TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4196" 【題型1 二元一次方程（組）的概念辨析】 PAGEREF _Tc4196 \h 1
\l "_Tc20539" 【題型2 根據(jù)二元一次方程（組）的解求字母的值】 PAGEREF _Tc20539 \h 3
\l "_Tc30912" 【題型3 二元一次方程組的一般解法】 PAGEREF _Tc30912 \h 6
\l "_Tc30407" 【題型4 換元法解二元一次方程組】 PAGEREF _Tc30407 \h 9
\l "_Tc18141" 【題型5 判斷二元一次方程組的解的情況】 PAGEREF _Tc18141 \h 12
\l "_Tc9550" 【題型6 已知一個(gè)方程組的解求另一個(gè)方程組的解】 PAGEREF _Tc9550 \h 14
\l "_Tc22096" 【題型7 同解方程組中求字母的值】 PAGEREF _Tc22096 \h 16
\l "_Tc29945" 【題型8 二元一次方程有唯一解】 PAGEREF _Tc29945 \h 18
\l "_Tc32739" 【題型9 二元一次方程組的錯(cuò)解和遮擋問題】 PAGEREF _Tc32739 \h 20
\l "_Tc30372" 【題型10 二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】 PAGEREF _Tc30372 \h 23
【知識(shí)點(diǎn)1 二元一次方程（組）的概念】
1、二元一次方程
含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程組
含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。
【題型1 二元一次方程（組）的概念辨析】
【例1】（2023·上海·七年級期末）下列方程組中，二元一次方程組有（ ）
①4x+y=2x?2y=?3；②2x?y=1y+z=1；③x=3y?5=0；④x?2y2=3x+3y=1．
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】C
【分析】組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．
【詳解】解：①、符合二元一次方程組的定義，故①符合題意；
②、第一個(gè)方程與第二個(gè)方程所含未知數(shù)共有3個(gè)，故②不符合題意；
③、符合二元一次方程組的定義，故③符合題意；
④、該方程組中第一個(gè)方程是二次方程，故④不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題時(shí)需要掌握二元一次方程組滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程．
【變式1-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，是二元一次方程的為（ ）
A．3x+2=?7B．x+3=5yC．1x?yD．23xy=1
【答案】B
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義判斷即可，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．
【詳解】解：A．3x+2=?7只有一個(gè)未知數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；
B．x+3=5y，B選項(xiàng)符合題意；
C．1x不是整式，且沒有等號，故C選項(xiàng)不符合題意；
D．23xy的次數(shù)是2，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·云南楚雄·七年級統(tǒng)考期末）若mx?3y=2x?7是關(guān)于x,y的二元一次方程，則m滿足的條件是（ ）
A．m≠0B．m≠2C．m≠?1D．m≠3
【答案】B
【分析】首先把所給的方程化為m?2x?3y+7=0，然后根據(jù)二元一次方程的定義可得x和y的系數(shù)不為零，即可求得m的取值范圍．
【詳解】解：∵mx?3y=2x?7，
∴m?2x?3y+7=0，
根據(jù)二元一次方程的定義可得：
∴m?2≠0，
∴m≠2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程，熟練掌握二元一次方程的定義：只含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，運(yùn)用二元一次方程滿足的條件是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若方程組x+ya?2=0a?3x+9y=0是二元一次方程組，求a的值．
【答案】?3或3或2或?2
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義得到a?2=1或a?2=0，然后解方程與不等式即可得到滿足條件的a的值．
【詳解】解：∵方程組是二元一次方程組，
∴a?2=1或a?2=0，
∴a=?3或3或2或?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義：由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．
【知識(shí)點(diǎn)2 二元一次方程（組）的解】
二元一次方程的解
適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。
二元一次方程組的解
二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。
【題型2 根據(jù)二元一次方程（組）的解求字母的值】
【例2】（2023春·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）若x=3y=2是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整數(shù)，則a+b的可能取值為（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17得3a+2b=17，再根據(jù)a，b是正整數(shù)，可得a、b值，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17，得
3a+2b=17，
∵a，b是正整數(shù)，
∴a=1b=7或a=3b=4或a=5b=1，
∴a+b=8或7或 6，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解和求二元一次方程的整數(shù)解，理解方程解的意義是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·四川南充·七年級?？计谀╆P(guān)于x，y的方程組2x?y=mx+my=n的解是x=1y=3，則m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】把x與y的值代入方程計(jì)算求出m與n的值，代入原式計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：把x=1y=3代入方程組得：2x?y=mx+my=n，
解得：m=?1，n=?2，
則原式=?1?2=?3=3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解和絕對值，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．
【變式2-2】（2023春·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）若二元一次方程組2x?y=?2018?x+2y=?2017的解為x=ay=b，則a＋b的值為 ．
【答案】-4035
【分析】方程組的兩個(gè)方程相加，即可得出x+y=-4035，代入求出即可．
【詳解】解：2x?y=?2018①?x+2y=?2017②，
①+②得：x+y=-4035，
∵二元一次方程組2x?y=?2018?x+2y=?2017的解為x=ay=b，
∴a+b=-4035，
故答案為：-4035．
【點(diǎn)睛】題考查了解二元一次方程組和二次一次方程組的解，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M是解此題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？计谀┤魓=ay=b是方程3x+y=1的一個(gè)解，則9a+3b+4的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】把方程的解代入得3a+b=1，從而確定9a+3b=3，整體代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵x=ay=b是方程3x+y=1的一個(gè)解，
∴3a+b=1，
∴9a+3b=3，
∴9a+3b+4= 7，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程解的定義，即使得二元一次方程左右相等的一組未知數(shù)的值，熟練掌握定義，靈活變形計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)點(diǎn)3 二元一次方程組的解法】
1.代入消元法
①變：從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；
②代：將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程（不能代入原來的方程哦），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；
③解：解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；
④再代：將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來的方程組中任一個(gè)方程）中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；
⑤聯(lián)：把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解.
2.加減消元法
①化、方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時(shí)，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項(xiàng)都要乘以這個(gè)數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；
②加減、把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；
③解、解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；
④代、將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，
⑤聯(lián)、把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解.
【題型3 二元一次方程組的一般解法】
【例3】（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）解方程組：
(1)2x+y=4x=y?1；
(2)3x?y=135x+2y=7．
【答案】(1)x=1y=2
(2)x=3y=?4
【分析】（1）利用代入消元法，把②代入①求出y的值，再將y的值代入②求出x的值即可；
（2）利用加減消元法，①×2得出的式子再加②即可求出x的值，再將x的值代入①求出y的值即可．
【詳解】（1）解：2x+y=4①x=y?1②，
把②代入①得：2y?1+y=4，
解得：y=2，
把y=2代入②得：x=2?1=1，
故原方程組的解是：x=1y=2；
（2）3x?y=13①5x+2y=7②，
①×2得：6x?2y=26③，
②+③得：11x=33，
解得：x=3，
把x=3代入①得：9?y=13，
解得：y=?4，
故原方程組的解是：x=3y=?4 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查代入消元法和加減消元法解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．
【變式3-1】（2023春·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）解方程組：①x=2y3x?5y=9②4x?2y=73x+2y=10③4x+5y=92x?3y=7④x+y=03x?4y=1比較適宜的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加減法B．①③用代入法，②④用加減法
C．②③用代入法，①④用加減法D．①④用代入法，②③用加減法
【答案】D
【分析】根據(jù)代入消元法和加減消元法的特性選擇適宜方法，轉(zhuǎn)化一元一次方程，即可解得方程組的解．
【詳解】解：①中的第一個(gè)方程為x=2y，顯然可用代入法；
②中的y的系數(shù)互為相反數(shù)，顯然用加減法；
③中的第二個(gè)方程可以乘以2得4x?6y=14，即可用加減法進(jìn)行消元；
④中的第一個(gè)方程可以轉(zhuǎn)化為x=?y，即可用代入法進(jìn)行消元．
①④用代入法，②③用加減法選第二個(gè)答案．
故答案選 D．
【點(diǎn)睛】根據(jù)代入消元法和加減消元法的定義，細(xì)心觀察方程組的特點(diǎn)，靈活選擇簡便方法是解題的關(guān)鍵．是否熟練掌握代入消元法（即用其中一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，再代入其中一個(gè)方程，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)而求解）和加減消元法（即將其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化為相同或相反時(shí)，用加減法即可達(dá)到消元的目的，轉(zhuǎn)化為一元一次方程）是解題的重點(diǎn)．
【變式3-2】（2023春·山西陽泉·七年級統(tǒng)考期末）下面是小希同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解方程組：x+3y=1, ①3x+y=?5. ②
現(xiàn)有兩種思路，思路一：第一步將①轉(zhuǎn)化為用含y的代數(shù)式表示x，得到方程③；第二步將③代入②，可消去未知數(shù)x．
思路二：第一步給①×3，得到方程③；第二步用③?②，可消去未知數(shù)x．
任務(wù)：
(1)我選擇思路_____，該思路解二元一次方程組的方法為____________________；
(2)按（1）中選擇的思路，完成此方程組的解題過程；
(3)上述解二元一次方程組過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是_____________________．
A．轉(zhuǎn)化 B．公理化 C．演繹 D．?dāng)?shù)形結(jié)合
【答案】(1)一，代入消元法（或二，加減消元法）
(2)見解析
(3)A
【分析】（1）根據(jù)自己的意愿選擇思路即可；
（2）根據(jù)（1）根據(jù)中選擇的思路解方程組即可；
（3）根據(jù)（3）中解方程組的過程即可得出答案．
【詳解】（1）解：一，代入消元法（或二，加減消元法）；
（2）解：思路一：由①得：x=1?3y③，
將③代入②得：3(1?3y)+y=?5，
解得：y=1；
將y=1代入③，得x=?2，
所以原方程組的解為x=?2y=1，
思路二：①×3，得3x+9y=3③，
③?②，得8y=8，
解得：y=1，
將y=1代入①，得x=?2，
所以原方程組的解為x=?2y=1；
（3）解：根據(jù)（2）中解二元一次方程組中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化，
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）解方程組3x4+2y5=31202x3?3y5=?815
【答案】x=1y=2
【分析】先將原方程組化簡，使得含未知數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)，再將化簡后的一個(gè)方程進(jìn)行變形，然后用代入消元法進(jìn)行求解．
【詳解】解：原方程組化簡，得15x+8y=31,①10x?9y=?8,②
由①得y=31?15x8，③
把③代入②，得10x?9×31?15x8=?8，
解這個(gè)方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝2，
所以這個(gè)方程組的解是x=1y=2
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，化簡原方程組是解題的關(guān)鍵．
【題型4 換元法解二元一次方程組】
【例4】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）先閱讀，再解方程組．
解方程組x?y?1=0①4(x?y)?y=5②時(shí)，可由①得x?y=1③，然后再將③代入②，得4×1?y=5，
解得y=?1，從而進(jìn)一步得x=0y=?1這種方法被稱為“整體代入法”．
請用上述方法解方程組2x?3y+2=05?2x+3y7+2y=9
【答案】x=5y=4
【分析】將①變形為2x?3y=?2③，再整體代入②中，即可求出y的值．再將y的值代入③，即可求出x的值，方程組得解．
【詳解】解：2x?3y+2=0①5?2x+3y7+2y=9②
由①得，2x?3y=?2③，
代入②得5+27+2y=9，
解得y=4，
把y=4代入③得，2x?3×4=?2，
解得x=5．
故原方程組的解為x=5y=4．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組．讀懂題意，掌握“整體代入法”的步驟是解題關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·山西忻州·七年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐
問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題：
解方程組：4x+3y3+6x?y8=84x+3y6+6x?y2=11．
觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的(4x+3y)看成一個(gè)整體，把(6x?y)看成一個(gè)整體，通過換元，可以解決問題．
設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為__________，解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x?y=16，解方程組，得__________．
探索猜想：（2）運(yùn)用上述方法解下列方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13．
【答案】（1）m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；（2）x=3y=2
【分析】（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；
（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；
【詳解】解：（1）設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，
則原方程組可化為m3+n8=8m6+n2=11，
解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x?y=16，
解方程組，得x=3y=2，
故答案為：m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；
（2）設(shè)2x+y=m，x?2y=n，
則原方程組可化為3m?2n=262m+3n=13，
解關(guān)于m，n的方程組，得m=8n=?1，
所以2x+y=8x?2y=?1，
解方程組，得x=3y=2；
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法以及換元法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·吉林長春·七年級長春市第五十二中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：解方程組x?y?5=0①3x?y+2y=9②時(shí)，可由①得x?y=5③，然后再將③代入②，得3×5+2y=9，解得y=?3，將y=?3代入①可求得x=2，從而求得方程組的解為x=2y=?3，這種解方程組的方法被稱為“整體代入法”．
利用上述方法解方程組：3x+y+1=03x+y?67+2y=7．
【答案】x=?53y=4
【分析】由③得：3x+y=?1，把3x+y=?1代入④可求出y，把y=4代入③即可求出x．
【詳解】解：3x+y+1=0③3x+y?67+2y=7④
可由③得：3x+y=?1，
把3x+y=?1代入④得：?1?67+2y=7，解得：y=4，
把y=4代入③得：x=?53，
∴方程的解為x=?53y=4；
【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的計(jì)算，讀懂題意是關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·福建泉州·七年級?？计谥校┫乳喿x下列材料；再解決相關(guān)問題：
解方程組a?1+2b+2=62a?1+b+2=6
解：設(shè)a?1=x，b+2=y，原方程組可轉(zhuǎn)化為x+2y=62x+y=6
解方程組得x=2y=2，即a?1=2b+2=2，所以a=3b=0．此種解方程組的方法叫換元法．
(1)如果用換元法解方程組：1m+1n=2,1m?1n=7，可以設(shè)x=______，y=______，則該方程組可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的方程組：______；
(2)用換元法解方程組：2a3?1+3b5+2=7,5a3?1?2b5+2=8
【答案】(1)1m,1n，x+y=2x?y=7
(2)a=9b=?5
【分析】（1）觀察方程組的特點(diǎn)，可以設(shè)x=1m,y=1n，即可解決問題；
（2）設(shè)x=a3?1,y=b5+2，然后根據(jù)題目提供的解方程組的方法解答即可．
【詳解】（1）解：用換元法解方程組：1m+1n=2,1m?1n=7，可以設(shè)x=1m,y=1n，
則該方程組可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的方程組x+y=2x?y=7；
故答案為：1m,1n，x+y=2x?y=7；
（2）設(shè)x=a3?1,y=b5+2，
則原方程組可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的方程組2x+3y=75x?2y=8，
解這個(gè)方程組，得x=2y=1，
即a3?1=2b5+2=1，
解得a=9b=?5．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的求解，正確理解題意、掌握換元法求解的方法是解題的關(guān)鍵．
【題型5 判斷二元一次方程組的解的情況】
【例5】（2023春·上海浦東新·七年級?？计谥校﹌、b為何值時(shí)，關(guān)于x、y方程組y=kx+by=3k?1x+2有唯一解？無解？有無數(shù)解？
【答案】當(dāng)k≠12時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)k=12，b≠2時(shí)，方程組無解；當(dāng)k=12，b=2時(shí)，方程組有無數(shù)解．
【分析】兩式作差，得到關(guān)于x的方程，確定此方程解得情況即可．
【詳解】解：y=kx+b ①y=3k?1x+2 ②
①?②可得：kx+b=3k?1x+2，化簡可得：2k?1x=b?2
（1）當(dāng)2k?1≠0時(shí)，即k≠12，方程2k?1x=b?2有唯一解，即方程組y=kx+by=3k?1x+2有唯一解；
（2）當(dāng)2k?1=0，b?2≠0時(shí)，即k=12，b≠2，方程2k?1x=b?2無解，即方程組y=kx+by=3k?1x+2無解；
（3）當(dāng)2k?1=0，b?2=0時(shí)，即k=12，b=2，方程2k?1x=b?2有無數(shù)解，即方程組y=kx+by=3k?1x+2有無數(shù)解；
綜上，當(dāng)k≠12時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)k=12，b≠2時(shí)，方程組無解；當(dāng)k=12，b=2時(shí)，方程組有無數(shù)解．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的求解，一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的求解方法．
【變式5-1】（2023春·江蘇南通·七年級南通田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）如果關(guān)于x，y的方程組x+y=1ax+by=c有唯一的一組解，那么a,b,c的值應(yīng)滿足的條件是( )
A．a(chǎn)≠bB．b≠cC．a(chǎn)≠cD．a(chǎn)≠c且c≠1
【答案】A
【分析】先消去y，得到關(guān)于x的方程，因?yàn)橛形ㄒ唤猓鶕?jù)方程可得出a，b，c的值的條件．
【詳解】x+y=1①ax+by=c②，
②-①×b得：a?bx=c?b，
∴x=c?ba?b，
要使方程有唯一解，
則a≠b，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組以及解一元一次方程，解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
【變式5-2】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）若方程組y=kx+by=3k?1x+2有無窮多組解，則2k+b2的值為
【答案】5
【分析】方程組有無數(shù)解，則這個(gè)方程組包含兩個(gè)相同方程．
【詳解】解：由題意知，方程組包含的兩個(gè)方程是同一個(gè)方程等式，
∴k=3k?1，b=2，解得k=12,b=2，
∴2k+b2=1+4=5，
故答案為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，理解方程組有無數(shù)解是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+5y=63x+ky=10給出下列結(jié)論：當(dāng)k=5時(shí)，此方程組無解；若此方程組的解也是方程6x+15y=16的解，則k=10；無論整數(shù)k取何值，此方程組一定無整數(shù)解（x、y均為整數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①將k=5代入，得到方程組3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判斷；②解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=45代入6x+15y=16，即可做出判斷；③解方程組3x+5y=63x+ky=10得：x=2?203k?15y=4k?5，根據(jù)k為整數(shù)即可作出判斷．
【詳解】解：∵當(dāng)k=5時(shí)，方程組為3x+5y=63x+5y=10，此時(shí)方程組無解；故①正確；
∵解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，
把x=23，y=45代入6x+15y=16，方程左右兩邊相等，故②正確；
∵解方程組3x+5y=63x+ky=10得：x=2?203k?15y=4k?5，
又∵k為整數(shù)，若y是整數(shù)，則k?5=4，?4，2，?2，1，?1此時(shí)x不是整數(shù)，
∴x、y不能均為整數(shù)，故③正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．
【題型6 已知一個(gè)方程組的解求另一個(gè)方程組的解】
【例6】（2023春·湖南懷化·七年級溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解為x=2y=?1，則關(guān)于x，y的方程組a1(x+2022)+b1(y?2022)=c1a2(x+2022)+b2(y?2022)=c2的解是 ．
【答案】x=?2020y=2021
【分析】設(shè)x+2022=my?2022=n，可得m=2n=?1，即可求解．
【詳解】解：設(shè)x+2022=my?2022=n，
由a1(x+2022)+b1(y?2022)=c1a2(x+2022)+b2(y?2022)=c2得
a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
因?yàn)榉匠探Ma1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解為x=2y=?1，
所以m=2n=?1是方程組a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2的解，
所以x+2022=2y?2022=?1，
解得x=?2020y=2021．
故答案：x=?2020y=2021．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，掌握用換元、整體代換方法解方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·福建泉州·七年級校聯(lián)考期中）若方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=?6y=4，則關(guān)于x，y的方程組3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2的解是 ．
【答案】x=?10y=5
【分析】根據(jù)已知方程組的解，將所求方程組變形后仿照解的規(guī)律求出x與y的值即可．
【詳解】解：∵方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=?6y=4，
∴?6a1+4b1=c1?6a2+4b2=c2，
∵3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2可變形為：35a1x+45b1y=c135a2x+45b2y=c2，
∴35x=?645y=4，
解得：x=?10y=5，
故答案為：x=?10y=5．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．
【變式6-2】（2023春·湖南·七年級期末）若關(guān)于x，y的方程組4x+1+3ax?2y=16?bx+1+2x?2y=15（a，b是常數(shù)）的解為x=3y=5，則方程組4x+3ay=16?bx+2y=15的解為（ ）
A．x=4y=?7B．x=2y=?7C．x=2y=?4D．x=4y=?4
【答案】A
【分析】根據(jù)兩方程組各方程間的關(guān)系，可得出方程組4x+3ay=16?bx+2y=15的解為x=3+1y=3?2×5，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組4x+1+3ax?2y=16?bx+1+2x?2y=15（a，b是常數(shù)）的解為x=3y=5，
∴方程組4x+3ay=16?bx+2y=15的解為x=3+1y=3?2×5，即x=4y=?7．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的解，方程組之間的關(guān)系，熟練掌握方程組之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·福建泉州·七年級泉州七中?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的方程組ax+by=10mx?ny=8的解是x=1y=2，則關(guān)于x，y的方程組12ax+y+13bx?y=1012mx+y?13nx?y=8的解為（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=4y=?2D．x=3y=2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，可得：12x+y=113x?y=2，解方程組即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組ax+by=10mx?ny=8的解是x=1y=2，
∴方程組12ax+y+13bx?y=1012mx+y?13nx?y=8的解為12x+y=113x?y=2，
解得：x=4y=?2；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組．解題的關(guān)鍵是得到12x+y=113x?y=2．
【題型7 同解方程組中求字母的值】
【例7】（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）已知方程組5x+y=3px+5y=4和x?2y=55x+qy=1有相同的解，則p，q的值為（ ）
A．p=1q=2B．p=?4q=?6C．p=?6q=2D．p=14q=2
【答案】D
【分析】由題意解方程組5x+y=3x?2y=5，把求得的解代入方程組5x+qy=1px+5y=4中，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：解方程組5x+y=3x?2y=5，得：x=1y=?2，
把x=1y=?2代入5x+qy=1px+5y=4中，得5?2q=1p?10=4，
解得：p=14q=2；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組及二元一次方程組的解，充分理解二元一次方程組的解是本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．
【變式7-1】（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+3y=74x+y=9和?x+5y=35x+by=8同解，則a+b= ．
【答案】0
【分析】由系數(shù)已知兩方程組成方程組，求解得x=2y=1，分別代入含參數(shù)方程，求得參數(shù)．
【詳解】解：由題意，得4x+y=9?x+5y=3
求解得，x=2y=1，
代入ax+3y=7得，2a+3=7，
解得a=2，
代入5x+by=8得，10+b=8，
解得b=?2，
∴a+b=0．
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查方程組解的定義，二元一次方程組的求解；理解方程組的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春·湖南常德·七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x，y的方程組mx+2ny=4x+y=1與x?y=3nx+m?1y=3有相同的解，
(1)求這個(gè)相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同學(xué)說，無論a取何值，（1）中的解都是關(guān)于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，這句話對嗎？請你說明理由．
【答案】(1)x=2y=?1
(2)m=6n=4
(3)對，見解析
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)方程組有相同的解，即可聯(lián)立兩個(gè)方程組中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）將（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出關(guān)于m，n的方程組，解之即可；
（3）將（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化簡，即得出5=5，即說明這句話對．
【詳解】（1）由題意可得：x+y=1x?y=3，
解得x=2y=?1；
（2）將x=2y=?1代入含有m，n的方程得：2m?2n=42n?m?1=3，
解得：m=6n=4；
（3）將x=2y=?1代入3+ax+2a+1y=5，得：
3+a×2+2a+1×?1=5，
化簡得：6+2a?2a?1=5，即5=5．
所以無論a取何值，x=2y=?1都是方程3+ax+2a+1y=3的解．
【點(diǎn)睛】本題考查同解方程組，由二元一次方程組的解求參數(shù)．理解同解方程組的概念是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·四川自貢·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，與方程組x+y=52x?y=4同解的是（ ）
A．x+y=5B．2x?y=4
C．x+y?52+2x?y?4=0D．2x?y?4x+y?5=0
【答案】C
【分析】利用方程組的定義，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的乘法分別分析即可.
【詳解】解：A、x+y=5是二元一次方程，有無數(shù)組解，故選項(xiàng)不符合；
B、2x?y=4是二元一次方程，有無數(shù)組解，故選項(xiàng)不符合；
C、∵x+y?52+2x?y?4=0，可得：x+y?5=02x?y?4=0，可知與原方程組同解，故選項(xiàng)符合；
D、∵2x?y?4x+y?5=0，∴2x?y?4=0或x+y?5=0，有無數(shù)組解，故選項(xiàng)不符合；
故選C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組解的定義，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵.
【題型8 二元一次方程有唯一解】
【例8】（2023春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a?2)x+(a+1)y+8?a=0．無論a取什么值時(shí)，方程都有一個(gè)公共的解，則這個(gè)公共解是（ ）
A．x=3y=?2B．x=2y=?1C．x=4y=6D．x=4y=?9
【答案】A
【分析】如果當(dāng)a取一個(gè)確定的值時(shí)就得到一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解，說明無論a取何值，都不影響方程，即含a的項(xiàng)的系數(shù)相加為0．
【詳解】解：方程整理為ax﹣2x＋ay＋y＋8﹣a＝0，
∴a（x＋y﹣1）﹣2x＋y＋8＝0．
∵無論a取什么值時(shí)，方程都有一個(gè)公共的解，
∴x+y?1=0?2x+y+8=0，
解得：x=3y=?2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，利用方程的解與a無關(guān)得出方程組是解題關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023春·江蘇南通·七年級?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的二元一次方程(3a+2)x?(2a?3)y?11?10a=0，無論a取何值，方程都有一個(gè)固定的解，則這個(gè)固定解為 ．
【答案】x=4y=1
【分析】根據(jù)題意先給a取任意兩個(gè)值，然后代入，得到關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之得到x、y的值，再代入原方程驗(yàn)證即可．
【詳解】∵無論a取何值，方程都有一個(gè)固定的解，
∴a值可任意取兩個(gè)值，
可取a=0，方程為2x+3y?11=0，
取a=1，方程為5x+y?21=0，
聯(lián)立兩個(gè)方程解得x=4,y=1，
將x=4,y=1代入(3a+2)x?(2a?3)y?11?10a=0，得
(3a+2)×4?(2a?3)×1?11?10a=12a+8?2a+3?11?10a=0對任意a值總成立，
所以這個(gè)固定解是x=4y=1，
故答案為：x=4y=1．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握帶有參數(shù)的方程的解法是解答的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·福建龍巖·七年級?？计谥校o論k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，則x，y要滿足的條件是 ．
【答案】x=?4y=3
【分析】將等式移項(xiàng)，然后根據(jù)等式恒成立得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．
【詳解】解：∵2x+3y?1?2k?4y+x+16=0，
∴2x+3y?1=2k?4y+x+16，
∵無論k取何值，等式2x+3y?1?2k?4y+x+16=0恒成立，
∴2x+3y?1=0?4y+x+16=0，
解得：x=?4y=3，
故答案為：x=?4y=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于x，y的二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023秋·山東棗莊·七年級?？计谀┰陉P(guān)于m，n的方程m+2n?8+λ4m+3n?7=0中，能使λ無論取何值時(shí)，方程恒成立的m，n的和為 ．
【答案】3
【分析】要使λ無論取何值時(shí)，方程恒成立，必須滿足m+2n?8=0且4m+3n?7=0聯(lián)立方程組成方程組，解方程組得出m、n即可．
【詳解】解：由題意，得：m+2n?8=04m+3n?7=0 ，
解得：m=?2n=5，
∴m＋n＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握方程為0的條件和根據(jù)題意正確列出二元一次方程組．
【題型9 二元一次方程組的錯(cuò)解和遮擋問題】
【例9】（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）馬虎的小李同學(xué)在解方程組y=kx+by=2x?1的過程中，錯(cuò)把b看成了8，他的其他解答過程沒有錯(cuò)，解得此方程組的解為x=1y=1；而粗心的小楊同學(xué)把方程組抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答過程也沒有錯(cuò)，解得此方程組的解為x=3y=7，則題目中的b= ．
【答案】28
【分析】把方程組的解為x=1y=1代入y=kx+8，求出k，把k的值代入y=kx+b中，再把方程組的解為x=3y=7代入即可求出b．
【詳解】解：由題意，方程y=kx+8的解為x=1y=1，
∴1=k+8，解得k=-7，
當(dāng)k=-7時(shí)，方程組y=kx+by=2x+1為y=?7x+by=2x+1，
由于該方程組的解為x=3y=7，
所以7=-21+b
∴b=28
故答案為：28．
【點(diǎn)睛】本題考查方程組的解和解一元一次方程．方程組的解是使方程組的兩個(gè)方程都成立的一對未知數(shù)的值，故可將所得方程組的解代入其中一個(gè)方程，依次求出對應(yīng)的k和b．
【變式9-1】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）小剛解出了方程組3x?y=32x+y=Δ的解為x=4y=□．因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住了方程組和解中的兩個(gè)數(shù)，則Δ、□分別為 ．
【答案】17，9
【分析】把x=4代入3x?y=3中求出y，再把x，y代入另外一個(gè)不等式計(jì)算即可；
【詳解】將x=4代入3x?y=3，
∴12?y=3，
∴y=9，
將x=4，y=9代入2x+y=△中，
∴△=8+9=17；
故答案是：17，9．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的求解，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023春·河南洛陽·七年級偃師市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知▲x+?y=1□x?7y=1是一個(gè)被墨水污染的方程組．圓圓說：“這個(gè)方程組的解是x=3y=?1，而我由于看錯(cuò)了第二個(gè)方程中的x的系數(shù)，求出的解是x=?2y=1．”請你根據(jù)以上信息，把方程組復(fù)原出來．
【答案】2x+5y=1?2x?7y=1
【分析】設(shè)被墨水污染的三角形為a，圓點(diǎn)為b，正方形為c，利用方程組解的意義列出關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)被墨水污染的三角形為a，圓點(diǎn)為b，正方形為c，
∵這個(gè)方程組的解是x=3y=?1，
∴3a?b=13c+7=1，
∴c=?2．
∵看錯(cuò)了第二個(gè)方程中的x的系數(shù)，求出的解是x=?2y=1，
∴?2a+b=1，
∴?2a+b=13a?b=1，
解得：a=2b=5．
∴原方程組為2x+5y=1?2x?7y=1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解以及解法，熟練掌握二元一次方程組的解的意義是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023春·江西·七年級?？茧A段練習(xí)）已知方程組2x+my=10 ①nx?2y=?6 ②，小聰由于看錯(cuò)了方程①中的系數(shù)m，得到方程組的解為x=26y=42；小明由于看錯(cuò)了方程②中的系數(shù)n，得到方程組的解為x=14y=?18；請你根據(jù)上述條件求原方程組的解．
【答案】x=2y=6
【分析】根據(jù)題意得到關(guān)于m、n得二元一次方程組，求出m、n的值，再代入原方程組，然后利用加減消元法解方程組，即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，26n?2×42=?62×14?18m=10，
整理得：26n?84=?628?18m=10，
解得：m=1n=3，
∴原方程組為2x+y=10①3x?2y=?6②，
①×2+②得：7x=14，
解得：x=2，
將x=2代入①得：2×2+y=10，
解得：y=6，
∴方程組的解為x=2y=6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法和代入消元法是解題關(guān)鍵．
【題型10 二元一次方程組與二元一次方程的綜合求值】
【例10】（2023春·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期中）若方程組3x?y=4k?102x+6y=k的解滿足x+y=2022，則k等于 ．
【答案】2024
【分析】用整體思想①+②，得5x+5y=5k?10，等是兩邊都除以5，得x+y=k?2，再根據(jù)x+y=2022 ，從而計(jì)算出k的值．
【詳解】解：3x?y=4k?10①2x+6y=k②，
①+②得5x+5y=5k?10，
∴x+y=k?2．
∵x+y=2022，
∴k?2=2022，
∴k=2024．
故答案為：2024．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解、二元一次方程組的解，掌握用加減消元法解二元一次方程組是解題關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·廣西貴港·七年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x、y的方程組2x+y=1?3k①x+2y=2②的解互為相反數(shù)，則k的值為（ ）
A．k=?1B．k=0C．k=1D．k=2
【答案】C
【分析】由①+②得x+y=1?k，由方程組的解互為相反數(shù)得x+y=0，進(jìn)而可求出k=1．
【詳解】2x+y=1?3k①x+2y=2②，
①+②，得
3x+3y=3?3k，
∴x+y=1?k，
∵方程組2x+y=1?3k①x+2y=2②的解互為相反數(shù)，
∴x+y=0，
∴1?k=0，
∴k=1．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，在求二元一次方程組中兩個(gè)未知數(shù)的和或差的時(shí)候，有時(shí)可以采用把兩個(gè)方程直接相加或相減的方法，而不必求出兩個(gè)未知數(shù)的具體值．
【變式10-2】（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x,y的方程3x?2y=2k+1和y?2x=4的公共解滿足x?y=3，則 k= ．
【答案】-1.
【分析】先將兩個(gè)二元一次方程組成一個(gè)二元一次方程組，用含k的代數(shù)式表示x，y的值，然后將x，y的值代入x-y=3得到一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程，解這個(gè)方程即可得出k的值.
【詳解】解：由題意，得
3x?2y=2k+1y?2x=4
解得x=?2k?9y=?4k?14
∵x?y=3
∴(-2k-9)-(-4k-14)=3
解得k=-1
故答案為-1.
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法及一元一次方程的解法.解題的關(guān)鍵是解二元一次方程組時(shí)將k看作一個(gè)常數(shù).
【變式10-3】（2023春·福建廈門·七年級廈門外國語學(xué)校?？计谀┤绻P(guān)于未知數(shù)x和y的二元一次方程組ax+by=2ex+fy=1（abef≠0）的解滿足：x+2y=5，那么關(guān)于未知數(shù)x1和y1的二元一次方程組2ax1+by1=42ex1+fy1=2的解滿足：x1+y1=（ ）
A．?20B．2C．5D．10
【答案】C
【分析】令x1=x，y1=2y，可利用換元法，將2ax1+by1=42ex1+fy1=2可變?yōu)?ax+2by=42ex+2fy=2，進(jìn)一步變形為ax+by=2ex+fy=1，此時(shí)x+2y=5，則x1+y1=5，即可求解 ．
【詳解】解：令x1=x，y1=2y，
將2ax1+by1=42ex1+fy1=2可變?yōu)?ax+2by=42ex+2fy=2，即ax+by=2ex+fy=1，
∵關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=2ex+fy=1的解滿足：x+2y=5 ，
∴x1+y1=x+2y=5 ，
故選：C ．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組及二元一次方程組的解，換元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

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