
本試卷共4頁(yè),23小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
第I卷 選擇題(60分)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合,,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次函數(shù)的值域得集合M,由得集合N,再求交集即可.
【詳解】集合,
由,解得,所以,
所以.
故選:A
2 若復(fù)數(shù),則( )
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用除法法則求出,再根據(jù)模的計(jì)算公式計(jì)算.
【詳解】,則.
故選:B
3. 右圖是2012年在某大學(xué)自主招生考試的面試中,七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為( )
A. 84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4
【答案】C
【解析】
【分析】去掉最高分93和最低分79計(jì)算出平均數(shù)再代入方差公式即可.
【詳解】由圖易知最高分為93,最低分為79,則剩余數(shù)的平均數(shù)為
,代入方差公式:
則剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為85和1.6
故選:C.
4. 已知變量滿足,若目標(biāo)函數(shù)取到最大值3,則a的值為( )
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知畫(huà)出可行域,由目標(biāo)函數(shù)最大值,數(shù)形結(jié)合討論參數(shù)a,判斷函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)列方程求參數(shù),即可得答案.
【詳解】畫(huà)出可行域知,該區(qū)域是由點(diǎn)所圍成的三角形區(qū)域(包括邊界),
直線在y軸上的截距為,斜率為,
要使目標(biāo)函數(shù)取到最大值3,
當(dāng)時(shí),過(guò)時(shí)有最大值,,不符;
當(dāng)時(shí),過(guò)時(shí)有最大值,,不符;
當(dāng)時(shí),過(guò)時(shí)有最大值,,滿足.
當(dāng)時(shí),過(guò)時(shí)有最大值,,不符.
所以.
故選:A
5. 已知直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn),點(diǎn)在圓上,則面積的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離,加上半徑最大,再利用三角形的面積公式即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到直線的距離為,
則,
,
故選:B
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.
6. 函數(shù)的部分圖像大致是( )
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和絕對(duì)值的幾何意義可知,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)性,由此可得出答案.
【詳解】解:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和絕對(duì)值的幾何意義可知,則C、D錯(cuò);
當(dāng)時(shí),,,
由得,由得,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則A對(duì),B錯(cuò);
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
7. 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于,則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題知,再根據(jù)三角函數(shù)定義得,進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算即可得答案.
【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于,
所以函數(shù)的最小正周期為,
所以,
因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),
所以
所以
故選:D
8. 甲、乙、丙、丁四人商量是否參加志愿者服務(wù)活動(dòng).甲說(shuō):“乙去我就肯定去.”乙說(shuō):“丙去我就不去.”丙說(shuō):“無(wú)論丁去不去,我都去.”丁說(shuō):“甲、乙中只要有一人去,我就去.”則以下推論可能正確的是
A. 乙、丙兩個(gè)人去了B. 甲一個(gè)人去了
C. 甲、丙、丁三個(gè)人去了D. 四個(gè)人都去了
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用甲、乙、丙、丁四位同學(xué)所說(shuō)結(jié)合丙說(shuō):“無(wú)論丁去不去,我都去.”分別分析得出答案.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,∵丙說(shuō):“無(wú)論丁去不去,我都去.” ∴丙一定去出游,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B,∵乙說(shuō):“丙去我就不去.”, ∴由選項(xiàng)A可知,乙一定沒(méi)去,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤; 對(duì)于選項(xiàng)C,∵丁說(shuō):“甲乙中至少有一人去,我就去.” ∴由選項(xiàng)B可知,甲、丁一定都出游,故甲、丙、丁三個(gè)人去了,此選項(xiàng)正確;
對(duì)于選項(xiàng)D,∵乙說(shuō):“丙去我就不去.” ∴四個(gè)人不可能都去出游,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了推理與論證,依次分析得出各選項(xiàng)正確性是解題關(guān)鍵.
9. 已知,,下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合不等式的性質(zhì)、作差法比較大小,以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性,即可容易判斷.
【詳解】由,,可得,故A不正確;
由,,則,
則,可得,故B正確;
由,,,故C錯(cuò)誤;
由可得,故D不正確.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查由已知條件判斷不等式的正誤,涉及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,屬綜合簡(jiǎn)單題.
10. 的外接圓的圓心為O,半徑為1,,且,則向量在向量方向上的投影為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡(jiǎn),可得,則共線,由均在圓上,且為圓心,故為直徑,求得,利用數(shù)量積的幾何意義可得結(jié)果,.
【詳解】
因?yàn)?,所以?br>所以,
所以,
所以共線,
因?yàn)榫趫A上,且為圓心,故為直徑,長(zhǎng)度為2,在圓上直徑所對(duì)的角為直角,所以,
因?yàn)?,所以?br>又因?yàn)椋?br>,如圖所示.
所以向量在向量方向上的投影為.
【點(diǎn)睛】向量的運(yùn)算有兩種方法,一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答,運(yùn)算法則是:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和);二是坐標(biāo)運(yùn)算:建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解答(求最值與范圍問(wèn)題,往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單).
11. 已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若,且,則的離心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可知,點(diǎn)在雙曲線的左支上,利用勾股定理計(jì)算得出,利用雙曲線的定義可得出、所滿足的等量關(guān)系式,進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.
【詳解】因?yàn)闉殡p曲線的左焦點(diǎn),且,則點(diǎn)在雙曲線的左支上,
,由勾股定理可得,
由雙曲線的定義可得,
所以,雙曲線的離心率為.
故選:C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下:
(1)定義法:通過(guò)已知條件列出方程組,求得、的值,根據(jù)離心率的定義求解離心率的值;
(2)齊次式法:由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解;
(3)特殊值法:通過(guò)取特殊位置或特殊值,求得離心率.
12. 已知,,若對(duì)于、,,都有恒成立,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題首先可以求出,并證得在上為增函數(shù),然后設(shè)以及,將轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立,再然后將在上恒成立轉(zhuǎn)化為,令,得到,最后通過(guò)求出即可求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?,所以?br>設(shè),
因?yàn)?,所以在上為增函?shù),
不妨設(shè),則等價(jià)于,
即,
設(shè),則證明,
即證明在上恒成立,化簡(jiǎn)得,,
設(shè),則,,
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,
所以,,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立,考查函數(shù)單調(diào)性的定義的靈活應(yīng)用,考查通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,是難題.
第II卷 非選擇題(90分)
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13. 等差數(shù)列中,,,設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,則_________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值,然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.
【詳解】由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得,
因此,.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和,同時(shí)也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
14. 已知在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若,則滿足的x的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性,可得函數(shù)值,整理不等式,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,化簡(jiǎn)不等式,可得答案.
【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù),則,
由不等式,則,可得,
由函數(shù)在單調(diào)遞減,則,解得.
故答案為:.
15. 三棱柱中,面,所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,,則該球的表面積為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)所求外接球是以為鄰邊長(zhǎng)方體的外接球,進(jìn)而求出球體半徑,即可求球的表面積.
【詳解】由題意,三棱柱是以為鄰邊長(zhǎng)方體截得的,其外接球是其長(zhǎng)方體的外接球,
其直徑是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為,所以 ,
所以該球的表面積為.
故答案為:
16. 在中,,,是角,,所對(duì)應(yīng)邊,且,,成等比數(shù)列,則的取值范圍___.
【答案】
【解析】
【分析】將所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)得到,根據(jù)題意得到,再由三角形三邊關(guān)系,得到不等式,從而得到關(guān)于的不等式組,解出的范圍,得到答案.
【詳解】
因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以,即,
在中,,即,
所以,
設(shè),所以,即,
解得,
所以,
即
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形,三角形三邊關(guān)系,正弦定理角化邊,解一元二次不等式,屬于中檔題.
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:共60分.
17. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)是的前n項(xiàng)和,求使成立的最大正整數(shù)n.
【答案】(1);(2)5.
【解析】
【分析】
(1)當(dāng)時(shí),根據(jù),得到,兩式相減得,再利用等差數(shù)列的定義求解.
(2)根據(jù)(1)得到,用裂項(xiàng)相消法求,然后再代入求解.
【詳解】(1)當(dāng)時(shí),由,
得,
兩式相減得,
當(dāng)時(shí),,且
所以數(shù)列是等差數(shù)列,
;
(2),
,
解得,
所以最大的正整數(shù)為5.
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和間的關(guān)系以及裂項(xiàng)相消法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.
18. 如圖在四棱錐中,底面為正方形,為等邊三角形,平面平面.
(1)證明:平面平面;
(2)若,為線段的中點(diǎn),求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
【分析】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可知;由正方形特點(diǎn)知,由線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;
(2)由中點(diǎn)性質(zhì)可知,利用體積橋的方式可求得結(jié)果.
【詳解】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),
為等邊三角形,,
平面,平面平面,平面平面,
平面,又平面,,
底面為正方形,.
又,平面,平面,
平面,平面平面
(2)為線段的中點(diǎn),到平面的距離為到平面的距離的.
由(1)知:平面平面,
由面面垂直的性質(zhì)可知:在中,邊上的高即為三棱錐的高,
,.
【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問(wèn)題,涉及到線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐體積公式的應(yīng)用;求解三棱錐體積的常用方法是采用體積橋的方式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐的體積的求解問(wèn)題.
19. 某外賣平臺(tái)為提高外賣配送效率,針對(duì)外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案,為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣騎手,并將他們隨機(jī)分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量(單位:?jiǎn)危├L制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖,求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù),已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52,結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高,并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)所有50名騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù),將完成訂單數(shù)超過(guò)記為“優(yōu)秀”,不超過(guò)記為“一般”,然后將騎手的對(duì)應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表;
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.
附:,其中.
【答案】(1)甲中位數(shù)為53;乙中位數(shù)為49;甲配送方案的效率更高,詳見(jiàn)解析(2)填表見(jiàn)解析;(3)有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異
【解析】
【分析】(1)莖葉圖完全反映所有的原始數(shù)據(jù),由莖葉圖直接得甲中位數(shù)53,乙中位數(shù)49
(2)求出平均數(shù)由莖葉圖數(shù)據(jù)直接填入列聯(lián)表,
(3)代入公式,計(jì)算出的值,與獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表比較作出判斷.
【詳解】解:(1)用甲配送方案的騎手完成外賣訂單數(shù)的中位數(shù)為53,
用乙配送方案的騎手完成外賣訂單數(shù)的中位數(shù)為49,
因?yàn)橛靡遗渌头桨傅尿T手完成外賣訂單數(shù)的平均數(shù)為 且,
所以,甲配送方案的效率更高.
(2)由莖葉圖知.
列聯(lián)表如下:
(3)因?yàn)椋?br>所以有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.
【點(diǎn)睛】本題考查利用莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù)問(wèn)題及獨(dú)立性檢驗(yàn).
獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵是正確列出2×2列聯(lián)表,并計(jì)算出 的值;獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷,而不是對(duì)它們是否有關(guān)系的判斷.
20. 已知右焦點(diǎn)為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)經(jīng)過(guò)的直線與橢圓分別交于、(不與點(diǎn)重合),直線、分別與軸交于、,是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)存在,且直線的方程為.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組,解出、的值,即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,設(shè)直線、的斜率分別為、,將韋達(dá)定理代入等式,求出的值,即可得出結(jié)論.
【詳解】(1)因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且該橢圓的右焦點(diǎn)為.
所以,,解得,
因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)存在直線,使得,理由如下:
若直線與軸垂直,則直線過(guò)點(diǎn),不合乎題意,
由已知可設(shè)所在直線的方程為,
代入橢圓的方程,得,
,
設(shè)、,則,,
記直線、的斜率分別為、,
欲使直線滿足,只需.
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線,所以,即.
即
.
由,即,可得.
所以存在直線,使得,
此時(shí)直線的方程為,即.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下:
(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、;
(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,必要時(shí)計(jì)算;
(3)列出韋達(dá)定理;
(4)將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式;
(5)代入韋達(dá)定理求解.
21. 已知函數(shù),且.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大值;
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,極大值,無(wú)極小值;(2)
【解析】
【分析】(1)將代入,求 ,由和可得的單調(diào)區(qū)間,由單調(diào)性即可得極值;
(2),即當(dāng)時(shí),恒成立,利用導(dǎo)數(shù)分、討論的單調(diào)性和最值,最小值小于即可.
【詳解】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),
,
由,可得,單調(diào)遞增;
由,可得,單調(diào)遞減;
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,
當(dāng)時(shí),函數(shù)取極大值,無(wú)極小值.
(2)由題意可得:
對(duì)于恒成立,
,
①當(dāng),時(shí),;
時(shí),恒成立,所以在上是增函數(shù),
且,所以不符合題意;
③當(dāng)時(shí),時(shí)恒有,故在上是減函數(shù),
所以對(duì)任意都成立只需,
即,解得:,故.
綜上所述:的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法:
(1)確定函數(shù)的定義域;求導(dǎo)函數(shù),由(或)解出相應(yīng)的的范圍,對(duì)應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間(或減區(qū)間);
(2)確定函數(shù)的定義域;求導(dǎo)函數(shù),解方程,利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間,在這些子區(qū)間上討論的正負(fù),由符號(hào)確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.
(二)選考題,共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
22. 在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),且,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與軸交點(diǎn)記為,與曲線交于,兩點(diǎn),求.
【答案】(1),;(2)1.
【解析】
【分析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】解:(1)曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),且,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.
直線的極坐標(biāo)方程為,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.
(2)直線與軸交點(diǎn)記為,即,
轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為為參數(shù))與曲線交于,兩點(diǎn),
把直線的參數(shù)方程代入方程.
得到,
所以,,
則:.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于中檔題型.
[選修4-5:不等式選講](10分)
23. 設(shè)函數(shù).
(1)解不等式;
(2)當(dāng)x∈R,0
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