廣東省深圳市寶安區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué) 含答案（可編輯）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024.10
注意事項(xiàng)：
1．答題前，請(qǐng)將姓名、班級(jí)和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位
置上，并正確粘貼條形碼。
2 ．作答選擇題時(shí)，選出每題答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)的信息
點(diǎn)框涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。作答非選擇題時(shí)，用黑色字
跡的鋼筆或簽字筆把答案寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律
無(wú)效。
3 ．本試卷共4 頁(yè)，19 小題，滿分 150 分?？荚嚂r(shí)間 120 分鐘。
4 ．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一
個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1.樣本數(shù)據(jù) 1，6，7，8，8，9，10，11，12，13 的第 30 百分位數(shù)為（）
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
2.已知集合 A ? ?x | x ? 5?, B ?{x?Z | x ?1 ? 2}，則 A? B ? （）
2
A.{?1, 0,1, 2} B.{1, 2} C.{0,1, 2} D.{?1, 0,1, 2, 3}
A. ?1? i B.i C.1? i D. ?i
A. 2 B. 0 C.1 D. ?2
5.已知sin(? ? ?) ? m, tan? ? 2 tan ? ，則sin(? ? ?) ?（）
A. m B. ?m C.3m D. 4m
6.一個(gè)正四面體邊長(zhǎng)為3，則一個(gè)與該正四面體體積相等、高也相等的正三棱柱的側(cè)面積為
（）
}3.若
z
?1
z
? ? ，則 z ? （）
1 i
?
4.已知向量 a ? (2, x),b ? (x,2)
? ?
，若 a ? (b ? a) ，則 x ?（）
18.(本題 17 分）甲乙兩人參加知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機(jī)抽題作答，答
對(duì)積 1 分且對(duì)方不得分，答錯(cuò)不得分且對(duì)方積 1 分；然后換對(duì)方抽題作答，直到有領(lǐng)先 2
答題總次數(shù)為 n?n ? 2? .
(1)求 p ；
(2)當(dāng)n ? 2時(shí)，求甲得分 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
8 8
(3)若答題的總次數(shù)為 n 時(shí)，甲晉級(jí)的概率為 ? ? ? ? ??? ? .
P A ，證明： P ?A? P ?A? P ?A?
n 2 3 n
15 9
19.(本題 17 分）定義：任取數(shù)列{a }中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為 3，則稱數(shù)列
n
{a }具有“性質(zhì) 3”．已知項(xiàng)數(shù)為 n 的數(shù)列{a }的所有項(xiàng)的和為 M ，且數(shù)列{a }具有“性質(zhì) 3”．
n n n n
(2)若a1 = 2024,n = 2023，證明：“a2023 =-4042”是“ 1( 1, 2, , 2022)
a >a k = ?? ”的充要條
k k+
件；
}分者晉級(jí)，比賽結(jié)束.已知甲答對(duì)題目的概率為
4
5
，乙答對(duì)題目的概率為 p ，答對(duì)與否相互
獨(dú)立，抽簽決定首次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積 1 分的概率為
2
5
.記甲乙兩人的
(1)若n = 4 ，且
a = a = ，寫出所有可能的
1 0, 4 3
M 的值；
n
寶安區(qū) 2025 屆高三畢業(yè)班第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、單項(xiàng)選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A C A D C
二、多項(xiàng)選擇題
題號(hào) 9 10 11
答案 BD BC BCD
? 14、 95 三、填空題：12、0 13、 4 3
576
2
四、解答題：
15、【解答】(1)證明：由題意知：PO ? OA, PO ? OB, OA?OB ? O，OA ? 平面 AOB，
OB ?平面 AOB?PO ? 平面 AOB，又 PO ? 2OA ? 4 ，所 PA ? PB ? 2 5, AB ? 2 3 ，
1
2 2
所以 ? ? ? ?
S? ? ?2 3? 2 5 ? 3 ? 51 ，
PAB
2
設(shè)點(diǎn)O到平面 PAB 的距離為 d ，由VO?PAB ?VP?OAB
(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OC,OB,OP 的方向分別為 x, y, z 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角
π
? ? ，則 A? 3,?1, 0?，則C?2, 0, 0?,B?0, 2, 0?,P?0, 0, 4?，坐標(biāo)系，由題意知 AOC
6
所以 AB ? ?? 3,3, 0?, AP ? ?? 3,1, 4?,OC ? ?2, 0, 0?.
}得
1 1 1 2?
? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 4 17
d 51 4 2 2 sin
d ? ；（6 分）
3 3 2 3
17
設(shè)平面 PAB 的法向量為 n ? ?a,b,c?，則
?
? ? ? ? ? ?
n AB 3a 3b 0
?
????
?
?n ? AP ? ? 3a ?b ? 4c ? 0
?
(利用幾何解法相對(duì)簡(jiǎn)單，酌情給分)
x y
2 2
故橢圓C : ? ?1, （5 分）
8 2
? ?
(2)設(shè)直線 AP 的傾斜角為? ，由
?PAQ ? ， 2? ? ?PAQ ? ? ，得? ? ,k ?1，
AP
2 4
?k ? k ? 0 ?k ?1 ?
AP AQ AP
k ? ?1 （或 ?
? ? ? ? ? ? ? )
AQ
k k 1 k 1
? ? ?
AP AQ
AQ
即 AP : y ? x ?3， AQ : y ? ?x ?1
17、【解答】(1)因?yàn)?F ?x?? ln x ? x ? x ?e?2，
2
由 F?(x) ? 0 ，解得0 ? x ? 1；由 F?(x) ? 0 ，解得 x ?1．
可知 F(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,??)內(nèi)單調(diào)遞減，
}不妨取平面 PAB 的一個(gè)法向量為
r
n
? 1 ?
? ? ?
3,1,
? ?
2
，
? ???? n?OC
2 3
sin? ? cs n,OC ? ? ???? ? ?
n OC 17
所以
2 51
17
. （13 分）
16、【解答】(1)解：由題
? ?
a b
2 2
? ?
?
a
?
4 1
? ? ?
1
?
?a b
2 2
3
2
? ?
a
?
解得：
?
?b ?
?
2 2
2
聯(lián)立 y ? x ? 3 ，及
x y 14
2 2
? ? 得 1 2
1 x ? ,x ? 2 (舍），故
8 2 5
14 1
P( ,? ) ，
5 5
聯(lián)立 y ? ?x ?1，及
x y
2 2 2 2 7
? ?1得 1 2
x ? ? ,x ? 2(舍），故Q(? , )
8 2 5 5 5
故
故
12 28
x ? x ? ， x x ? ? , 而| AP |? 2 | x ?2|，| AQ|? 2 | x ?2|，
1 2 1 2 1 2
5 25
1 48
S? ? AP AQ ? x x ? x ? x ? ? （15 分）
| || | | 2( ) 4 | .
PAQ 1 2 1 2
2 25
可知 F(x)的定義域?yàn)?0,???，且
1 (2 x ?1)( x ?1)
F?(x) ? ?2x ?1 ? ? ，
x x
(2)因?yàn)?f (x)? g(x) ? x2 ?(x ?2)ex 在 x?(0, 2]恒成立，
等價(jià)于 m ? (x ?2)ex ?ln x ? x ? 2在 x?(0, 2]恒成立．
1 1
u x ? ? ? x ? ，則u?(x) ? ex ? ? 0，
x x
當(dāng)0 ? x ? 1時(shí)，則 x ?1? 0，設(shè) ( ) ex ,0 1
2
當(dāng) x?? x ?時(shí)，u(x) ? 0；當(dāng) ? ?
0, x? x0,1 時(shí)，u(x) ? 0 ．
0
當(dāng) x?? x ?時(shí)， h?(x) ? 0 ；當(dāng) ? ?
0, x? x0,1 時(shí)， h?(x) ? 0 ．
0
可知函數(shù) h(x) 在?0, x ?遞增，在? 0,1?
x 遞減，在(1, 2) 遞增． 0
1 ? 1 ?
可得 ? ? ? ? ? ?
h x ? x ?2 ex ?ln x ? x ?2 ? x ?2 ?2x ?2 ?3 ?2? x ? ?
0 ， 0 0 0 0 0 0 0
x x
0 0
? ?
所以 m 的取值范圍是[ln 2,??) ．（15 分）
18、【解答】(1)記 A ? “第 i 次答題時(shí)為甲”， B ? “甲積 1 分”，
i
1 4 4 1
則 P?A ?? ， P?B A ?? ， P?B A ?? ? ? ， ? | ? 1
| | 1 P B A ? ? p ， P?B | A ?? p ， 1 i i i i
2 5 5 5
(2)由題意可知當(dāng) n=2 時(shí)，X 可能的取值為 0，1，2，則由（1）可知
X 的分布列為：
}1 ? 1 ?
設(shè) h(x) ? (x ?2)ex ?ln x ? x ? 2， x?(0, 2]，則 h x x ?x ?
?( ) ? ( ?1)ex ? ?1 ? ?1 ?ex ? ?
x x
? ?
1
1
ex ? ? e?1? 0，所以h?(x) ? 0 ；
當(dāng) x ?1時(shí)，則 x ?1? 0 ，且e ? e, ? 1 ，可得
x
x x
，
? 1 ? ? 1 ?
可知u(x) 在(0,1)遞增，且u ? e ? 2 ? 0, u(1) ? e?1 ? 0 ?x ?? ,1?
．則
? ?
0
? ? ? ?
2 2
，使得u?x ?? ．
0 0
由u?x ?
0
1
? e ? ? 0 ，得e
x x
0 0
x
0
1
? ，且ln x ? ?x ．
x
0 0
0
且
x
0
? 1 ?
?? ?
,1
? ?
2
，則 h?x0 ?? 0 ，又因?yàn)閔(2) ? ln2 ? 0，可知當(dāng) x?(0, 2]時(shí)， ? ?
h(x) ? h 2 ? ln2，
max
2 1 ?4 1 ? 1 ? 1 4 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
p p p p
?1 ? ?1 ?
5 2 5 5 2 5 5
? ? ? ?
，
則
2 3p ?1
? ，解得
5 5
1
p ? ；（5 分）
3
2 1 ? 1 1 1 1 ? 1
P X ? ? ， ? ?
? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?
P X 0
5 ? ?
2 5 3 3 5 15
1 ? 4 2 2 4 ?
， P?X 2?
? ? ? ? ? ? ? ?
2 5 3 3 5
? ?
8
15
，
1 2 8 22
隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望為 E ?X ?? 0? ?1? ? 2? ? . （10 分）
15 5 15 15
(3)由答題總次數(shù)為 n 時(shí)甲晉級(jí)，不妨設(shè)此時(shí)甲的積分為 x甲，乙的積分為 x乙，
則 x甲 ? x乙 ? 2 ，且 x甲 ? x乙 ? n ，所以甲晉級(jí)時(shí) n 必為偶數(shù)，令 n ? 2m,m ? N *
當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， ? ? 0
P A ? ，
n
則 P ?A?? P ?A???? P ?A?? P ?A?? P ?A???? P ?A?
2 3 n 2 4 n
0 1 2 m?1
? 2 ? 8 ? 2 ? 8 ? 2 ? 8 ? 2 ? 8
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
5 15 5 15 5 15 5 15
? ? ? ?m ??
2
?1?1?? ? ??
?? ? ? ? ? ? ? ? m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? m?
0 1 2 1 5
8 2 2 2 2 8 8 2
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
2
15 5 5 5 5 15 1 9 5
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
5
? ?
? ?
又∵ m ?1時(shí)， P ?A?? P ?A???? P ?A?隨著 m 的增大而增大，
2 3 n
8 8
∴ ? ? ?? ? ???? ? ?? （17 分）
P A P A P A
2 3 n
15 9
19、【解答】(1)解：依題意，
若 : M =
a 0，3，0，3，此時(shí) 6
n n
若 : M =
a 0，-3，0，3，此時(shí) 0
n n
若 a :0，3，6，3，此時(shí) M =12 （3 分）
n n
(2)證明：必要性：因?yàn)閍k >ak+1(k =1, 2,??, 2022)，
故數(shù)列{ }( 1, 2,3, 2023)
a n = ?? 為等差數(shù)列，
n
a +1 -a =-3, (k =1, 2,??, 2022)，公差為-3，所以
k k
所以 2023 2024 (2023 1) ( 3) 4042, ( 1, 2, , 2022)
}P
1
15
2
5
8
15
a -a 3- a -a 3- ??a -a 3-
2023 2022 3, 2022 2021 3, 2 1 3, 充分性：由于
a -a 3- 即 a 3a - =- ，
2023 1 6066, 2023 1 6066 4042, 累加可得，
a =- ，故上述不等式的每個(gè)等號(hào)都取到，
2023 4042 因?yàn)?br>綜上所述，“ a2023 =-4042”是“ a a 1(k 1, 2,??, 2022)
> = ”的充要條件；（9 分） k k
+
(3)證明：令，依題意，c =±3，
k
因?yàn)?，，，，
所以
，
因?yàn)?3
c =± ，所以為偶數(shù) ，
k
所以為偶數(shù);
所以要使，必須使為偶數(shù)，即 4 整除，
亦即或，
當(dāng) 時(shí)，
a4k-2 =-3， 4k 3,( 1, 2, )
a = k = ??m 比如，
當(dāng) 時(shí)，
比如， a
4k-2 =-3， 4k 3, 4k 1 0( 1, 2, )
a = a = k = ??m ，
+
}a 1 a 3, (k 1, 2,??, 2022)
+ - =- = ，所以
所以
k k
a a k ??
+1 < ,( =1, 2, , 2022) ，充分性得證
k k
或，a - = ，
4k 2 3
a =- k = ??m 時(shí)，有，
4k 3,( 1, 2, )
或，a4k-2 =3，
a =- a = k = ??m ，有，
4k 3, 4k 1 0( 1, 2, )
+

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