專題6.8 一元一次方程章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（華東師大版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc32503" 【題型1 一元一次方程的遮擋問題】 PAGEREF _Tc32503 \h 1
\l "_Tc6042" 【題型2 一元一次方程的錯解問題】 PAGEREF _Tc6042 \h 3
\l "_Tc7415" 【題型3 根據(jù)兩個一元一次方程解的關(guān)系求值】 PAGEREF _Tc7415 \h 5
\l "_Tc61" 【題型4 判斷方程解的情況】 PAGEREF _Tc61 \h 8
\l "_Tc6344" 【題型5 等式的基本性質(zhì)的運用】 PAGEREF _Tc6344 \h 10
\l "_Tc29381" 【題型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc29381 \h 12
\l "_Tc31201" 【題型7 一元一次方程與圖表問題】 PAGEREF _Tc31201 \h 13
\l "_Tc25989" 【題型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc25989 \h 18
【題型1 一元一次方程的遮擋問題】
【例1】下面是一個被墨水污染過的方程：
2x?12=12x?，答案顯示此方程的解是x=-1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）
A．2B．﹣2C．﹣12D．12
【答案】A
【分析】設(shè)被墨水覆蓋的數(shù)是y，將x=-1代入，解含有y的方程即可得到答案.
【詳解】設(shè)被墨水覆蓋的數(shù)是y，則原方程為：2x?12=12x?y，
∵此方程的解是x=-1，
∴將x=-1代入得：?2?12=?12?y ,
∴y=2,
故選：A.
【點睛】此題考查解一元一次方程，一元一次方程的解.
【變式1-1】方程2x+▲=5x，▲處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x=2，那么▲處的常數(shù)是．
【答案】6
【分析】設(shè)被墨水蓋住的常數(shù)是a，把x=2代入方程2x+a=5x得出4+a=10，再求出方程的解即可．
【詳解】解：設(shè)被墨水蓋住的常數(shù)是a，
把x=2代入方程2x+a=5x，
得4+a=10，
解得：a=6，
即▲處的常數(shù)是6．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了方程的解和解一元一次方程，能得出關(guān)于a的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（22·23上·揚州·期末）小方在做作業(yè)時，計算：?6×23?●+?23．發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是12，請計算?6×23?12+?23；
(2)如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
【答案】(1)?9
(2)3
【分析】（1）將被污染的數(shù)字12代入原式，根據(jù)有理數(shù)的混合運算即可得出答案；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，根據(jù)計算結(jié)果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【詳解】（1）解：?6×23?12+?23
=(?6)×16?8
=?1?8
=?9；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，
根據(jù)題意得：?6×23?x+?23=6，
解得：x=3，
答：被污染的數(shù)字是3．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，一元一次方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了方程思想，設(shè)被污染的數(shù)字為x，根據(jù)計算結(jié)果等于6列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】小磊在解方程321?■?x3=x?13時，墨水把其中一個數(shù)字染成了“■”，他翻閱了答案知道這個方程的解為x=23，于是他推算確定被染了的數(shù)字“■”應(yīng)該是．
【答案】3
【分析】設(shè)“■”表示的數(shù)為a，將一元一次方程的解代入求解即可得出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)“■”表示的數(shù)為a，
將x=23代入方程得：
321?a?233=23?13，
解得a=3，
即“■”表示的數(shù)為3，
故答案為：3．
【點睛】題目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題關(guān)鍵．
【題型2 一元一次方程的錯解問題】
【例2】小樂在解方程5a?x6﹣1＝0（x為未知數(shù)）時，誤將﹣x看作+x，得方程的解為x＝1，則原方程的解為．
【答案】-1
【分析】根據(jù)題意，方程5a+x6﹣1＝0的解是x=1，可先得出a，然后，代入原方程，解出即可.
【詳解】把x＝1代入方程5a+x6﹣1＝0中得：5a+16﹣1＝0，
解得：a＝1，
則原方程為5?x6﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案是：﹣1．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解，把方程的解代入先求出a的值，然后求解，讀懂題意是關(guān)鍵．
【變式2-1】馬小虎同學(xué)在解關(guān)于x的方程1?x=?2x?2a時，誤將等號右邊的“?2a”看作“+2a”，其他解題過程均正確，從而解得方程的解為x=?5，則原方程正確的解為（）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【答案】B
【分析】先將x=?5代入1?x=?2x+2a求出a的值，再解關(guān)于x的方程．
【詳解】解：由題意知：x=?5是方程1?x=?2x+2a的解，
∴ 1??5=?2?5+2a，
解得a=1，
∴原方程為1?x=?2x?2，
解得x=3，
故選B．
【點睛】本題考查一元一次方程的解與解一元一次方程，求出a的值是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】小明在解方程x?13?x+16=3x?12?1時的步驟如下：
解：2x?1?x+1=33x?1?6……第①步；
2x?2?x+1=9x?3?6……第②步；
2x?x?9x=?3?6+2?1……第③步；
?8x=?8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的過程中，第①步是進(jìn)行______________，變形的依據(jù)是______________；
(2)以上步驟從第_____步（填序號）開始出錯，錯誤的原因是____________；
(3)請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解一元一次方程需要注意的事項給其他同學(xué)提出一條建議；
(4)請聰明的你寫出這題正確的解答過程．
【答案】(1)去分母；等式性質(zhì)2
(2)①，第二個分子x+1沒有用括號括起來
(3)去分母時，不要漏乘沒有分母的項或去分母時，多項式分子要用括號括起來
(4)見解析
【分析】（1）（2）（3）直接根據(jù)解一元一次方程的方法作答即可；
（4）先方程兩邊同時乘以6，再去括號，然后移項合并同類項，最后系數(shù)化為1．
【詳解】（1）去分母，等式性質(zhì)2；
（2）①，第二個分子x+1沒有用括號括起來；
（3）去分母時，不要漏乘沒有分母的項或去分母時，多項式分子要用括號括起來（答案不唯一）
（4）正確解答如下：去分母，得：2x?1?x+1=33x?1?6
去括號，得：2x?2?x?1=9x?3?6
移項，得：2x?x?9x=?3?6+2+1
合并同類項，得：?8x=?6
系數(shù)化為1，得：x=34．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關(guān)鍵．去括號時，一是注意不要漏乘括號內(nèi)的項，二是明確括號前的符號；去分母時，一是注意不要漏乘沒有分母的項，二是去掉分母后把分子加括號．
【變式2-3】某同學(xué)解關(guān)于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣2）時，由于粗心大意，誤將等號右邊的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”，其它解題過程均正確，從而解得方程的解為x=11，請求出a的值，并正確地解方程．
【答案】x=15．
【分析】根據(jù)題意，得到等號右邊的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”的方程，解方程得到a 的值，將a的值代入原方程可求得正確的解．
【詳解】解：根據(jù)題意，將x=11代入2（x+2）=a+3（x﹣2），得：2（11+2）=a+3（11﹣2），
解得a=﹣1，
所以原方程為2x+2=?1?3x?2，
解得：x=15．
【點睛】考查一元一次方程的解, 解一元一次方程，比較基礎(chǔ)，得到a的值是解題的關(guān)鍵.
【題型3 根據(jù)兩個一元一次方程解的關(guān)系求值】
【例3】已知關(guān)于x的方程3x?1?m=m+32①的解比方程2x?3?1=3?x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)x=3
(2)m=5
【分析】（1）先去括號，再移項，然后合并同類項，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得方程①的解為x=4，再代入方程①，得到關(guān)于m的方程，即可求解．
【詳解】（1）解：2x?3?1=3?x+1
去括號得：2x?6?1=3?x?1，
移項得：2x+x=3?1+6+1，
合并同類項得：3x=9，
解得：x=3；
（2）解：因為方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解為x=4，
把x=4代入方程①得，3×4?1?m=m+32，
解得m=5．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟練掌握解解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】已知方程2?3x+1=0的解與關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解互為相反數(shù)，求k的值．
【答案】k=?1
【分析】先解方程2?3x+1=0得到x=?13，進(jìn)而得到關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解為x=13，把x=13代入方程k+x2?3k?2=2x中求出k的值即可．
【詳解】解：2?3x+1=0
去括號得：2?3x?3=0，
移項得：?3x=3?2，
合并同類項得，?3x=1，
系數(shù)化為1得：x=?13，
∵方程2?3x+1=0的解與關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解互為相反數(shù)，
∴關(guān)于x的方程k+x2?3k?2=2x的解為x=13
∴k+132?3k?2=23，
解得k=?1．
【點睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定義，熟知一元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】在練習(xí)解方程時，作業(yè)上有一個方程“2y?13=18y+■”中的■沒印清，小華問老師，老師只是說：“■是一個有理數(shù)，該方程的解與x=3時，代數(shù)式5x?1?2x?2?4的值相同”．
(1)求當(dāng)x=3時，代數(shù)式5x?1?2x?2?4的值；
(2)求原方程中■的值．
【答案】(1)4
(2)716
【分析】（1）先把所求代數(shù)式去括號，然后合并同類項化簡，再把x=3代入求值即可；
（2）根據(jù)（1）所求得到y(tǒng)=4，把y=4帶入方程中進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：5x?1?2x?2?4
=5x?5?2x+4?4
=3x?5，
當(dāng)x=3時，原式=3×3?5=4；
（2）解：由題意得，方程2y?13=18y+■的解為y=4，
∴2×4?13=18×4+■，
∴■=716．
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，一元一次方程的解，正確計算出（1）中代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】已知關(guān)于x的方程x?m2=x+m3與x+12=3x?2的解互為倒數(shù)，則m的值．
【答案】?35
【分析】先將x+12=3x?2的解求出，然后將x的倒數(shù)求出后代入原方程求出m的值．
【詳解】解：∵x+12=3x?2，
∴x=1，
由題意可知：x=1是x?m2=x+m3的解，
∴1?m2=1+m3
解得：m=?35，
故答案為：?35．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一個方程的解，再代入第二個含有m的方程，從而求出m即可．
【題型4 判斷方程解的情況】
【例4】關(guān)于x的方程ax+b=0的解得情況如下：當(dāng)a≠0時，方程有唯一解x=-ba；當(dāng)a=0，b≠0時，方程無解；當(dāng)a=0，b=0時，方程有無數(shù)解．若關(guān)于x的方程mx+23=n3-x有無數(shù)解，則m+n的值為（）
A．?1B．1
C．2D．以上答案都不對
【答案】B
【分析】首先把方程化成一般形式，然后根據(jù)關(guān)于x的方程mx+23=n3?x有無數(shù)解，對一次項系數(shù)進(jìn)行討論求得m、n的值，再相加即可求解．
【詳解】解：mx+23=n3?x
m+1x=n?23，
∵關(guān)于x的方程mx+23=n3?x有無數(shù)解，
∴m+1=0，n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴m+n=-1+2=1．
故選B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解，正確對方程進(jìn)行化簡是關(guān)鍵．
【變式4-1】若關(guān)于x的方程a3x=x2?x?66無解，則a的值為
【答案】1
【分析】先去分母可得，(2a?2)x=6，再由x=3a?1即可求解．
【詳解】解：原方程去分母得，2ax=3x?x+6，
移項得，2ax?2x=6，
合并同類項得，2(a?1)x=6，
系數(shù)化1得，x=3a?1，方程無解，則分母為零，
∴a?1=0，則a=1，
故答案是：1．
【點睛】本題考查的是一次方程無解的知識點，掌握x=ba無解時，滿足b≠0，a=0是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】已知關(guān)于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，關(guān)于y的方程2+y=（b+1）y無解，判斷關(guān)于z的方程az=b的解的情況．
【答案】z=0
【分析】根據(jù)題意，化簡關(guān)于x、y的方程，推斷出a、b情況，將條件代入關(guān)于z的方程，得出結(jié)果．
【詳解】關(guān)于x的方程4+3ax=2a﹣7可以簡化為：x=2a?113a，
∵關(guān)于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，
∴a≠0，
∵2+y=（b+1）y，
∴2+y=by+y，
∴by=2，
∴y=2b，
∵關(guān)于y的方程2+y=（b+1）y無解，
∴b=0，
關(guān)于z的方程az=b可以簡化為：z=ba，
∵a≠0，b=0，
∴z=0．
【點睛】本題主要考查了解一元一次方程的應(yīng)用，需要一步步化簡，綜合所給條件，討論得出結(jié)果．
【變式4-3】若m、n是有理數(shù)，關(guān)于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少兩個不同的解，則另一個關(guān)于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情況是（）
A．有至少兩個不同的解B．有無限多個解
C．只有一個解D．無解
【答案】D
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根據(jù)方程有兩個解的條件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情況．
【詳解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少兩個不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣2，n＝6，
把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m無解．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了解含字母系數(shù)的一元一次方程，關(guān)鍵是根據(jù)解的情況判斷字母系數(shù)的值．
【題型5 等式的基本性質(zhì)的運用】
【例5】“△〇□”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放〇的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”處應(yīng)放〇的個數(shù)是3個．
故選：C．
【點睛】找出各圖形之間的數(shù)量關(guān)系，是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不論x取什么值時都成立，則a= b= .
【答案】 3 -2
【詳解】分析：先將等式轉(zhuǎn)化為（a﹣3）x=2+b，根據(jù)題意，等式成立的條件與x的值無關(guān)，則x的系數(shù)為0由此可求得a、b的值．
詳解：將等式ax﹣3x=2+b轉(zhuǎn)化為（a﹣3）x=2+b，根據(jù)題意，等式成立的條件與x的值無關(guān)，則a﹣3=0，解得：a=3，此時，2+b=0，解得：b=﹣2．
故答案為3，﹣2．
點睛：本題主要考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要善于利用題目中的隱含條件：“不論x取何值，等式永遠(yuǎn)成立” ．
【變式5-2】有15個球，其中的14球質(zhì)量相同，另有1個球輕了一些，如果能用天平稱出來，至少次可以找出這個較輕的球．
【答案】3
【分析】先把15個球平均分成三組，用一次天平可找出有較輕的球的那組，再把球輕的哪個組的5個球，分成2，2，1三組，把2個的兩組放在天平上，若平衡，則剩下的那個是較輕的球；若天平不平衡，可找出球較輕的那個組，再把兩個球放天平上，即可找出較輕的球，
【詳解】解：先把15個球分成5個一組，共三組，任取兩組放在天平上，可找出球輕在哪個組；
再把球輕的哪個組的5個球，分成2，2，1三組，把2個的兩組放在天平上，若平衡，則剩下的那個是較輕的球；
若天平不平衡，可找出球較輕的那個組，再把兩個球放天平上，即可找出較輕的球，
故至少3次可以找出這個較輕的球．
故答案為：3
【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，合情推理是解題的關(guān)鍵
【變式5-3】已知實數(shù)a、b、c滿足a?b=ab=c，下列結(jié)論正確的是（）
A．a(chǎn)可能為?1B．若a、b、c中有兩個數(shù)相等，則abc=0
C．若c≠0，則1a?1b=1D．若c=1，則a2+b2=3
【答案】D
【分析】a=?1，a?b=ab=c，則?1?b=?b，等式不成立，故A錯誤；B分三種情形討論即可；C由c≠0，a?b=ab=c推出a?b≠0，ab≠0，推出a?bab=1，即1b?1a=1，故錯誤；D由c=1，a?b=ab=c推出a?b=1，ab=1，則根據(jù)完全平方公式可得，a2+b2=3．
【詳解】A.∵a=?1，a?b=ab=c，
∴?1?b=?b，等式不成立，故錯誤；
B.分三種情形討論：
當(dāng)a=b時，a?b=0，c=0，則abc=0，成立；
當(dāng)a=c時，a?b=ab=c，則c?b=c，cb=c，無解，故abc=0不成立；
當(dāng)b=c時，a?b=ab=c，則a?c=c，ac=c，解得a=1,b=12,c=12，故abc=0不成立，該選項錯誤；
C.由c≠0，a?b=ab=c推出a?b≠0，ab≠0，推出a?bab=1，即1b?1a=1，故錯誤；
D ∵c=1，a?b=ab=c，
∴a?b=1，ab=1，
∵a?b2=a2+b2?2ab，
∴12=a2+b2?2×1，
解得：a2+b2=3，故正確；
故選：D．
【點睛】本題考查等式的性質(zhì)、一元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于?？碱}型．
【題型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7?0.17?；
【答案】x=1417
【分析】先把小數(shù)都處理成整數(shù)，再按解一元一次方程的步驟計算即可．
【詳解】解：原方程可化為：10x7?17?20x3=1，
去分母，可得：30x?717?20x=21，
去括號，可得：30x?119+140x=21，
移項，可得：30x+140x=21+119，
合并同類項，可得：170x=140，
系數(shù)化為1，可得： x=1417．
【點睛】本題考查一元一次方程的解法，一般解方程步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1．
【變式6-1】解方程：x?34+2x+33=x+56?x?45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右兩邊分別通分后再去分母，即可求解．
【詳解】方程兩邊分別通分后相加，得3x?3+42x+312=5x+5?6x?430．
化簡，得11x+312=?x+4930，
去分母得：3011x+3=12?x+49，
去括號得：330x+90=?12x+588，
移項合并得：342x=498
解得：x=8357．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，本題若直接去分母，則兩邊應(yīng)同乘各分母的最小公倍數(shù)420，運算量大容易出錯，但是把方程左右兩邊分別通分后再去分母，會給解方程帶來方便．
【變式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【答案】x=4
【分析】方程兩邊去括號后，移項合并，將x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】解：去括號得：2x3+8x2﹣3x﹣12=x﹣4+2x3+8x2﹣6x，
移項合并得：2x=8，
系數(shù)化為1得：x=4．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，解一元一次方程，解題關(guān)鍵是熟練運用整式運算法則進(jìn)行化簡方程，準(zhǔn)確地解一元一次方程．
【變式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【答案】x=10605
【分析】先裂項化簡，再通分，然后系數(shù)化為1即可．
【詳解】x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
裂項，得
x3?x4+x4?x5+x5?x6+x6?x7=2020
化簡，得
x3?x7=2020
通分，得
421x=2020
系數(shù)化為1，得
x=10605
【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
【題型7 一元一次方程與圖表問題】
【例7】同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進(jìn)變成“幻圓”游戲，將?1，2，?3，4，?5，6，?7，8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，則a+b的值為（）

A．1或?1B．?1或?4C．?3或?6D．1或?8
【答案】C
【分析】根據(jù)所給數(shù)的特征，可知橫、豎、外圈、內(nèi)圈的4個數(shù)之和為2，再由已經(jīng)填寫的數(shù)，確定a=?1或a=2，從而求出d的值，即可求解．
【詳解】解：如圖，

∵?1+2?3+4?5+6?7+8=4，橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，
∴橫、豎、外圈、內(nèi)圈的4個數(shù)之和為2，
∴?7+6+8+b=2，
∴b=?5，
∵6+4+b+c=2，
∴6+4?5+c=2，解得c=?3，
∵a+c+4+d=2，
∴a+d=2?c?4=1
∴a+d=1，
∴a=?1或a=2，
當(dāng)a=?1時，d=2，此時a+b=?1?5=?6,
當(dāng)a=2時，d=?1，此時a+b=2?5=?3,
即a+b的值為?3或?6，
故選：C．
【點睛】此題考查了有理數(shù)加法和一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握有理數(shù)加法法則，能夠根據(jù)所給條件推出a，d的可能取值是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】實踐與探索，將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7……排列成如下的數(shù)表，用十字框框出5個數(shù)（如圖）

(1)若將十字框上下左右平移，但一定要框住數(shù)列中的5個數(shù)，若設(shè)中間的數(shù)為a，用a的代數(shù)表示十字框框住5個數(shù)字之和：
(2)十字框框住5個數(shù)字之和等于295？若能，分別寫出十字框住的5個數(shù)，若不能，請說明理由．
【答案】(1)5a
(2)不能
【分析】（1）從表格可看出上下相鄰相差12，左右相鄰相差2，設(shè)中間的數(shù)為a，上面的為a?12，下面的為a+12，左面的為a?2，右面的為a+2，這5個數(shù)的和可用a來表示，
（2）代入295后，若求出的結(jié)果是整數(shù)就可以，再考慮中間數(shù)的位置，即可得出答案．
【詳解】（1）從表格知道中間的數(shù)為a，上面的為a?12，下面的為a+12，左面的為a?2，右面的為a+2，
所以十字框框住的5個數(shù)字之和為：a+a?2+a+2+a?12+a+12=5a；
（2）不能，理由如下：
由題意知，5a=295，
解得a=59，
因為59是整數(shù)且位于第五行，第六列，處于最右邊，沒有更右邊的數(shù)，不符合題意．
所以十字框框住5個數(shù)字之和不能等于295．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)字變化規(guī)律，理解題意能力和看表格能力，關(guān)鍵是找到題目的等量關(guān)系．
【變式7-2】幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方—九宮格，將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及每條對角線上的3個數(shù)之和均相等，例如下圖（1）就是一個幻方，圖（2）是一個未完成的幻方，則a的值是．
圖（1）圖（2）
【答案】9
【分析】設(shè)a下方的數(shù)為m，右上角的數(shù)為n，則第二橫行三個數(shù)的和為11+m+15，由第一豎列三個數(shù)的和為39，可知每一橫行、每一豎列、每條對角線上的3個數(shù)之和均等于39，于是列方程得11+m+15=39，求得m=13，再由對角線三個數(shù)的和列方程得n+13+12=39，求得n=14，由第一行三個數(shù)的和列方程得16+a+14=39，解方程求出a的值即得到問題的答案．
【詳解】設(shè)a下方的數(shù)為m，右上角的數(shù)為n，
∵16+11+12=39，
∴每一橫行、每一豎列、每條對角線上的3個數(shù)之和均等于39，
根據(jù)題意得11+m+15=39，
解得m=13，
∴n+13+12=39，
解得n=14，
∴16+a+14=39，
解得a=9，
故答案為：9．
【點睛】此題重點考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示第二橫行三個數(shù)的和并且求出a下方的數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】生活與數(shù)學(xué)

(1)吉姆同學(xué)在某月的日歷上圈出2×2個數(shù)，正方形的方框內(nèi)的四個數(shù)的和是28，那么第一個數(shù)是；
(2)瑪麗也在上面的日歷上圈出2×2個數(shù)，斜框內(nèi)的四個數(shù)的和是42，則這四個數(shù)中最大的數(shù)是；
(3)莉莉也在日歷上圈出5個數(shù)，呈十字框形，它們的和是50，則中間的數(shù)是；
(4)某年的10月份有5個星期日，這5個星期日的和是75，則這個月中最后一天是星期；
(5)若干個偶數(shù)按每行8個數(shù)排成下圖：
①圖中方框內(nèi)的9個數(shù)的和與中間的數(shù)有的關(guān)系是；
②湯姆所畫的斜框內(nèi)9個數(shù)的和為360，則斜框的中間一個數(shù)是；
③托馬斯也畫了一個斜框，通過計算得到斜框內(nèi)9個數(shù)的和為450，你認(rèn)為他計算的結(jié)果可能嗎？說明你的理由．

【答案】(1)3
(2)14
(3)10
(4)二
(5)① 9倍；②40；③不可能
【分析】（1）先根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)第一個數(shù)是x,其他的數(shù)為x+1，x+7，x+8，然后列一元一次方程求解即可；
（2）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)第一個數(shù)是a,其他的數(shù)為a+1，a+6，a+7，然后列一元一次方程求解即可；
（3）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是b,根據(jù)5個數(shù)的和是50列方程求解即可；
（4）根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律，設(shè)最后一個星期日是m,則其他的星期日為m?7，m?14，m?21，m?28，再列一元一次方程求解即可；
（5）①通過計算可以得出結(jié)論；②根據(jù)①的規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是n,列方程求解即可；③根據(jù)①的規(guī)律，設(shè)中間的數(shù)是t,列方程求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)第一個數(shù)是x,其他的數(shù)為x+1，x+7，x+8，
則x+x+1+x+7+x+8=28，解得x=3．
故答案為：3．
（2）解：設(shè)第一個數(shù)是a,其他的數(shù)為a+1，a+6，a+7，
則a+a+1+a+6+a+7=42，解得a=7，
則a+1=8，a+6=13，a+7=14．
故答案為：14．
（3）解：設(shè)中間的數(shù)是b,則b+1+b?1+b+7+b?7=50，解得b=10．
故答案為：10．
（4）解：設(shè)最后一個星期日是m,則其他的星期日為m?7，m?14，m?21，m?28，
則m+m?7+m?14+m?21+m?28=75，解得m=29，
∴這個月中最后一天是星期二．
故答案為：二．
（5）解：①2+4+6+18+20+22+34+36+38=180=9×20，
故答案為：9個數(shù)的和是中間的數(shù)的9倍；
②根據(jù)規(guī)律可知，和是中間的數(shù)的9倍，
設(shè)中間的數(shù)是n,
則9n=360，解得n=40，
故答案為：40；
③不可能，理由如下：
設(shè)中間的數(shù)是t,
則9t=450，解得t=50，
∵50是最左邊第1列上的數(shù)，
∴不可能存在．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)字變化的規(guī)律，關(guān)鍵找出規(guī)律、列方程是解答本題的關(guān)鍵．
【題型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一個無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，應(yīng)該怎樣寫呢？我們以無限循環(huán)小數(shù)0.7為例進(jìn)行說明：設(shè)0.7=x，由0.7=0.7777?可知，10x=7.777?，所以10x?x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，將0.36寫成分?jǐn)?shù)的形式是（）
A．13B．23C．411D．511
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)x=0.36，則100x?x=36，求解即可．
【詳解】解：設(shè)x=0.36，由題意可得100x?x=36
解得x=411，即0.36=411
故選：C
【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出一元一次方程．
【變式8-1】把75拆成4個數(shù)的和，使得第一個數(shù)加4，第二個數(shù)減4，第三個數(shù)乘4，第四個數(shù)除以4，得到的結(jié)果都相等，拆成這四個數(shù)中最大的數(shù)是．
【答案】48
【分析】設(shè)相等的數(shù)為x，依次表示出拆成的4個數(shù)，根據(jù)4個數(shù)的和為75列方程即可求得相等的數(shù)，進(jìn)而求得拆成的4個數(shù)，從而可判斷最大的數(shù)．
【詳解】解：設(shè)相等的數(shù)為x，則拆成的4個數(shù)為：(x?4)，(x＋4)，4x，x4，
由題意得：(x?4)+(x+4)+4x+ x4 =75，
解得：x=12，
則x?4=8，x＋4=16，4x=48，x4=3，
故最大的數(shù)是48．
故答案為：48．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，用相等的數(shù)去表示拆成的4個數(shù)是解決本題的突破點，難度一般．
【變式8-2】已知三個連續(xù)奇數(shù)的和是51，這三個數(shù)分別是．
【答案】15 、 17 、 19
【分析】此題可利用“三個連續(xù)奇數(shù)的和是51”作為相等關(guān)系列方程求解；
【詳解】設(shè)最小的奇數(shù)為x，
則x+x+2+x+4=51
解得：x=15
故這三個數(shù)分別為：15，17，19；
故答案為：15，17，19
【點睛】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的數(shù)量關(guān)系，列出方程，再求解；此題中要熟悉連續(xù)奇數(shù)的表示方法，相鄰的兩個連續(xù)奇數(shù)相差2．
【變式8-3】一個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是 6 ，給這個兩位數(shù)加上 18 后，比十位數(shù)字大 56 ，這個兩位數(shù)是（）
A．42B．24C．33D．51
【答案】A
【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是 x，則個位數(shù)字是6?x，根據(jù)題意列出一元一次方程，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是 x，則個位數(shù)字是6?x，
由題意得10x+6?x+18?x=56，
解得： x=4，6?x=6?4=2．
∴這個兩位數(shù)是 42．
故選A．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．4
9
2
16
a
3
5
7
11
15
8
1
6
12

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