廣東省深圳市南山區(qū)哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、本試卷滿分100分，考試時間為90分鐘；
2、本試卷共22道大題，請同學(xué)們仔細(xì)審題，認(rèn)真答題，祝你成功！
一、選擇題（共10題，每題3分）
1. 如圖所示的幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成的，它的主視圖是( )

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的主視圖的含義可直接進(jìn)行判斷．
【詳解】解：由題意可得：該幾何體的主視圖為
；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的三視圖，熟練掌握幾何體的三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵．
2. 用配方法解一元二次方程，此方程可變形為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查用配方法解一元二次方程，利用配方法直接求解即可得到答案，熟記配方法解一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．您看到的資料都源自我們平臺，20多萬份試卷任你下載，家威杏 MXSJ663 全網(wǎng)最新，性比價最高【詳解】解：，
配方可得，
故選：A．
3. 如圖，三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，得到，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為（）

A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：以原點(diǎn)O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的，，
的坐標(biāo)為或，
即的坐標(biāo)為或，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．
4. 如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形面積為（）

A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得到答案．
【詳解】解：∵將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，
∴，與互相平分，
∴四邊形是菱形，
∵，，
∴菱形的面積為．
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．
5. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像如圖所示、則當(dāng)時，自變量的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】觀察圖像得到兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再觀察一次函數(shù)函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方的區(qū)段，從而可得答案．
【詳解】解：由圖像可得：兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是：
所以：當(dāng)時，
，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像解不等式，掌握數(shù)型結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在平行四邊形中，對角線和交于點(diǎn)，下列命題是真命題的是（）

A. 若，則平行四邊形是菱形
B. 若，則平行四邊形是矩形
C. 若，則平行四邊形是矩形
D. 若且，則平行四邊形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可判定A；根據(jù)，又由平行線性質(zhì)年，從而得出，所以，則，所以平行四邊形是矩形，可判定B；根據(jù)，可得出，則平行四邊形是菱形，可判定C；根據(jù)且，則平行四邊形是菱形，可判定D．
【詳解】解：A、∵平行四邊形，，，，∴平行四邊形是矩形；所以若，則平行四邊形是菱形上假命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴平行四邊形是矩形，∴若，則平行四邊形是矩形是真命題；故此選項(xiàng)符合題意；
C、∵平行四邊形，∴，∴，∵
∴，∴平行四邊形是菱形，∴若，則平行四邊形是矩形是假命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、若且，則平行四邊形是菱形，所以若且，則平行四邊形是正方形是假命題，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形、菱形、正方形的判定，命題真假的判定．熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
7. 用長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形場地，使該場地的面積為，并且在垂直于墻的一邊開一個長的小門（用其它材料），若設(shè)垂直于墻的一邊長為，那么可列方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為可以得出平行于墻的一邊的長為．根據(jù)矩形的面積公式建立方程即可．
【詳解】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為可以得出平行于墻的一邊的長為，由題意得
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用，正確尋找題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8. 正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為( )

A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接，，根據(jù)勾股定理可以得到，則是等腰三角形底邊上的中線，根據(jù)三線合一定理，可以得到是直角三角形．根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．
【詳解】如圖，連接，，設(shè)正方形的網(wǎng)格邊長是，則根據(jù)勾股定理可以得到：

，，
在中，由等腰三角形三線合一得：，
則，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．
9. 下列函數(shù)中，y一定是x的二次函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般式．熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次函數(shù)的一般式進(jìn)行判斷作答即可．
【詳解】解：A中，當(dāng)時，不是二次函數(shù)，故不符合要求；
B中，是二次函數(shù)，故符合要求；
C中，是一次函數(shù)，故不符合要求；
D中，整理得，，一次函數(shù)，故不符合要求；
故選：B．
10. 如圖，在正方形中，對角線和相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，過點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)H，以為邊作等邊三角形，連接交于點(diǎn)M，下列四個命題或結(jié)論：①；②；③；④若，則四邊形MEDG的面積是．其中正確的有（）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】D
【解析】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作于N，證明四邊形是正方形，得到，則，證明得到，即可判斷①；證明，推出，由三線合一定理即可判斷②；設(shè)交于T，證明四邊形是矩形，再證明，同理可得，得到，再由，即可得到，即可判斷③；如圖所示，以B為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，先求出直線的解析式為；再求出，，則，進(jìn)一步求出，再根據(jù)求解即可判斷④．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作于N，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，四邊形是矩形，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正確；
設(shè)交于T，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴，故③正確；
如圖所示，以B為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，
∵，四邊形是正方形，
∴，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為；
∵是等邊三角形，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
同理可得直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
∴，
∴
，故④正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（15分，每題3分）
11. 若，則_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】由，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得的值．
【詳解】解：∵
∴=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì)，此題比較簡單，注意熟記比例變形．
12. 為為了緩解中考備考壓力，增加學(xué)習(xí)興趣，李老師帶領(lǐng)同學(xué)們玩轉(zhuǎn)盤游戲．如圖為兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤一被四等分，分別寫有漢字“中”“考”“必”“勝”；轉(zhuǎn)盤二被三等分，分別寫有漢字“我”“必”“勝”．將兩個轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)動一次（當(dāng)指針指向區(qū)域分界線時，不記，重轉(zhuǎn)），若得到“必”“勝”兩字，則獲得游戲一等獎，請求出獲得游戲一等獎的概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：
由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中獲得游戲一等獎的有2種，
則獲得游戲一等獎的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
13. 如圖，中，，，以邊上的中線為折痕將折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果恰好與垂直，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，設(shè)交于G，先由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到，則，由三角形外角的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，則．
【詳解】解：如圖，設(shè)交于G，
∵是斜邊上的中線，
∴，
∴，
∴
∵將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正切值，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確求出是解題的關(guān)鍵．
14. 雙曲線和如圖所示，是雙曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交雙曲線于點(diǎn)，連接，若的面積為2，則______．

【答案】5
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)k值的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義及其基本模型計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵反比例函數(shù)位于第一象限，
∴，
∴
故答案為：5．
15. 如圖，中，，是邊上的一點(diǎn)，，，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E，取得中點(diǎn)F，連接，證明，列比例式計(jì)算即可．本題考查了特殊角的三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，
∵，，，
∴，，；
過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E，取得中點(diǎn)F，連接，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
整理，得,
解得，（舍去），
∴，
故答案為：．
二、解答題（55分，其中16題4分，17題6分，18題9分，19題8分，20題9分，21題9分，22題10分）
16. 計(jì)算：
【答案】-3
【解析】
【分析】先將各項(xiàng)分別化簡，再作加減法.
【詳解】解：
=
=－3
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則.
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）因式分解法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
【小問1詳解】
解：，
∴，
∴或，
∴，；
【小問2詳解】
，
∴，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵．
18. 2022年3月23日．“天宮課堂”第二課開講．“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站為廣大青少年又一次帶來了精彩的太空科普課．為了激發(fā)學(xué)生的航天興趣，某校舉行了太空科普知識競賽，競賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績分為如下5組（滿分100分），A組：，B組：．C組：，D組：，E組：，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，頻數(shù)直方圖中，所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)落在組；
（2）補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)直方圖：
（3）若成績在90分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？
（4）學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加周一國旗下的演講，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）400 名，D
（2）見解析（3）1680人
（4）見解析，
【解析】
【分析】（1）用C組的人數(shù)除以C組所占的百分比可得總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以B組所占的百分比，可求出m，從而得到第200位和201位數(shù)落在D組，即可求解；
（2）求出E租的人數(shù)，即可求解；
（3）用學(xué)校總?cè)藬?shù)乘以成績優(yōu)秀的學(xué)生所占的百分比，即可求解；
（4）根據(jù)題意，畫樹狀圖，可得共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽中一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．
【小問1詳解】
解：名，
所以本次調(diào)查一天隨機(jī)抽取 400 名學(xué)生的成績，
頻數(shù)直方圖中，
∴第200位和201位數(shù)落在D組，
即所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)落在D組；
故答案為：400，D
【小問2詳解】
解：E組的人數(shù)為名，
補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)直方圖如下圖：
【小問3詳解】
解：該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有（人）；
【小問4詳解】
解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如圖，
共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽中一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，
恰好抽中一名男生和一名女生的概率為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn).
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）將直線向上平移后與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且的面積為，求直線的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=x中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)直線的平移規(guī)律設(shè)直線BC的解析式為y=x+b，由同底等高的兩三角形面積相等可得△ACO與△ABO面積相等，根據(jù)△ABO的面積為，列出方程OC?2=，解方程求出OC=，即b=，進(jìn)而得出直線BC的解析式．
【詳解】（1）（1）∵直線y=x過點(diǎn)A（m，1），
∴m=1，解得m=2，
∴A（2，1）．
∵反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象過點(diǎn)A（2，1），
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；
（2）連接AC，
由平行線間的距離處處相等可得△ACO與△ABO面積相等，且△ABO的面積為，
∴△ACO的面積=，
∴
∴直線的解析式
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積求法，以及一次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
20. 2020年是脫貧攻堅(jiān)的收官司之年，老李在駐村干部的幫助下，利用網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元的商品，按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．
（1）求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤為800元？
（3）銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）y＝－2x＋160
（2）銷售單價定為40元時，每天的銷售利潤為800元
（3）銷售單價定為50元時，每天的利潤最大，最大利潤是1200元
【解析】
【分析】（1）設(shè)該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)每件的利潤乘以銷售量等于利潤800元，列出方程并求解，再結(jié)合單價不低于成本價，且不高于50元銷售，可得符合題意的答案；
（3）根據(jù)每件的利潤乘以銷售量等于利潤得出w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)y＝kx＋b
把（30，100），（40，80）代入得
解得：k＝－2 b＝160
∴y＝－2x＋160
當(dāng)x＝45，y＝70時也適合.所以y與x的一次函數(shù)關(guān)系式是y＝－2x＋160；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意，得
800＝（x－30）（－2x＋160）
整理，得
解得
∵30≤x≤50
＝70（不合題意，舍去）
∴銷售單價定為40元時，每天的銷售利潤為800元；
【小問3詳解】
解：由題意，得w＝（x－30）（－2x＋160）
＝－2
＝＋1250
∵a＝－2＜，∴有最大值．∵≤≤50，
當(dāng)＜55時，隨的增大而增大，
∴當(dāng)x＝50時，有最大值，此時，w＝－2（50－55）＋1250＝1200
答：銷售單價定為50元時，每天的利潤最大，最大利潤是1200元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程在銷售問題中的應(yīng)用，明確成本利潤問題的基本數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在中，是邊上一點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，
①求證：；
②若，，求的長；
（2）已知，若，求的長．
【答案】（1）①見解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)相似三角形判定方法對應(yīng)角相等證明即可；②利用相似三角形對應(yīng)邊呈比例求解即可；
（2）據(jù)相似三角形判定方法對應(yīng)邊呈比例證明，由，，即可求解．
【小問1詳解】
①證明：∵，，
∴；
②解：∵，
∴，即，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.，
，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22. （1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．
（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動D點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長度為______；
（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【答案】（1）；（2）．理由見解析；（3）2；（4）
【解析】
【分析】（1）通過證明全等，得到；
（2）通過證明得到，，延長相交于點(diǎn)H．可以證明；
（3）作于點(diǎn)N，交的延長線于點(diǎn)M，交的延長線于點(diǎn)J，證明，得出，求出，得出點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動到點(diǎn)M，求出結(jié)果即可；
（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于G，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出此時的值最小，最小值為，根據(jù)，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．
【詳解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）解：．理由如下：
延長相交于點(diǎn)H．

∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作于點(diǎn)N，交的延長線于點(diǎn)M，交的延長線于點(diǎn)J，如圖所示：

則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動到點(diǎn)M，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長度為2，
故答案為：2．
（4）解：作點(diǎn)D關(guān)于直線對稱點(diǎn)，連接交于G，如圖所示：

根據(jù)解析（3）可知，點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，
∵，
∴，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴此時的值最小，最小值為，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．銷售單價x（元）
30
40
45
銷售數(shù)量y（件）
100
80
70

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