2024深圳高三下學(xué)期2月第一次調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù) 學(xué)
2024.2
本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若角的終邊過點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
2．已知為虛數(shù)單位，若，則（）
A．B．2C．D．
3．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對(duì)任意，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）
A．B．C．D．
4．已知是夾角為120°的兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）
A．B．2C．D．
5．由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）
A．34B．33C．32D．30
6．已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）
A．B．C．D．
7．已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A．624B．625C．626D．650
8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”．為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，已知運(yùn)動(dòng)員甲特訓(xùn)的成績分別為：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，則這組數(shù)據(jù)的（）
A．眾數(shù)為12B．平均數(shù)為14C．中位數(shù)為14.5D．第85百分位數(shù)為16
10．設(shè)，且，則下列關(guān)系式可能成立的是（）
A．B．C．D．
11．如圖，八面體的每一個(gè)面都是邊長為4的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，則（）
A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，開面直線與所成角為
B．當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離可能為
D．存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．若函數(shù)的最小正周期為，其圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則______．
13．設(shè)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則的最大值為______．
14．已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．
16．（15分）
如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（15分）
在某數(shù)字通信中，信號(hào)的傳輸包含發(fā)送與接收兩個(gè)環(huán)節(jié)。每次信號(hào)只發(fā)送0和1中的某個(gè)數(shù)字，由于隨機(jī)因素干擾，接收到的信號(hào)數(shù)字有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為，；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為．假設(shè)每次?黒的傳輸相互獨(dú)立．
（1）當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號(hào)均為0時(shí)，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號(hào)數(shù)字均相同的概率為，求的最小值；
（2）當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號(hào)均為1時(shí)，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機(jī)變量（中任意相鄰的數(shù)字均不相同時(shí)，令），若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18．（17分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）當(dāng)函數(shù)無極值點(diǎn)時(shí)，求證：．
19．（17分）
已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；
（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2024年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：每小題5分，共40分。
二、選擇題：每小題6分，共18分。
說明：第9、10題全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)得0分；第11題全部選對(duì)得6分，每選對(duì)1個(gè)得2分，有選錯(cuò)得0分．
三、填空題：每小題5分，共15分。
12． 13． 14．18
四、解答題：
15．（13分）
證明：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，①
因?yàn)?，所以由，得．?br>由①、②解得，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是等差數(shù)列．
解：（2）由（1）可知，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)闈M足上式，所以．
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．
16．（15分）
證明：（1）不妨設(shè)，
，
由余弦定理得，
在中，，
平面平面，平面平面平面，
平面．
平面，
四邊形是菱形，，
又，且平面平面平面．
解：（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，
平面平面，平面平面，
平面，
又四邊形是菱形，，
均為等邊三角形，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，及過點(diǎn)平行于的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則，
由（1）平面，
為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，
則即．
令，可得，
，
平面與平面的夾角的余弦值為．
17．（15分）
解：（1）由題可知，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為．
（2）由題設(shè)知，的可能取值為1，2，3，4．
①當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0101或1010．因此，
，
②當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，
，
③當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為1110，或0111，或0001，或1000．因此，，
④當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0000，或1111．因此，
．
所以的分布列為
因此，的數(shù)學(xué)期望．
18．（17分）
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
令，則，
因?yàn)?，所以．則在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br>所以使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，在上的最小值是與兩者中的最小者．
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上的最小值為．
（2），
由，解得，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?br>令，由，解得，
設(shè)，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
根據(jù)時(shí)，，
得的大致圖像如圖所示．
因此有：
（?。┊?dāng)時(shí)，方程無解，即無零點(diǎn)，沒有極值點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
利用，得，此時(shí)沒有極值點(diǎn)；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；
（ⅳ）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，即有一個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)極值點(diǎn)．
綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)．
（3）先證明當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，則，
記，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，
即當(dāng)時(shí)，不等式成立．
由（2）知，當(dāng)函數(shù)無極值點(diǎn)時(shí)，，則，
在不等式中，取，則有，
即不等式成立．
19．（17分）
解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，
即，
經(jīng)化簡，得的方程為，
當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．
（2）設(shè)點(diǎn)，其中且，
（?。┯桑?）可知的方程為，
因?yàn)?，所以?br>因此，三點(diǎn)共線，且，
（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，
則，
由（1）可知，
所以
（定值）．
（法二）設(shè)，則有，解得，
同理由，解得，
所以（定值）．
由橢圓定義，得，
，
解得，
同理可得，
所以
．
因?yàn)?，所以的周長為（定值）．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，軌跡為雙曲線，
根據(jù)（?。┑淖C明，同理可得三點(diǎn)共線，且，
（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，
得，
，（*）
因?yàn)椋?br>所以
，
將（*）代入上式，化簡得，
（法二）設(shè)，依條件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由雙曲線的定義，得，
根據(jù)，解得，
同理根據(jù)，解得，
所以
，
由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，，
當(dāng)時(shí)，（常數(shù)）．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
B
C
C
D
題號(hào)
9
10
11
答案
BC
AC
ACD
1
2
3
4

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