解得：，故.
綜上所述：的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：
（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；
（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負(fù)，由符號確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.
（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線與軸交點記為，與曲線交于，兩點，求．
【答案】（1）,；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；
（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】解：（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．
直線的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．
（2）直線與軸交點記為，即，
轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為為參數(shù)）與曲線交于，兩點，
把直線的參數(shù)方程代入方程．
得到，
所以，，
則：．
【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23. 設(shè)函數(shù).
（1）解不等式；
（2）當(dāng)x∈R，0

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2022-2023學(xué)年四川省瀘州市敘永第一中學(xué)校高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

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