比例的性質(zhì)：
①基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于量外項(xiàng)之積。即若，則。
②合比性質(zhì)：若，則。
③分比性質(zhì)：若，則。
④合分比性質(zhì)：若，則。
⑤等比性質(zhì)：若，則。
比例線段：
若四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段。
平行線分線段成比例：
三條平行線被兩條直線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。
即如圖：有；
；
。
推論：
①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。
②如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
③平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。
微專題
1． (2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的 倍．
第1題 第2題
2． (2023?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
3． (2023?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，，若AC＝6，則EC＝（ ）
第3題 第4題
A．B．C．D．
4． (2023?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（ ）
A．B．1C．D．2
5． (2023?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為 ．
第5題 第6題
6． (2023?哈爾濱）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為（ ）
A．B．4C．D．6
7． (2023?雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，若，那么＝（ ）
第7題 第8題
A．B．C．D．
8． (2023?涼山州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm
9． (2023?鞍山）如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點(diǎn)E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，則CD的長為 ．
第9題 第10題
10． (2023?上海）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則＝ ．
11． (2023?宜賓）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，則EF＝ ．
考點(diǎn)二：相似三角形的性質(zhì)
知識回顧
相似圖形的概念：
把形狀相同的圖形稱為相似圖形。
相似三角形的概念：
如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。
相似三角形的性質(zhì)：
①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對應(yīng)邊的比叫做相似比。
②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。
微專題
12． (2023?蘭州）已知△ABC∽△DEF，，若BC＝2，則EF＝（ ）
A．4B．6C．8D．16
13． (2023?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A．B．C．D．
14． (2023?甘肅）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則＝（ ）
A．B．C．D．
15． (2023?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長不可能是（ ）
A．B．C．10D．
16． (2023?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（ ）
A．54B．36C．27D．21
考點(diǎn)三：相似三角形的判定：
知識回顧
相似三角形的判定：
①平行線法判定：
平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
②對應(yīng)邊判定：
三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。
③兩邊及其夾角判定法：
兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩組對應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。
④兩角判定：
有兩組角（三組角）對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。
微專題
17． (2023?邵陽）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件 ，使△ADE∽△ABC．
第17題 第18題
18． (2023?徐州）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（ ）
A．5B．6C．D．
19． (2023?東營）如圖，點(diǎn)D為△ABC邊AB上任一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE、CD相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（ ）
第19題 第20題
A．B．C．D．
20． (2023?攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，BF、DE相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH∥CD，交BF于點(diǎn)H，則線段GH的長度是（ ）
A．B．1C．D．
21． (2023?衢州）西周數(shù)學(xué)家商高總結(jié)了用“矩”（如圖1）測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖2的位置，從矩的一端A（人眼）望點(diǎn)E，使視線通過點(diǎn)C，記人站立的位置為點(diǎn)B，量出BG長，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝xB．y＝x+1.6
C．y＝2x+1.6D．y＝+1.6
22． (2023?貴陽）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長比是（ ）
第22題 第23題 第24題
A．1：B．1：2C．1：3D．1：4
23． (2023?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
24． (2023?海南）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，EF垂直AB交AB的延長線于點(diǎn)F，若BF：CE＝1：2，EF＝，則菱形ABCD的邊長是（ ）
A．3B．4C．5D．
25． (2023?金華）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，A′E與BC相交于點(diǎn)G，B′A′的延長線過點(diǎn)C．若，則的值為（ ）
第25題 第26題
A．2B．C．D．
26． (2023?遂寧）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B，連接EC、GA，交于點(diǎn)O，GA與BC交于點(diǎn)P，連接OD、OB，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
27． (2023?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則的值是 ．
第27題 第28題
28． (2023?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，且AE＝2DE，BD與CE相交于點(diǎn)F，若△DEF的面積是3，則△BCF的面積是 ．
29． (2023?婁底）如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點(diǎn)D為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），將AD繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)點(diǎn)D落在D′處，連接BD′．給出下列結(jié)論：
①△ACD≌△ABD′；
②△ACB∽△ADD′；
③當(dāng)BD＝CD時(shí)，△ADD′的面積取得最小值．
其中正確的結(jié)論有 （填結(jié)論對應(yīng)的應(yīng)號）．
30． (2023?東營）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠BAC＝∠MAN＝60°，連接MN、OM．以下四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
①△AMN是等邊三角形；
②MN的最小值是；
③當(dāng)MN最小時(shí)S△CMN＝S菱形ABCD；
④當(dāng)OM⊥BC時(shí)，OA2＝DN?AB．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
31． (2023?黑龍江）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，OE⊥OF交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，則tan∠CAE＝；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（ ）
第31題 第32題
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
32． (2023?綏化）如圖，在矩形ABCD中，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，過點(diǎn)B作射線，交線段CP的延長線于點(diǎn)E，交邊AD于點(diǎn)M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y(tǒng)，其中2＜x≤5．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）y與x的關(guān)系式為y＝x﹣；
（2）當(dāng)AP＝4時(shí)，△ABP∽△DPC；
（3）當(dāng)AP＝4時(shí)，tan∠EBP＝．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
33． (2023?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（ ）
第33題 第34題
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
(2023?鞍山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，CE，BD交于點(diǎn)H，DF⊥CE于點(diǎn)F，F(xiàn)M平分∠DFE，分別交AD，BD于點(diǎn)M，G，延長MF交BC于點(diǎn)N，連接BF．下列結(jié)論：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正確的是
.（填序號即可）．
35． (2023?德州）如圖，把一根長為4.5m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長1m處離地面的高度為0.6m，則石壩的高度為（ ）
A．2.7mB．3.6mC．2.8mD．2.1m
36． (2023?十堰）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為（ ）
A．0.3cmB．0.5cmC．0.7cmD．1cm
37． (2023?杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝ m．
第37題 第38題
(2023?溫州）如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段CD，測得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于 米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于 米．
考點(diǎn)四：位似
知識回顧
位似的概念：
如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。
位似與平面直角坐標(biāo)系：
在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或﹣。
微專題
39． (2023?百色）已知△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A'B'C'的面積比是（ ）
A．1：3B．1：6C．1：9D．3：1
40． (2023?梧州）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知＝，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A′B′C′D′的面積是（ ）
第40題 第41題
A．4B．6C．16D．18
41． (2023?威海）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為（ ）
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
42． (2023?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長之比是（ ）
第42題 第43題
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
43． (2023?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（ ）
A．4B．6C．9D．16
44． (2023?黔西南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0），則△OAB與△OCD周長的比值是 ．
45． (2023?濰坊）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，則四邊形A'B'C'D'的外接圓的周長為 ．
46． (2023?成都）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長比是 ．
專題28 相似三角形
考點(diǎn)一：比例
知識回顧
比例的性質(zhì)：
①基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于量外項(xiàng)之積。即若，則。
②合比性質(zhì)：若，則。
③分比性質(zhì)：若，則。
④合分比性質(zhì)：若，則。
⑤等比性質(zhì)：若，則。
比例線段：
若四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段。
平行線分線段成比例：
三條平行線被兩條直線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。
即如圖：有；
；
。
推論：
①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。
②如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
③平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。
微專題
1． (2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的 倍．
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題．
【解答】解：由題意得，5m被稱物＝6m砝碼．
∴m被稱物：m砝碼＝6：5＝1.2．
故答案為：1.2．
2． (2023?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根據(jù)CD∥OB得出，根據(jù)AC：OC＝1：2，得出，根據(jù)C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，得出OB＝6，即可得出答案．
【解答】解：∵CD∥OB，
∴，
∵AC：OC＝1：2，
∴，
∵C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴，
解得：OB＝6，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，故選：C．
3． (2023?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，，若AC＝6，則EC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平行線分線段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴，
∴，
∴EC＝．故選：C．
4． (2023?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．
【解答】解：過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，
則＝，即＝2，
解得：BC＝，
故選：C．
5． (2023?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為 ．
【分析】如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．證明AB＝3AD，設(shè)AD＝CD＝a，證明ET＝CT，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，求出a+b，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．
∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，
∴FM＝FN，
∴＝＝＝3，
∴AB＝3AD，
設(shè)AD＝DC＝a，則AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴＝＝3，
設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b＝，
∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案為：5．
6． (2023?哈爾濱）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為（ ）
A．B．4C．D．6
【分析】利用平行線證明判定三角形相似，得到線段成比例求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴BE＝1.5，
∴BD＝BE+DE＝4.5．
故選：C．
7． (2023?雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，若，那么＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故選：D．
8． (2023?涼山州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長為（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm
【分析】根據(jù)＝，得到＝，根據(jù)DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝15（cm），
故選：C．
9． (2023?鞍山）如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點(diǎn)E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，則CD的長為 ．
【分析】由平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，∠A＝∠D，其對應(yīng)角相等得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性質(zhì)求出線段CD即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，
又∵AB＝2.5，
∴CD＝5．故答案為：5．
10． (2023?上海）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則＝ ．
【分析】利用平行線截線段成比例解答．
【解答】解：∵D為AB中點(diǎn)，
∴＝．
當(dāng)DE∥BC時(shí)，△ADE∽△ABC，則＝＝＝．
當(dāng)DE與BC不平行時(shí)，DE＝DE′，＝．
故答案是：或．
11． (2023?宜賓）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，則EF＝ ．
【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)即可得出EF的長度．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，
∴，
∴EF＝，
故答案為：．
考點(diǎn)二：相似三角形的性質(zhì)
知識回顧
相似圖形的概念：
把形狀相同的圖形稱為相似圖形。
相似三角形的概念：
如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。
相似三角形的性質(zhì)：
①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對應(yīng)邊的比叫做相似比。
②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。
微專題
12． (2023?蘭州）已知△ABC∽△DEF，，若BC＝2，則EF＝（ ）
A．4B．6C．8D．16
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)可得，代入即可得出EF的長．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵＝，BC＝2，
∴，
∴EF＝4，
故選：A．
13． (2023?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴S△ADE∽S△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值為，
故選：B．
14． (2023?甘肅）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)△ABC∽△DEF，可以得到，然后根據(jù)BC＝6，EF＝4，即可得到的值．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵BC＝6，EF＝4，
∴＝，
故選：D．
15． (2023?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長不可能是（ ）
A．B．C．10D．
【分析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類討論的方法，求出剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．
【解答】解：如右圖1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
則，
設(shè)DF＝x，CE＝y(tǒng)，
則，
解得，
∴DE＝CD+CE＝6+＝，故選項(xiàng)B不符合題意；
EB＝DF+AD＝+2＝，故選項(xiàng)D不符合題意；
如圖2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
則，
設(shè)FC＝m，F(xiàn)D＝n，
則，
解得，
∴FD＝10，故選項(xiàng)C不符合題意；
BF＝FC+BC＝8+7＝15；
如圖3所示：
此時(shí)兩個(gè)直角三角形的斜邊長為6和7；
故選：A．
16． (2023?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（ ）
A．54B．36C．27D．21
【分析】（1）方法一：設(shè)2對應(yīng)的邊是x，3對應(yīng)的邊是y，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列等式，解出即可；
方式二：根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比，列出等式計(jì)算．
【解答】解：方法一：設(shè)2對應(yīng)的邊是x，3對應(yīng)的邊是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∴x＝6，y＝9，
∴△DEF的周長是27；
方式二：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
∴C△DEF＝27；
故選：C．
考點(diǎn)三：相似三角形的判定：
知識回顧
相似三角形的判定：
①平行線法判定：
平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
②對應(yīng)邊判定：
三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。
③兩邊及其夾角判定法：
兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩組對應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。
④兩角判定：
有兩組角（三組角）對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。
微專題
17． (2023?邵陽）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件 ，使△ADE∽△ABC．
【分析】要使兩三角形相似，已知一組角相等，則再添加一組角或公共角的兩邊對應(yīng)成比例即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴當(dāng)∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝時(shí)，△ADE∽△ABC，
故答案為：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．
18． (2023?徐州）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（ ）
A．5B．6C．D．
【分析】證明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得結(jié)果．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
故選：C．
19． (2023?東營）如圖，點(diǎn)D為△ABC邊AB上任一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE、CD相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由DE∥BC根據(jù)平行線分線段成比例定理得＝，可判斷A正確；
由△EDF∽△BCF根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得＝，可判斷B正確；
由△ADE∽△ABC得＝≠，可判斷C錯(cuò)誤；
由＝，＝，得＝，可判斷D正確．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
故A正確；
∵△EDF∽△BCF，
∴＝，
故B正確；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝≠，
故C錯(cuò)誤；
∵＝，＝，
∴＝，
故D正確，
故選：C．
20． (2023?攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，BF、DE相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH∥CD，交BF于點(diǎn)H，則線段GH的長度是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，求出DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，求出FH＝BH，根據(jù)勾股定理求出BF，求出FH＝BH＝，根據(jù)三角形的中位線求出EH，根據(jù)相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，
∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，
∵EH∥CD，
∴FH＝BH，
∵BE＝CE，
∴EH＝CF＝，
由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∴BH＝FH＝BF＝，
∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴，
∴＝，
解得：GH＝，
故選：A．
21． (2023?衢州）西周數(shù)學(xué)家商高總結(jié)了用“矩”（如圖1）測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖2的位置，從矩的一端A（人眼）望點(diǎn)E，使視線通過點(diǎn)C，記人站立的位置為點(diǎn)B，量出BG長，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝xB．y＝x+1.6
C．y＝2x+1.6D．y＝+1.6
【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，F(xiàn)G＝AB＝1.6m，EG＝y(tǒng)m，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】解：由圖2可得，
AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，F(xiàn)G＝AB＝1.6m，EG＝y(tǒng)m，
∴EF＝（y﹣1.6）m，
∵CD⊥AF，EF⊥AF，
∴CD∥EF，
∴△ADC∽△AFE，
∴，
即，
∴，
化簡，得y＝x+1.6，
故選：B．
22． (2023?貴陽）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長比是（ ）
A．1：B．1：2C．1：3D．1：4
【分析】根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比可以解答本題．
【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝＝，
故選：B．
23． (2023?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
【分析】利用網(wǎng)格圖，勾股定理求得AB，CD的長，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得出∠BAF＝∠HCD，進(jìn)而得到∠BAC＝∠DCA，則AB∥CD，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解答】解：如圖所示，
由網(wǎng)格圖可知：BF＝2，AF＝4，CH＝2，DH＝1，
∴AB＝＝2，
CD＝＝．
∵FA∥CG，
∴∠FAC＝∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF＝，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD＝，
∴tan∠BAF＝tan∠HCD，
∴∠BAF＝∠HCD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE與△CDE的周長比＝＝＝2：1．故選：D．
24． (2023?海南）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，EF垂直AB交AB的延長線于點(diǎn)F，若BF：CE＝1：2，EF＝，則菱形ABCD的邊長是（ ）
A．3B．4C．5D．
【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，則四邊形DHFE為平行四邊形，可得HF＝DE，DH＝EF＝；設(shè)BF＝x，則CE＝2x，可得AH＝3x，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴DH∥EF，
∴四邊形DHFE為平行四邊形，
∴HF＝DE，DH＝EF＝．
∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CD，
∴HF＝CD＝AB．
∵BF：CE＝1：2，
∴設(shè)BF＝x，則CE＝2x，
∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
∴AF＝AB+BF＝5x．
∴AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
∵DH2+AH2＝AD2，
∴．
解得：x＝±1（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），
∴x＝1．
∴AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的邊長是4，
故選：B．
25． (2023?金華）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，A′E與BC相交于點(diǎn)G，B′A′的延長線過點(diǎn)C．若，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
【分析】連接FG，CA′，過點(diǎn)G作GT⊥AD于點(diǎn)T．設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)．設(shè)BF＝2k，CG＝3k．則AE＝DE＝y(tǒng)，由翻折的性質(zhì)可知EA＝EA′＝y(tǒng)，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，因?yàn)镃，A′，B′共線，GA′∥FB′，推出＝，推出＝，可得y2﹣12ky+32k2＝0，推出y＝8k或y＝4k（舍去），推出AE＝DE＝4k，再利用勾股定理求出GT，可得結(jié)論．
【解答】解：連接FG，CA′，過點(diǎn)G作GT⊥AD于點(diǎn)T．設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)．
∵＝，
∴可以假設(shè)BF＝2k，CG＝3k．
∵AE＝DE＝y(tǒng)，
由翻折的性質(zhì)可知EA＝EA′＝y(tǒng)，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，
∵AD∥CB，
∴∠AEF＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG＝y(tǒng)﹣5k，
∴GA′＝y(tǒng)﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，
∵C，A′，B′共線，GA′∥FB′，
∴＝，
∴＝，
∴y2﹣12ky+32k2＝0，
∴y＝8k或y＝4k（舍去），
∴AE＝DE＝4k，
∵四邊形CDTG是矩形，
∴CG＝DT＝3k，
∴ET＝k，
∵EG＝8k﹣5k＝3k，
∴AB＝CD＝GT＝＝2k，
∴＝＝2．
解法二：不妨設(shè)BF＝2，CG＝3，連接CE，則Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4 則A'B'＝2，
故選：A．
26． (2023?遂寧）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B，連接EC、GA，交于點(diǎn)O，GA與BC交于點(diǎn)P，連接OD、OB，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
【分析】由四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，可得△ABG≌△CBE（SAS），即得∠BAG＝∠BCE，即可證明∠POC＝90°，可判斷①正確；取AC的中點(diǎn)K，可得AK＝CK＝OK＝BK，即可得∠BOA＝∠BCA，從而△OBP∽△CAP，判斷②正確，由∠AOC＝∠ADC＝90°，可得A、O、C、D四點(diǎn)共圓，而AD＝CD，故∠AOD＝∠DOC＝45°，判斷④正確，不能證明OB平分∠CBG，即可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正確；
取AC的中點(diǎn)K，如圖：
在Rt△AOC中，K為斜邊AC上的中點(diǎn)，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K為斜邊AC上的中點(diǎn)，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正確，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四點(diǎn)共圓，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正確，
由已知不能證明OB平分∠CBG，故③錯(cuò)誤，
故正確的有：①②④，
故選：D．
27． (2023?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則的值是 ．
【分析】首先由勾股定理求出AB的長，由面積法得點(diǎn)C到DF的距離為，點(diǎn)E到AB的距離為，從而得出CD＝2，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得AD＝DE＝1，從而解決問題．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝5，
∵△ABE的面積是2，
∴點(diǎn)E到AB的距離為，
在Rt△ABC中，點(diǎn)C到AB的距離為，
∴點(diǎn)C到DF的距離為，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CAB，
∴＝，
∴CD＝2，DF＝，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DA＝DE＝1，
∴EF＝DF﹣DE＝﹣1＝，
∴＝，
故答案為：．
28． (2023?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，且AE＝2DE，BD與CE相交于點(diǎn)F，若△DEF的面積是3，則△BCF的面積是 ．
【分析】根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，很容易證明△DEF∽△BCF，相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方，即可求出△BCF的面積．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵∠EFD＝∠CFB，
∴△DEF∽△BCF，
∵AE＝2DE，AD＝BC，
∴DE：BC＝1：3，
∴S△DEF：S△BCF＝DE2：BC2，即3：S△BCF＝1：9，
∴S△BCF＝27．
故答案為：27．
29． (2023?婁底）如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點(diǎn)D為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），將AD繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)點(diǎn)D落在D′處，連接BD′．給出下列結(jié)論：
①△ACD≌△ABD′；
②△ACB∽△ADD′；
③當(dāng)BD＝CD時(shí)，△ADD′的面積取得最小值．
其中正確的結(jié)論有 （填結(jié)論對應(yīng)的應(yīng)號）．
【分析】由題意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，即可根據(jù)SAS判斷△ACD≌△ABD′；根據(jù)∠BAC＝∠D′AD＝θ，＝，即可判斷△ACB∽△ADD′；由△ACB∽△ADD′，得出＝（）2，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，當(dāng)BD＝CD，則AD⊥BC時(shí)，AD最小，△ADD′的面積取得最小值．
【解答】解：由題意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，
∴△ACD≌△ABD′，故①正確；
∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，
∴＝，
∴△ACB∽△ADD′，故②正確；
∵△ACB∽△ADD′，
∴＝（）2，
∵當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，△ADD′的面積取得最小值．
而AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴當(dāng)BD＝CD時(shí)，△ADD′的面積取得最小值，故③正確；
故答案為：①②③．
30． (2023?東營）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠BAC＝∠MAN＝60°，連接MN、OM．以下四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
①△AMN是等邊三角形；
②MN的最小值是；
③當(dāng)MN最小時(shí)S△CMN＝S菱形ABCD；
④當(dāng)OM⊥BC時(shí)，OA2＝DN?AB．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】由四邊形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，則△ABC和△ADC都是等邊三角形，再證明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，則△AMN是等邊三角形，可判斷①正確；
當(dāng)AM⊥BC 時(shí)，AM的值最小，此時(shí)MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM＝，可判斷②正確；
當(dāng)MN的值最小，則BM＝CM，可證明DN＝CN，根據(jù)三角形的中位線定理得MN∥BD，則△CMN∽△CBD，可求得S△CMN＝S△CBD＝S菱形ABCD，可判斷③正確；
由CB＝CD，BM＝CN得CM＝DN，再證明△OCM∽△BCO，得＝，所以O(shè)C2＝CM?CB，即OA2＝DN?AB，可判斷④正確．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∵AM＝AN，
∴△AMN是等邊三角形，
故①正確；
當(dāng)AM⊥BC 時(shí)，AM的值最小，此時(shí)MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB?sin60°＝2×＝，
∴MN的最小值是，
故②正確；
∵AM⊥BC 時(shí)，MN的值最小，此時(shí)BM＝CM，
∴CN＝BM＝CB＝CD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴＝＝＝，
∴S△CMN＝S△CBD，
∵S△CBD＝S菱形ABCD，
∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，
故③正確；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴＝，
∴OC2＝CM?CB，
∴OA2＝DN?AB，
故④正確，
故選：D．
31． (2023?黑龍江）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，OE⊥OF交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，則tan∠CAE＝；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理對每個(gè)選項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：①∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的結(jié)論正確；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴點(diǎn)A，B，P，O四點(diǎn)共圓，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的結(jié)論正確；
③過點(diǎn)O作OH⊥OP，交AP于點(diǎn)H，如圖，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的結(jié)論正確；
④∵BE：CE＝2：3，
∴設(shè)BE＝2x，則CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，如圖，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝＝．
∴④的結(jié)論不正確；
⑤∵四邊形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴．
∴．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴．
即四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．
∴⑤的結(jié)論正確．
綜上，①②③⑤的結(jié)論正確．
故選：B．
32． (2023?綏化）如圖，在矩形ABCD中，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，過點(diǎn)B作射線，交線段CP的延長線于點(diǎn)E，交邊AD于點(diǎn)M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y(tǒng)，其中2＜x≤5．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）y與x的關(guān)系式為y＝x﹣；
（2）當(dāng)AP＝4時(shí)，△ABP∽△DPC；
（3）當(dāng)AP＝4時(shí)，tan∠EBP＝．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】利用矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，平行線分線段成比例定理對每個(gè)選項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)行判斷即可：（1）過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，利用矩形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用相似三角形的判定定理解答即可；（3）利用（1），（2）的結(jié)論利用勾股定理和平行線分線段成比例定理求得PB，PE，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，PF⊥BC，
∴四邊形ABFP是矩形，
∴PF＝AB＝2，BF＝AP＝x，
∴AM＝AP﹣PM＝x﹣y．
∵∠ABE＝∠CBP，∠A＝∠PFB＝90°，
∴△ABM∽△FBP，
∴，
∴．
∴x2﹣xy＝4．
∴y＝x﹣．
∴（1）的結(jié)論正確；
（2）當(dāng)AP＝4時(shí)，DP＝AD﹣AP＝5﹣4＝1，
∵，＝，
∴．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABP∽△DPC．
∴（2）的結(jié)論正確；
（3）由（2）知：當(dāng)AP＝4時(shí)，△ABP∽△DPC，
∴∠ABP＝∠DPC．
∵∠BPA+∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°．
∴∠CPB＝90°．
∴∠BPE＝90°．
∴tan∠EBP＝．
由（1）知：PM＝AP﹣＝3，
BP＝＝2，CP＝＝．
∵AD∥BC，
∴．
∴，
解得：PE＝，
∴tan∠EBP＝＝＝，
∴（3）的結(jié)論錯(cuò)誤，
綜上，正確的結(jié)論為：（1）（2），
故選：C．
33． (2023?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分析判斷①；通過點(diǎn)G為AD中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，設(shè)AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB與AD的數(shù)量關(guān)系，從而判斷②；利用相似三角形的判定和性質(zhì)分析判讀GE和DF、OC和OF的數(shù)量關(guān)系，從而判斷③和④；根據(jù)相似三角形的判定分析判斷⑤．
【解答】解：由折疊性質(zhì)可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正確；
設(shè)AD＝2a，AB＝2b，則DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝a，
∴AB＝AD，故②錯(cuò)誤；
在Rt△COF中，設(shè)OF＝DF＝x，則CF＝2b﹣x＝2a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正確；
無法證明∠FCO＝∠GCE，
∴無法判斷△COF∽△CEG，故⑤錯(cuò)誤；
綜上，正確的是①③④，
故選：B．
(2023?鞍山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，CE，BD交于點(diǎn)H，DF⊥CE于點(diǎn)F，F(xiàn)M平分∠DFE，分別交AD，BD于點(diǎn)M，G，延長MF交BC于點(diǎn)N，連接BF．下列結(jié)論：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正確的是
.（填序號即可）．
【分析】①正確，證明∠CDF＝∠ECB，可得結(jié)論；
②錯(cuò)誤，S△EBH：S△DHF＝5：8；
③正確，過點(diǎn)G作GQ⊥DF于點(diǎn)Q，GP⊥EF于點(diǎn)P．設(shè)正方形ABCD的邊長為2a．用a表示出GM，GF，F(xiàn)N可得結(jié)論．
④正確，證明＝＝，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)G作GQ⊥DF于點(diǎn)Q，GP⊥EF于點(diǎn)P．設(shè)正方形ABCD的邊長為2a．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴tan∠ECB＝＝，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB+∠DCF＝90°，
∵∠DCF+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴tan∠CDF＝，故①正確，
∵BE∥CD，
∴＝＝＝，
∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，
∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，
在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，
∴CF＝a，DF＝a，
∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，
∴S△DFH＝?FH?DF＝×a×a＝a2，
∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，
∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②錯(cuò)誤．
∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，
∴GQ＝GP，
∵＝＝，
∴＝，
∴DG＝DH＝a，
∴BG＝DG，
∵DM∥BN，
∴＝＝1，
∴GM＝GN，
∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，
∴×a×a＝××GP+×a×GQ，
∴GP＝GQ＝a，
∴FG＝a，
過點(diǎn)N作NJ⊥CE于點(diǎn)J，設(shè)FJ＝NJ＝m，則CJ＝2m，
∴3m＝a，
∴m＝a，
∴FN＝m＝a，
∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，
∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正確，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△BEF∽△HCD，故④正確．
故答案為：①③④．
35． (2023?德州）如圖，把一根長為4.5m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長1m處離地面的高度為0.6m，則石壩的高度為（ ）
A．2.7mB．3.6mC．2.8mD．2.1m
【分析】根據(jù)DC∥BF，可得＝，進(jìn)而得出BF即可．
【解答】解：過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，
∵DC⊥AD，BF⊥AD，
∴DC∥BF，
∴△ACD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
解得：BF＝2.7．
故選：A．
36． (2023?十堰）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為（ ）
A．0.3cmB．0.5cmC．0.7cmD．1cm
【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝3cm，
∴AB＝9cm，
∵某零件的外徑為10cm，
∴零件的厚度x為：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），
故選：B．
37． (2023?杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝ m．
【分析】根據(jù)平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，證明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴，即，
解得AB＝9.88，
∴旗桿的高度為9.88m．
故答案為：9.88．
38． (2023?溫州）如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA，OB，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段CD，測得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于 米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于 米．
【分析】解法一：作平行線OP，根據(jù)平行線分線段成比例定理可知PC＝PD，由EF與影子FG的比為2：3，可得OM的長，同法由等角的正弦可得OB的長，從而得結(jié)論；
解法二：作輔助線，構(gòu)建直角△CND，證明△HMC∽△EFG，根據(jù)垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，列比例式可得HM的長，由三角函數(shù)的定義可得CN的長，從而得OA＝OB＝，由此可解答．
【解答】解：解法一：如圖，過點(diǎn)O作OP∥BD，交MG于P，過P作PN⊥BD于N，則OB＝PN，
∵AC∥BD，
∴AC∥OP∥BD，
∴＝，∠EGF＝∠OPM，
∵OA＝OB，
∴CP＝PD＝CD＝6.5，
∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，
tan∠EGF＝tan∠OPM，
∴＝＝，
∴OM＝×15＝10；
∵DB∥EG，
∴∠EGF＝∠NDP，
∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，
∴OB＝PN＝，
以點(diǎn)O為圓心，OA的長為半徑作圓，當(dāng)OB與OM共線時(shí)，葉片外端離地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
解法二：如圖，設(shè)AC與OM交于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴＝＝，即＝，
∴HM＝，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴＝＝，
設(shè)CN＝2x，DN＝3x，則CD＝x，
∴x＝13，
∴x＝，
∴AB＝CN＝2，
∴OA＝OB＝AB＝，
在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，
∴sin∠AHO＝＝，
∴＝，
∴OH＝，
∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），
以點(diǎn)O為圓心，OA的長為半徑作圓，當(dāng)OB與OM共線時(shí)，葉片外端離地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
故答案為：10，（10+）．
考點(diǎn)四：位似
知識回顧
位似的概念：
如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。
位似與平面直角坐標(biāo)系：
在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或﹣。
微專題
39． (2023?百色）已知△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A'B'C'的面積比是（ ）
A．1：3B．1：6C．1：9D．3：1
【分析】利用為位似的性質(zhì)得到△ABC與△A'B'C'相似比是1：3，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似比是1：3，
∴△ABC與△A'B'C'相似比是1：3，
∴△ABC與△A'B'C'的面積比是1：9．
故選：C．
40． (2023?梧州）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知＝，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A′B′C′D′的面積是（ ）
A．4B．6C．16D．18
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出面積比進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，＝，
∴＝＝，
則四邊形A′B′C′D′面積為：18．
故選：D．
41． (2023?威海）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為（ ）
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
【分析】根據(jù)余弦的定義得到OB＝OA，進(jìn)而得到OG＝（）6OA，根據(jù)位似圖形的概念得到△GOH與△AOB位似，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，
∵cs∠AOB＝，
∴OB＝OA，
同理，OC＝OB，
∴OC＝（）2OA，
……
OG＝（）6OA，
由位似圖形的概念可知，△GOH與△AOB位似，且位似比為（）6，
∵S△AOB＝1，
∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，
故選：C．
42． (2023?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
【分析】根據(jù)兩三角形位似，周長比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1：2，
∴△ABC與△DEF的周長之比是1：2，
故選：A．
43． (2023?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（ ）
A．4B．6C．9D．16
【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，相似三角形的周長比等于相似比，可以求得△DEF的周長．
【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，相似比為2：3．
∴C△ABC：C△DEF＝2：3，
∵△ABC的周長為4，
∴△DEF的周長是6，
故選：B．
44． (2023?黔西南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0），則△OAB與△OCD周長的比值是 ．
【分析】利用關(guān)于原點(diǎn)為位似中心的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律得到相似比為2：1，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題．
【解答】解：∵△OAB與△OCD位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，
而點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（2，0），
∴相似比為4：2＝2：1，
∴△OAB與△OCD周長的比值為2．
故答案為：2．
45． (2023?濰坊）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，則四邊形A'B'C'D'的外接圓的周長為 ．
【分析】如圖，連接B′D′．利用相似多邊形的性質(zhì)求出正方形A′B′C′D′的面積，求出邊長，再求出B′D′可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接B′D′．設(shè)B′D′的中點(diǎn)為O．
∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比為1：2，
又∵正方形ABCD的面積為4，
∴正方形A′B′C′D′的面積為16，
∴A′B′＝A′D′＝4，
∵∠B′A′D′＝90°，
∴B′D′＝A′B′＝4，
∴正方形A′B′C′D′的外接圓的周長＝4π，
故答案為：4π．
46． (2023?成都）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長比是 ．
【分析】先根據(jù)位似的性質(zhì)得到△ABC和△DEF的位似比為OA：OD，再利用比例性質(zhì)得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．
∴△ABC和△DEF的位似比為OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC與△DEF的周長比是2：5．
故答案為：2：5．

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