考點一　二次函數(shù)的概念一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),那么y叫做x的二次函數(shù).任意一個二次函數(shù)都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的形式,因此y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函數(shù)的一般形式.注意:1.二次項系數(shù)a≠0;2.ax2+bx+c必須是整式;3.一次項系數(shù)可以為零,常數(shù)項也可以為零,一次項系數(shù)和常數(shù)項可以同時為零;4.自變量x的取值范圍是全體實數(shù).
考點二　二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
考點三　二次函數(shù)圖象的特征與a,b,c及b2-4ac的符號之間的關(guān)系
考點四　二次函數(shù)圖象的平移拋物線y=ax2與y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,則圖象的形狀和大小都相同,只是位置的不同.它們之間的平移關(guān)系如下:
考點五　二次函數(shù)關(guān)系式的確定1.設(shè)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)若已知條件是圖象上三個點的坐標,則設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0),將已知條件代入,求出a,b,c的值.2.設(shè)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標,則設(shè)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),將第三點的坐標或其他已知條件代入,求出待定系數(shù)a,最后將關(guān)系式化為一般式.
3.設(shè)頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0)若已知二次函數(shù)的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程與最大值或最小值,則設(shè)頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),將已知條件代入,求出待定系數(shù)化為一般式.
考點六　二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),當y=0時,就變成了ax2+bx+c=0(a≠0)+bx+c=0(a≠0)的解是拋物線與x軸交點的橫坐標.3.當Δ=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有兩個不同的交點;當Δ=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有一個交點;當Δ=b2-4ac0時,y1時,y隨x的增大而增大
4.把拋物線y=-x2向左平移1個單位長度,然后向上平移3個單位長度,則平移后拋物線的解析式為(　　)A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3答案:D
5.若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖象如圖,則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解x1=3,另一個解x2=　　　　　.?
答案:-16.函數(shù)y=x2+2x+1,當y=0時,x=　　　　;當1”“0,所以當xy3.故y1>y2.
答案:(1)A　(2)>
【例2】 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(-1,0),對稱軸為直線x=2.下列結(jié)論:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④當x>-1時,y的值隨x值的增大而增大.其中正確的結(jié)論有(　　)A.1個B.2個C.3個D.4個
解析:因為對稱軸為直線x=2,所以- =2,所以4a+b=0,所以①正確;因為當x=-3時,9a-3b+c0,所以③正確;因為當x>2時,y的值隨x值的增大而減小,所以④錯誤.所以正確的有2個.故選B.
變式訓(xùn)練已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列結(jié)論:①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c0,可解出m>- ,所以②正確;二次函數(shù)可化簡為y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根與系數(shù)的關(guān)系,x1+x2=5,x1x2=6-m,所以y=x2-5x+6-m+m,即y=x2-5x+6,則此二次函數(shù)圖象與x軸交點的坐標為(2,0)和(3,0),所以③正確.故選C.
【例7】 如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,點E在拋物線上,點F在x軸上,四邊形OCEF為矩形,且OF=2,EF=3.(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)求△ABD的面積;(3)將△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點A對應(yīng)點為點G,問點G是否在該拋物線上?請說明理由.
解:(1)因為四邊形OCEF為矩形,OF=2,EF=3,所以點C的坐標為(0,3),點E的坐標為(2,3).
所以拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3.
(2)因為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以拋物線的頂點坐標為(1,4).所以在△ABD中,AB邊上的高為4,令y=0,得-x2+2x+3=0,解之得,x1=-1,x2=3,所以AB=3-(-1)=4.
(3)△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,CO落在CE所在的直線上,又由(2)可知,OA=1,所以點A的對應(yīng)點G的坐標為(3,2).當x=3時,y=-32+2×3+3=0≠2,所以點G不在該拋物線上.

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