一．選擇題（每題3分，共30分）
1．如圖所示的幾何體的主視圖是
A．B．C．D．
2．方程的解是
A．B．C．，D．，
3．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是
A．B．C．D．
4．已知是反比例函數(shù)上一點(diǎn)，下列各點(diǎn)不在上的是
A．B．C．D．，
5．如圖，和△是以點(diǎn)為位似中心的位似三角形，若為的中點(diǎn)，，則的面積為
A．15B．12C．9D．6
6．如圖，在中，平分，按如下步驟作圖：
第一步，分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑在兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)、；
第二步，連接分別交、于點(diǎn)、；
第三步，連接、．
若，，，則的長(zhǎng)是
A．3B．4C．5D．6
7．下列說(shuō)法正確的是
A．對(duì)角線垂直的平行四邊形是矩形
B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．拋物線的頂點(diǎn)為
D．函數(shù)，隨的增大而增大
8．某棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬(wàn)元，第四季度總產(chǎn)值達(dá)331萬(wàn)元，問(wèn)十一、十二月份的月平均增長(zhǎng)率是多少？設(shè)月平均增長(zhǎng)率的百分?jǐn)?shù)是，則由題意可得方程為
A．
B．
C．
D．
9．已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是
A．B．C．D．
10．如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③④⑤D．②④⑤
二．填空題（每題3分，共15分）
11．已知，則 ．
12．已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ．
13．如圖，過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，且分別交、于、，矩形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)落在陰影部分的概率是 ．
14．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)、、、都在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的正弦值是 ．
15．如圖，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)剛好與邊上點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 ．
三．解答題（共55分）
16．（9分）解方程：
（1）；
（2）；
（3）2cs60°－sin245°＋（－tan45°）2022．
17．（6分）深圳某中學(xué)為了解九年級(jí)學(xué)生的體能狀況，從九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，測(cè)試結(jié)果分為，，，四個(gè)等級(jí)．請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題：
（1）本次抽樣調(diào)查共抽取了 名學(xué)生，并補(bǔ)全條形圖．
（2）“等級(jí)”在扇形圖中的圓心角度數(shù)為 ．
（3）若該中學(xué)九年級(jí)共有700名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)九年級(jí)學(xué)生中體能測(cè)試結(jié)果為等級(jí)的學(xué)生有多少名？
（4）若從體能為等級(jí)的2名男生2名女生中隨機(jī)的抽取2名學(xué)生，作為該校培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)員的重點(diǎn)對(duì)象，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率．
18．（7分）如圖所示，無(wú)人機(jī)在生活中的使用越來(lái)越廣泛，小明用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度．無(wú)人機(jī)懸停在空中處，測(cè)得樓樓頂?shù)母┙鞘牵瑯堑臉琼數(shù)母┙鞘?，已知兩樓間的距離米，樓的高為10米，從樓的處測(cè)得樓的處的仰角是、、、、在同一平面內(nèi)）．
（1）求樓的高；
（2）小明發(fā)現(xiàn)無(wú)人機(jī)電量不足，僅能維持60秒的飛行時(shí)間，為了避免無(wú)人機(jī)掉落砸傷人，站在點(diǎn)的小明馬上控制無(wú)人機(jī)從處勻速以5米秒的速度沿方向返航，無(wú)人機(jī)能安全返航嗎？
19．（7分）如圖，在中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）連接，若，，，求的長(zhǎng)度．
20．（8分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：售價(jià)在40元至60元范圍內(nèi)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)，設(shè)該商場(chǎng)決定把售價(jià)上漲，是整數(shù)）元．
（1）售價(jià)上漲元后，該商場(chǎng)平均每月可售出 個(gè)臺(tái)燈（用含的代數(shù)式表示）；
（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？
（3）臺(tái)燈售價(jià)定為多少元時(shí)，每月銷售利潤(rùn)最大？
21．（9分）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．以下是我們研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．
（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中及表格中，的值：
， ， ；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)： ；
（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．
22．（9分）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．
①求證：；
②推斷：的值為 ；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．如圖所示的幾何體的主視圖是
A．B．C．D．
【解答】解：由題意知，該幾何體的主視圖為，
故選：．
2．方程的解是
A．B．C．，D．，
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故選：．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是
A．B．C．D．
【解答】解：將拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是．
故選：．
4．已知是反比例函數(shù)上一點(diǎn)，下列各點(diǎn)不在上的是
A．B．C．D．，
【解答】解：將點(diǎn)代入，
，
，
點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，
故選：．
5．如圖，和△是以點(diǎn)為位似中心的位似三角形，若為的中點(diǎn)，，則的面積為
A．15B．12C．9D．6
【解答】解：和△是以點(diǎn)為位似中心的位似三角形，
△，，
△，
，
，
，
的面積，
故選：．
6．如圖，在中，平分，按如下步驟作圖：
第一步，分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑在兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)、；
第二步，連接分別交、于點(diǎn)、；
第三步，連接、．
若，，，則的長(zhǎng)是
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：由作法得垂直平分，
，，，
平分，
，
，
四邊形為菱形，
，
，
，
，，，
，
解得：，
．
故選：．
7．下列說(shuō)法正確的是
A．對(duì)角線垂直的平行四邊形是矩形
B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．拋物線的頂點(diǎn)為
D．函數(shù)，隨的增大而增大
【解答】解：、對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
、方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
、拋物線的頂點(diǎn)為，正確，符合題意；
、函數(shù)，在每一象限內(nèi)隨的增大而增大，錯(cuò)誤，不符合題意，
故選：．
8．某棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬(wàn)元，第四季度總產(chǎn)值達(dá)331萬(wàn)元，問(wèn)十一、十二月份的月平均增長(zhǎng)率是多少？設(shè)月平均增長(zhǎng)率的百分?jǐn)?shù)是，則由題意可得方程為
A．
B．
C．
D．
【解答】解：該棉簽生產(chǎn)工廠2022年十月棉簽產(chǎn)值達(dá)100萬(wàn)元，且月平均增長(zhǎng)率的百分?jǐn)?shù)是，
該棉簽生產(chǎn)工廠2022年十一月棉簽產(chǎn)值達(dá)萬(wàn)元，十二月棉簽產(chǎn)值達(dá)萬(wàn)元．
根據(jù)題意得：．
故選：．
9．已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是
A．B．
C．D．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，即拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，
，即、同號(hào)，
當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸在軸左邊，故錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故錯(cuò)誤，正確．
故選：．
10．如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③④⑤D．②④⑤
【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，，故①正確；
，
，
，
，故②正確；
在正方形對(duì)角線上，
到，的距離相等，
，
，
，故③正確；
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，
，
當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，，故④正確，
當(dāng)時(shí)，，
，，
，
，
，
中邊上的高與中邊上的高相等，，
，
設(shè)，則，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，故⑤不正確，
綜上所述：正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④，
故選：．
二．填空題（共5小題）
11．已知，則 ．
【解答】解：由題意，設(shè)，，
．
故答案為：
12．已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ．
【解答】解：由題意可知：△，
，
故答案為：
13．如圖，過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，且分別交、于、，矩形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)落在陰影部分的概率是 ．
【解答】解：四邊形為矩形，
，
在與中，
，
，
陰影部分的面積，
與同底且的高是高的，
．
矩形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)落在陰影部分的概率是，
故答案為：．
14．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)、、、都在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的正弦值是 ．
【解答】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
．．
四邊形是平行四邊形．
．
．
，
．
．
在中，
，
．
．
故答案為：．
15．如圖，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)剛好與邊上點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 ．
【解答】解：
沿折疊，點(diǎn)剛好與邊上點(diǎn)重合，
，，
，，
，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
則，，
，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
設(shè)反比例函數(shù)，
，
反比例函數(shù)解析式為，
點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，
，解得，即，
，
故答案為：．
三．解答題（共7小題）
16．解方程及計(jì)算：
（1）；
（2）．
（3）2cs60°－sin245°＋（－tan45°）2022．
【解答】解：（1），
，
，
或，
解得，；
（2），
，，，
，
，
，．
（3）原式＝＝．
17．深圳某中學(xué)為了解九年級(jí)學(xué)生的體能狀況，從九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，測(cè)試結(jié)果分為，，，四個(gè)等級(jí)．請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題：
（1）本次抽樣調(diào)查共抽取了 50 名學(xué)生，并補(bǔ)全條形圖．
（2）“等級(jí)”在扇形圖中的圓心角度數(shù)為 ．
（3）若該中學(xué)九年級(jí)共有700名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)九年級(jí)學(xué)生中體能測(cè)試結(jié)果為等級(jí)的學(xué)生有多少名？
（4）若從體能為等級(jí)的2名男生2名女生中隨機(jī)的抽取2名學(xué)生，作為該校培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)員的重點(diǎn)對(duì)象，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率．
【解答】解：（1），
所以本次抽樣調(diào)查共抽取了50名學(xué)生；
（2）測(cè)試結(jié)果為等級(jí)的學(xué)生數(shù)為（人；
，
（3）（名，
所以估計(jì)該中學(xué)八年級(jí)學(xué)生中體能測(cè)試結(jié)果為等級(jí)的學(xué)生有56名；
（4）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的兩人恰好都是男生的結(jié)果數(shù)為2，
所以抽取的兩人恰好都是男生的概率．
18．如圖所示，無(wú)人機(jī)在生活中的使用越來(lái)越廣泛，小明用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度．無(wú)人機(jī)懸停在空中處，測(cè)得樓樓頂?shù)母┙鞘?，樓的樓頂?shù)母┙鞘?，已知兩樓間的距離米，樓的高為10米，從樓的處測(cè)得樓的處的仰角是、、、、在同一平面內(nèi)）．
（1）求樓的高；
（2）小明發(fā)現(xiàn)無(wú)人機(jī)電量不足，僅能維持60秒的飛行時(shí)間，為了避免無(wú)人機(jī)掉落砸傷人，站在點(diǎn)的小明馬上控制無(wú)人機(jī)從處勻速以5米秒的速度沿方向返航，無(wú)人機(jī)能安全返航嗎？
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
由題意得：米，米，
在中，，
（米，
（米，
樓的高為110米；
（2）無(wú)人機(jī)能安全返航，
理由：如圖：
在中，，米，
（米，
由題意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
無(wú)人機(jī)從處勻速以5米秒的速度沿方向返航，
無(wú)人機(jī)返航需要的時(shí)間（秒，
秒秒，
無(wú)人機(jī)能安全返航．
19．如圖，在中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）連接，若，，，求的長(zhǎng)度．
【解答】（1）證明：在中，
且，
，
在和中，
，
，，
，
四邊形是矩形；
（2）解：由（1）知：四邊形是矩形，
，
，
，
，
中，，
，
由勾股定理得：，
四邊形是平行四邊形，
，
．
20．某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：售價(jià)在40元至60元范圍內(nèi)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)，設(shè)該商場(chǎng)決定把售價(jià)上漲，是整數(shù)）元．
（1）售價(jià)上漲元后，該商場(chǎng)平均每月可售出 個(gè)臺(tái)燈（用含的代數(shù)式表示）；
（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？
（3）臺(tái)燈售價(jià)定為多少元時(shí)，每月銷售利潤(rùn)最大？
【解答】解：（1）售價(jià)上漲元后，該商場(chǎng)平均每月可售出個(gè)臺(tái)燈．
故答案為：．
（2）依題意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合題意，舍去），
，．
答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為50元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈500個(gè)；
（3）設(shè)每月的銷售利潤(rùn)為，
根據(jù)題意得：，
，取整，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為11890，
此時(shí)售價(jià)為：（元，
答：臺(tái)燈售價(jià)定為59元時(shí)，每月銷售利潤(rùn)最大．
21．探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．以下是我們研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．
（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中及表格中，的值：
， ， ；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)： ；
（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
解得：，
即函數(shù)解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：，3，4；
（2）圖象如圖，根據(jù)圖象可知當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值；
（3）根據(jù)當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象在函數(shù)的圖象上方時(shí)，不等式成立，
或．
22．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．
①求證：；
②推斷：的值為 1 ；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．
【解答】（1）①證明：四邊形是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
②解：結(jié)論：．
理由：，，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，，．
故答案為：1．
（2）解：結(jié)論：．
理由：如圖2中，作于．
，
，
，，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，
．
（3）解：如圖2中，作交的延長(zhǎng)線于．
，，
，
，
可以假設(shè)，，，
，，，
，或（舍棄），
，，
，，
，，
，
，，
，，
，，
，，，
．0
1
2
3
4
5
6
5
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