TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13243" 【題型1 方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc13243 \h 1
\l "_Tc30150" 【題型2 列方程】 PAGEREF _Tc30150 \h 3
\l "_Tc1810" 【題型3 一元一次方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc1810 \h 5
\l "_Tc17945" 【題型4 根據(jù)方程的解求值】 PAGEREF _Tc17945 \h 7
\l "_Tc1203" 【題型5 利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】 PAGEREF _Tc1203 \h 8
\l "_Tc6273" 【題型6 利用等式的性質(zhì)解方程】 PAGEREF _Tc6273 \h 10
\l "_Tc26160" 【題型7 利用等式的性質(zhì)比較大小】 PAGEREF _Tc26160 \h 13
\l "_Tc14860" 【題型8 等式的性質(zhì)在天平中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc14860 \h 14
\l "_Tc16179" 【題型9 利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】 PAGEREF _Tc16179 \h 17
\l "_Tc18236" 【題型10 方程的解的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc18236 \h 19
【知識點(diǎn)1 方程的定義】
方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù)．
【題型1 方程的概念辨析】
【例1】（2023春·湖南衡陽·七年級衡陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┫铝懈魇街校孩?x?1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2?5x?1，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【答案】C
【分析】根據(jù)方程的定義即可一一判定．
【詳解】解：含有未知數(shù)的等式叫做方程，
①2x?1=5是方程；
②4+8=12，不含有未知數(shù)，故不是方程；
③5y+8不是等式，故不是方程；
④2x+3y=0是方程；
⑤2a+1=1是方程；
⑥2x2?5x?1不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握和運(yùn)用方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023秋·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）宋元時(shí)期，中國數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了“天元術(shù)”，用“天元”表示未知數(shù)，解題先要“立天元為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”．“天元術(shù)”是中國數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造，它指的是我們所學(xué)的（ ）
A．絕對值B．有理數(shù)C．代數(shù)式D．方程
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展常識作答．
【詳解】解：中國古代列方程的方法被稱為天元術(shù)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程，代數(shù)式，數(shù)學(xué)常識，方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型．
【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級?？计谥校┫铝懈魇街胁皇欠匠痰氖牵? ）
A．2x+3y=1B．3π+4≠5
C．﹣x+y=4D．x=8
【答案】B
【分析】根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫方程），即可解答．
【詳解】3π+4≠5中不含未知數(shù)，所以錯誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】考查了方程的定義，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù)．
【變式1-3】（2023秋·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）對于等式：x?1+2=3，下列說法正確的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【答案】D
【分析】根據(jù)方程的定義及方程解的定義可判斷選項(xiàng)的正確性．方程就是含有未知數(shù)的等式，方程的解是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
【詳解】解：|x-1|+2=3符合方程的定義，是方程，
（1）當(dāng)x≥1時(shí)，x-1+2=3，解得x=2；
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，1-x+2=3，解得x=0．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的定義及方程解的定義，關(guān)鍵在于討論x的取值情況，從而通過解方程確定方程的解．
【題型2 列方程】
【例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）七年級學(xué)生人數(shù)為x，其中男生占52%，女生有150人，下列正確的是（ ）
A．1?52%x=150B．x=150?52%x
C．(1+52%)x=150D．(1?52%)x=150
【答案】D
【分析】根據(jù)總?cè)藬?shù)×女生所占百分比=女生人數(shù)列方程即可求解．
【詳解】解：由題意列方程得(1?52%)x=150．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)題意列方程，理解題意是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023秋·山西陽泉·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)下面所給條件，能列出方程的是（ ）
A．一個數(shù)的13是6B．x與1的差的14
C．甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的13D．a(chǎn)與b的和的60%
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出方程或代數(shù)式，即可求解．
【詳解】A. 一個數(shù)的13是6，設(shè)這個數(shù)為x，則有13x=6 ，是方程，故符合題意；
B. x與1的差的14，根據(jù)題意列式為：14x?1 ，不是方程，故不符合題意；
C. 甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的13，設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，根據(jù)題意可得：2x，13y，不是方程，故不符合題意；
D. a與b的和的60％，根據(jù)題意列式為：a+b×60% ，不是方程，故不符合題意，
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，解題的關(guān)鍵是理解方程的定義，含有未知數(shù)的等式是方程．
【變式2-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）列等式表示“比a的3倍大5的數(shù)等于a的4倍”為 ．
【答案】3a+5=4a
【分析】根據(jù)已知對數(shù)量關(guān)系的描述列式即可 ．
【詳解】解：∵a的3倍即3a，a的4倍即4a，比a的3倍大5的數(shù)即3a+5，
∴所列等式為3a+5=4a，
故答案為：3a+5=4a．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)對數(shù)量關(guān)系的描述列式，熟練掌握基本運(yùn)算的各種表述方法是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·河南南陽·七年級校聯(lián)考期末）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)B．π×(82)2x=π×(62)2×(x?5)
C．π×82x=π×62×(x+5)D．π×82x=π×62×5
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得相等關(guān)系的量為“水的體積”，然后利用圓柱體積公式列出方程即可.
【詳解】解：大量筒中的水的體積為：π×822x，
小量筒中的水的體積為：π×622×(x+5)，
則可列方程為：π×822x=π×622×(x+5).
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查列方程，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到題中相等關(guān)系的量，然后利用圓柱的體積公式列出方程即可.
【知識點(diǎn)2 一元一次方程的定義】
只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．
【題型3 一元一次方程的概念辨析】
【例3】（2023春·福建泉州·七年級?？计谥校┰诜匠?x?y=6，x+1x?3=0，12x=12，x2?2x?3=0中一元一次方程的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】A
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【詳解】2x?y=6中有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程；
x+1x?3=0中分母中有字母，不是一元一次方程；
12x=12是一元一次方程；
x2?2x?3=0中未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次方程；
故一元一次方程的個數(shù)為1個，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程，熟知只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程是解答此題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·上?！ち昙壭？计谥校┓匠??3x2=1中，一次項(xiàng)是 ．
【答案】?32x
【分析】一元一次方程中，含x的項(xiàng)叫做一次項(xiàng)，進(jìn)而直接得出答案．
【詳解】4?3x2=1整理得，2?32x=1
∴一次項(xiàng)是?32x，
故答案是：?32x．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的項(xiàng)，理解一元一次方程的一次項(xiàng)概念是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023秋·全國·七年級統(tǒng)考期末）下列各式中：2x?1=0，3x=?2；10x2?7x+2；5+(?3)=2；x?5y=1；x2?2x=1；ax+1=0（a≠0且a為常數(shù)），若方程個數(shù)記為m，一元一次方程個數(shù)記為n，則m?n= ．
【答案】3
【分析】分別找出方程的個數(shù)和一元一次方程的個數(shù)即可求出m和n的值，從而可求出m?n的值.
【詳解】∵2x?1=0，3x=?2；x?5y=1；x2?2x=1；ax+1=0（a≠0且a為常數(shù)）是方程，
∴m=5；
∵2x?1=0，ax+1=0（a≠0且a為常數(shù)）是一元一次方程，
∴n=2，
∴m?n=5?2=3.
故答案為3.
【點(diǎn)睛】本題考查了方程和一元一次方程的定義.含有未知數(shù)的等式叫做方程；方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做一元一次方程，根據(jù)定義判斷即可.
【變式3-3】（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）若方程□?x=1是一元一次方程，則□不可以是（ ）
A．0B．14xC．yD．?7
【答案】C
【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，據(jù)此分別判斷．
【詳解】解：A、0?x=1是一元一次方程，故不合題意；
B、14x?x=1是一元一次方程，故不合題意；
C、y?x=1不是元一次方程，故符合題意；
D、?7?x=1是一元一次方程，故不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．
【知識點(diǎn)3 方程的解】
解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．
【題型4 根據(jù)方程的解求值】
【例4】（2023秋·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程2ax+b=12的解為x=1，則6a+3b= ．
【答案】32
【分析】將x=1代入2ax+b=12可得：2a+b=12，從而得到6a+3b=32a+b=32．
【詳解】解：關(guān)于x的方程2ax+b=12的解為x=1，
將x=1代入2ax+b=12可得：2a+b=12，
∴6a+3b=32a+b=3×12=32．
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】本題考查方程的解與代數(shù)式求值，理解方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023秋·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）若x=4是方程mx?3=5的解，則m= ．
【答案】2
【分析】將x=4代入方程mx?3=5即可得到關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵ x=4是方程mx?3=5的解，
∴4m?3=5，
解得：m=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解，解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，將x=4代入方程mx?3=5是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023秋·云南紅河·七年級統(tǒng)考期末）小剛同學(xué)在做作業(yè)時(shí)，不小心將方程3x?3?■=x+1中的一個常數(shù)涂黑了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x=7，請問這個被涂黑的常數(shù)■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【答案】C
【分析】將x=7代入3x?3?■=x+1求解即可．
【詳解】解：將x=7代入3x?3?■=x+1得：3×7?3?■=7+1，
12?■=8，
解得：■=4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．
【變式4-3】（2023秋·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的一元一次方程12023x?1=b的解為x=3，則關(guān)于x的一元一次方程12023x+1?1=b的解x= ．
【答案】2
【分析】根據(jù)方程12023x?1=b的解為x=3，得到12023x+1?1=b的解為：x+1=3，求出x的值即可．
【詳解】解：∵方程12023x?1=b的解為x=3，
∴12023x+1?1=b的解為：x+1=3，
∴x=2；
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查方程的解．熟練掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．
【知識點(diǎn)4 等式的性質(zhì)】
性質(zhì)1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；
性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．
【題型5 利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】
【例5】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）下列利用等式的基本性質(zhì)變形錯誤的是（ ）
A．如果x?5=12，則x=12+5B．如果?4x=8，則x=?2
C．如果13x=9，則x=3D．如果4x+1=9，則4x=8
【答案】C
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A．x?5=12，則x=12+5，選項(xiàng)正確，不符合題意．
B． ?4x=8，則x=?2，選項(xiàng)正確，不符合題意．
C． 13x=9，則x=27，選項(xiàng)錯誤，符合題意．
D． 4x+1=9，則4x=8，選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉等式的基本性質(zhì)．
【變式5-1】（2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）已知3a=2b，則下列選項(xiàng)中的等式成立的是（ ）
A．9a=4bB．a(chǎn)3=b2C．3a?2=2b?2D．3a+1=2b+1
【答案】C
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個判斷即可．
【詳解】解：A、由3a=2b得9a=6b,原變形錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由3a=2b得a2=b3，原變形錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、由3a=2b得3a?2=2b?2，原變形正確，故本選項(xiàng)符合題意；
D、由3a=2b得不到3a+1=2b+1，原變形錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；（2）等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．
【變式5-2】（2023秋·安徽阜陽·七年級?？计谀┤鬭=b≠0，則下列式子中正確的是（填序號） ．
①a?2=b?2，②13a=12b，③?34a=?34b，④5a?1=5b?1．
【答案】①③④
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：根據(jù)等式性質(zhì)1，a=b兩邊都減2，即可得到a?2=b?2，故①正確；
根據(jù)等式性質(zhì)2，a=b兩邊都乘以13，即可得到13a=13b，故②錯誤；
根據(jù)等式性質(zhì)2，a=b兩邊都乘以?34，即可得到?34a=?34b，故③正確；
根據(jù)等式性質(zhì)2，a=b兩邊都乘，5，即可得到5a=5b，再根據(jù)等式性質(zhì)1，5a=5b兩邊都減1，可得5a?1=5b?1，故④正確；
故正確的是①③④．
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，等式的性質(zhì)1：等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘以一個數(shù)或除以一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．熟知等式的兩條性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023春·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）解方程x0.7?1.7?2x0.3=1，下列變形正確的是（ ）
A．10x7?17?20x3=1B．10x7?17?20x3=10
C．10x7?17?2x3=1D．10x7?17?2x3=10
【答案】A
【分析】利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把方程左邊的分子，分母中的小數(shù)化為整數(shù)，從而可得答案．
【詳解】解：∵x0.7?1.7?2x0.3=1，
∴10x7?17?20x3=1,
所以A正確，B,C,D錯誤；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型6 利用等式的性質(zhì)解方程】
【例6】（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）用等式的性質(zhì)解下列方程：
(1)4x?2=2；
解：方程兩邊同時(shí)加上 ，得： ；
方程兩邊同時(shí) ，得： ．
(2)12x+2=6．
【答案】(1)2；4x=4；除以4；x=1
(2)x=8
【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)方程兩邊同時(shí)加上2，然后方程兩邊同時(shí)除以4，即可求解；
（2）根據(jù)等式的性質(zhì)方程兩邊同時(shí)減去2，然后方程兩邊同時(shí)乘以2，即可求解．
【詳解】（1）解： 4x?2=2；
方程兩邊同時(shí)加上2，得：4x=4；
方程兩邊同時(shí)除以4，得：x=1；
故答案為：2；4x=4；除以4；x=1；
（2）解：12x+2=6，
12x=6?2，
12x=4，
x=8．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．
【變式6-1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級校聯(lián)考期中）利用等式性質(zhì)解方程
（1）2x-5=x-5
（2）?13x?5=8
【答案】（1）x=0；（2）x=?39
【分析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)加上－x+5即可求得x；
（2）根據(jù)等式性質(zhì)1，方程兩邊分別加上5，再利用等式性質(zhì)2即可求得x．
【詳解】（1）方程兩邊都加上－x+5，得：2x-5－x+5=x-5－x+5
合并同類項(xiàng)得：x=0
（2）方程兩邊都加上5，得：?13x?5+5=8+5
合并同類項(xiàng)得：?13x=13
方程兩邊都乘-3，得：x=－39
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的兩個性質(zhì)，等式的兩個性質(zhì)是解方程的基礎(chǔ)，因此掌握等式的兩個性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023秋·北京·七年級?？计谥校├玫仁叫再|(zhì)補(bǔ)全下列解方程過程：3?13x=4
解：根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊同時(shí) ，
可得3?13x?3=4_________，
于是?13x=_________．
根據(jù)____________兩邊同時(shí)乘以-3，可得x=_______．
【答案】減去3；-3；1；等式的性質(zhì)2；-3
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解方程
【詳解】解：3?13x=4，
根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊同時(shí)減去3，
可得3?13x?3=4-3，
于是?13x=1．
根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊同時(shí)乘以-3，可得x=-3，
故答案為：減去3；-3；1；等式的性質(zhì)2；-3．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟知等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023秋·湖北咸寧·七年級校考期中）利用等式的性質(zhì)解方程
(1)4x?4=3(x+1)
(2)2y+13=7?y
【答案】(1)x=7
(2)y=4
【分析】（1）去括號，然后用等式的性質(zhì)求解即可；
（2）利用等式的性質(zhì)去分母，然后進(jìn)一步求解即可；
【詳解】（1）解：4x?4=3(x+1)
去括號得：
4x?4=3x+3
等式兩邊同時(shí)加上(?3x+4)，得：
4x?3x?4+4=3x?3x+3+4
合并同類項(xiàng)得：
x=7；
（2）解：2y+13=7?y
等式兩邊同時(shí)乘3得：
2y+1=21?3y
等式兩邊同時(shí)加上(3y?1)，得：
5y=20
等式兩邊同時(shí)除以5 ，得：
y=4．
【點(diǎn)睛】本題考查了用等式的性質(zhì)解方程；熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型7 利用等式的性質(zhì)比較大小】
【例7】（2023秋·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性質(zhì)比較m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．無法確定
【答案】A
【分析】等式兩邊同時(shí)除以2，減去n，加上12，即可得到答案．
【詳解】等式兩邊同時(shí)除以2得：
m﹣12＝n，
等式兩邊同時(shí)減去n得：
m﹣n﹣12＝0，
等式兩邊同時(shí)加上12得：
m﹣n＝12，
即m﹣n＞0，
即m＞n，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，正確掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的基本性質(zhì)1是等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，所得的結(jié)果仍是等式；等式的基本性質(zhì)2是等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得的結(jié)果仍是等式.
【變式7-1】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）已知5a?3b?1=5b?3a，利用等式的基本性質(zhì)比較a，b的大小.
【答案】a>b
【分析】利用等式的性質(zhì)將一個字母用另一個字母表示出來，再判斷．
【詳解】解：等式兩邊同時(shí)加3b+1，得5a=8b-3a+1．
等式兩邊同時(shí)加3a，得8a=8b+1．
等式兩邊同時(shí)除以8，得a=b+18，
所以a＞b．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．
【變式7-2】（2023秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┮阎?4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性質(zhì)比較 m 與 n 的大小關(guān)系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】利用等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)減去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的兩邊再同時(shí)除以3可得，m-n=53，據(jù)此進(jìn)行判斷.
【詳解】解：等式的兩邊同時(shí)減去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的兩邊再同時(shí)除以3可得，
m-n=53＞0，故m＞n.
故答案為＞.
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì).
【變式7-3】（2023·甘肅武威·七年級統(tǒng)考期中）已知34m﹣1=34n，試用等式的性質(zhì)比較m與n的大?。?br>【答案】m＞n．
【詳解】試題分析：根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，最后得到m與n的差，根據(jù)差的正負(fù)即可進(jìn)行判斷.
試題解析：等式兩邊同時(shí)乘以4得：3m-4=3n，
整理得：3（m-n）=4，
∴m-n＞0，
則m＞n．
【點(diǎn)睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【題型8 等式的性質(zhì)在天平中的運(yùn)用】
【例8】（2023春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）“○”“口”“△”分別表示三種不同的物體，用天平比較它們的大小，兩次情況如圖．那么，每個“○”“口”“△”按質(zhì)量大小的順序排列為（ ）
A．〇△□B．〇□△C．□〇△D．△□〇
【答案】B
【分析】根據(jù)圖一可知〇與□質(zhì)量大小關(guān)系，根據(jù)圖二可知□與△的質(zhì)量大小關(guān)系，即可求解．
【詳解】由圖1可知〇〇＞□〇
∴1個〇的質(zhì)量大于1個□的質(zhì)量，
由圖2可知△△△=□△
∴1個□的質(zhì)量等于2個△的質(zhì)量，
∴1個□質(zhì)量大于1個△質(zhì)量．
∴按質(zhì)量大小的順序排列〇□△
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同另有一盒少了幾塊，如果能用天平稱，至少( )次保證可以找出這盒餅干．
【答案】3
【分析】把15盒餅干進(jìn)行分組，天平兩端擺放相同的盒數(shù)，利用天平的原理進(jìn)行求解．
【詳解】解：把15盒分成5、5、5三份，第一次在天平兩端各放5盒，若平衡，少了幾塊的一盒在沒稱的5盒中，若不平衡，少了幾塊的一盒在較輕一端的5盒中；
把5盒分成2、2、1三份，第二次在天平兩端各放2盒，若平衡，少了幾塊的一盒是沒稱的那一盒，若不平衡，少了幾塊的一盒在較輕一端的2盒中；
第三次在天平兩端各放1盒，即可找到少了幾塊的一盒．
綜上可知，至少稱3次可以保證找出這盒餅干．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)天平的原理解答問題的能力，解題的關(guān)鍵是具備一定的邏輯思維能力，方法不唯一．
【變式8-2】（2023秋·廣東江門·七年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右邊不能放的是（ ）

A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【答案】A
【分析】設(shè)■，●，▲代表的三個物體的重量分別為a、b、c，根據(jù)前面兩幅圖可以得到2a=b+c，a+b=c進(jìn)而推出a=2b，c=3b，由此即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)■，●，▲代表的三個物體的重量分別為a、b、c，
由左邊第一幅圖可知a+c=2b①，由中間一幅圖可知b+c=a②，
∴①?②得a?b=2b?a，
∴2a=3b，
∴a=32b，
由②得，c=a?b=32b?b=12b，即b=2c
∴a=3c
∴a+b=5c，故A不正確，B正確，
a+b=3c+b=2c+b+c=b+b+c=2b+c，故C，D正確，
故選A ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，正確理解題意得到a=3c，b=2c是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質(zhì)．
【提出問題】能否借助一架天平和一個10克的砝碼測量出一個乒乓球和一個一次性紙杯的質(zhì)量？
【實(shí)驗(yàn)探究】準(zhǔn)備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個乒乓球的質(zhì)量相同，每個紙杯的質(zhì)量也相同），設(shè)一個乒乓球的質(zhì)量是x克，經(jīng)過試驗(yàn)，將有關(guān)信息記錄在下表中：
【解決問題】
（1）將表格中兩個空白部分用含x的代數(shù)式表示；
（2）分別求出一個乒乓球的質(zhì)量和一個一次性紙杯的質(zhì)量．
【及時(shí)遷移】
（3）借助以上相關(guān)數(shù)據(jù)以及實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，你能設(shè)計(jì)一種方案，使實(shí)驗(yàn)中選取的乒乓球的個數(shù)是紙杯的個數(shù)的3倍嗎？請補(bǔ)全下面橫線上內(nèi)容，完善方案，并說明方案設(shè)計(jì)的合理性．
方案：將天平左邊放置______，天平右邊放置______，使得天平平衡．
理由：
【答案】（1）5x+10；3x?10；（2）一個乒乓球的質(zhì)量為4克，一個一次性紙杯的質(zhì)量為2克；（3）3個乒乓球，1個一次性紙杯和1個10克的砝碼，詳見解析；
【分析】解決問題：（1）用乒乓球的總質(zhì)量加上砝碼的總質(zhì)量可得答案；
（2）根據(jù)題意列出方程，求解可得答案；
及時(shí)遷移：根據(jù)乒乓球、紙杯、砝碼的質(zhì)量設(shè)計(jì)即可，只是平衡即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：記錄一中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：5x+10；
記錄二中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：3x?10，
故答案為：5x+10；3x?10，
（2）由題意得：5x+10=15(3x?10)，
解得：x=4，∴3x?10=2
答：一個乒乓球的質(zhì)量為4克，一個一次性紙杯的質(zhì)量為2克．
及時(shí)遷移：將天平左邊放置3個乒乓球，天平右邊放置1個一次性紙杯和1個10克的砝碼，使得天平平衡．
故答案為：3個乒乓球，1個一次性紙杯和1個10克的砝碼，
理由：不唯一，算術(shù)方法或者方程方法說明都可以，言之有理即可．
【點(diǎn)睛】此題考查的是等式的性質(zhì)、列代數(shù)式，掌握等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解決此題的關(guān)鍵．
【題型9 利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】
【例9】（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）整式mx?n的值隨x取值的變化而變化，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對應(yīng)的整式的值：
則關(guān)于x的方程?mx+n=9的解為（ ）
A．x=?5B．x=?4C．x=?2D．x=1
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)把?mx+n=9變形為mx?n=?9；再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求解即可．
【詳解】解：關(guān)于x的方程?mx+n=9變形為mx?n=?9，
由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)?mx+n=9時(shí)，x=1；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等式變形，根據(jù)表格求解．
【變式9-1】（2023秋·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，其解為x=?2的是（ ）
A．3x?4=2B．3x+1?3=0C．2x=?1D．x+75?1=0
【答案】D
【分析】把x=?2分別代入各選項(xiàng)左邊代數(shù)式求值，然后比較判定即可；
【詳解】解：A.當(dāng)x=-2時(shí)，3x?4=?6?4=?0≠2，故不符合題意；
B. 當(dāng)x=-2時(shí)，3x+1?3=3×?2+1?3=?6≠0，故不符合題意；
C. 當(dāng)x=-2時(shí)， 2x=2×?2=?4≠?1，故不符合題意；
D. 當(dāng)x=-2時(shí)，x+75?1=?2+75?1=1?1=0，故符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，熟練掌握解的定義是解答本題的關(guān)鍵，能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
【變式9-2】（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）檢驗(yàn)下列方程后面小括號內(nèi)的數(shù)是否為相應(yīng)方程的解．
(1)2x+5=10x?3,x=1；
(2)0.52x?1?0.52x=80,x=1000．
【答案】(1)是
(2)不是
【分析】（1）將x=1分別代入方程兩邊，再比較兩邊，若相等，則x=1是該方程的解，否則不是；
（2）將x=1000分別代入方程兩邊，再比較兩邊，若相等，則x=1000是該方程的解，否則不是．
【詳解】（1）解：當(dāng)x=1時(shí)，
左邊=2x+5=7，
右邊=10x?3=7，
左邊=右邊，
∴x=1是該方程的解．
（2）解：當(dāng)x=1000時(shí)，
左邊=0.52x?1?0.52x=520?480=40，
右邊=80，
左邊≠右邊，
∴x=1000不是方程的解．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．
【變式9-3】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）x=2是方程ax﹣4=0的解，檢驗(yàn)x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由見解析.
【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由為：由x=2為已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再將a的值代入所求方程，檢驗(yàn)即可．
【詳解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由為：
∵x=2是方程ax﹣4=0的解，
∴把x=2代入得：2a﹣4=0，
解得：a=2，
將a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8，
將x=3代入該方程左邊，則左邊=7，
代入右邊，則右邊=1，
左邊≠右邊，
則x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解．
【點(diǎn)睛】此題考查了方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
【題型10 方程的解的規(guī)律問題】
【例10】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）一列方程如下排列：
x4+x?12＝1的解是x＝2；
x6+x?22＝1的解是x＝3；
x8+x?32＝1的解是x＝4；
…
根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫出其中解是x＝20的方程： ．
【答案】x40+x?192=1
【分析】先根據(jù)已知方程得出規(guī)律，再根據(jù)得出的規(guī)律寫出方程即可．
【詳解】解：∵一列方程如下排列：
x4+x?12=1的解是x=2；
x6+x?22=1的解是x=3；
x8+x?32=1的解是x=4；
∴一列方程如下排列：
x2×2+x?(2?1)2=1的解是x=2；
x2×3+x?(3?1)2=1的解是x=3；
x2×4+x?(4?1)2=1的解是x=4；
…，
由此可得：解為x=20的方程為：
x2×20+x?(20?1)2=1，
即x40+x?192=1．
故答案為：x40+x?192=1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，能根據(jù)題意得出規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023秋·廣東揭陽·七年級惠來縣第一中學(xué)?？计谀┯幸幌盗蟹匠蹋?個方程是x+x2=3，解為x=2；第2個方程是x2+x3=5，解為x=6；第3個方程是x3+x4=7，解為x=12；…根據(jù)規(guī)律第10個方程是x10 +x11=21，解為 ．
【答案】x=110
【分析】觀察這一系列方程可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第n個方程為xn+xn+1=2n+1，其解為n(n+1),將n=10帶入即可得到答案．
【詳解】解：第1個方程是x+x2=3，解為x=2×1=2；
第2個方程是x2+x3=5，解為x=2×3=6；
第3個方程是x3+x4=7，解為x=3×4=12；
…
可以發(fā)現(xiàn),第n個方程為xn+xn+1=2n+1，
解為n(n+1) ．
∴第10個方程x10+x11=21的解為：x=10×11=110．
故答案為x=110．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，關(guān)鍵在于通過觀察題干中給出的一系列方程，總結(jié)歸納出規(guī)律，然后用含n的式子表示出來.此題難度適中，屬于中檔題．
【變式10-2】（2023秋·七年級課時(shí)練習(xí)）閱讀理解題)先閱讀下列一段文字，然后解答問題：
已知：方程x?1x=112的解是x1=2,x2=?12 ；方程x?1x=223的解是x1=3,x2=?13；方程x?1x=334的解是x1=4,x2=?14……
問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程：x?1x=101011的解，并進(jìn)行檢驗(yàn)再推廣到一般情形.
【答案】見解析
【詳解】試題分析：
我們分析題中的幾個例子可得：上述方程的結(jié)構(gòu)符合：“x?1x=n+nn+1，其中n為正整數(shù)”，而其解為：x1=n+1，x2=?1n+1.
試題解析：
（1）猜想得：x?1x=101011的解為x1=11，x2=?111，驗(yàn)證如下：
當(dāng)x=11時(shí)，原方程左邊=11?111=101011=方程是右邊，∴x=11是原方程的解；
當(dāng)x=?111時(shí)，原方程左邊=?111?[1÷(?111)]=?111+11=101011=方程右邊，
∴x=?111是原方程的解；即猜想是正確的；
（2）一般情形：方程x?1x=n+nn+1的解為x1=n+1，x2=?1n+1.
【變式10-3】（2023秋·七年級單元測試）已知關(guān)于x的方程x+2x=3+23的兩個解是x1=3,x2=23；
又已知關(guān)于x的方程x+2x=4+24的兩個解是x1=4,x2=24；
又已知關(guān)于x的方程x+2x=5+25的兩個解是x1=5,x2=25；
…，
小王認(rèn)真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
關(guān)于x的方程x+2x=c+2c的兩個解是x1=c,x2=2c；并且小王在老師的幫助下完成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明（證明過程略）．小王非常高興，他向同學(xué)提出如下的問題．
(1)關(guān)于x的方程x+2x=11+211的兩個解是x1= 和x2= ；
(2)已知關(guān)于x的方程x+2x?1=12+211，則x的兩個解是多少？
【答案】(1)11，211
(2)x1=12，x2=1311
【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可直接得到答案；
（2）將原方程進(jìn)行變形，變成x?1+2x?1=11+211即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程x+2x=c+2c的兩個解是x1=c,x2=2c，
∴方程x+2x=11+211的兩個解是x1=11，x2=211，
故答案為：11，211；
（2）∵x+2x?1=12+211，
∴x?1+2x?1=12+211?1，
∴x?1+2x?1=11+211，
∴x1?1=11，x2?1=211，
∴x1=12，x2=1311．
【點(diǎn)睛】本題考查方程的解，解題的關(guān)鍵是將方程進(jìn)行正確的變形，根據(jù)方程的定義求出方程的解．記錄
天平左邊
天平右邊
天平狀態(tài)
乒乓球總質(zhì)量
一次性紙杯的總質(zhì)量
記錄一
5個乒乓球，1個10克的砝碼
15個一次性紙杯
平衡
5x
______
記錄二
3個乒乓球
1個一次性紙杯
1個10克的砝碼
平衡
3x
______
x
?5
?4
?3
?2
?1
1
mx?n
9
6
3
0
?3
?9

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華師大版七年級下冊2 解一元一次方程當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測題：

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