2024年中考數(shù)學必考考點總結(jié)題型專訓專題19三角形與全等三角形篇（原卷版+解析）

這是一份2024年中考數(shù)學必考考點總結(jié)題型專訓專題19三角形與全等三角形篇（原卷版+解析），共31頁。

三角形的定義：
三條線段首尾順次連接組成的圖形。
三角形的分類：
①按角分類：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。
②按邊分類：不等邊三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等時叫做等邊三角形。
三角形的中線、高線、角平分線：
①中線：連接頂點與對邊中點得到的線段。平分三角形的面積。
②高線：過定點做對邊的垂線，頂點與垂足之間的線段。得到兩個直角三角形。
③角平分線：作三角形角的平分線與對邊相交，頂點與交點間的線段。
三角形的三邊關(guān)系：
三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
三角形的三邊一旦確定，這三角形就固定了，這是三角形具有穩(wěn)定性。
微專題
1． (2023?大慶）下列說法不正確的是（ ）
A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形
B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有兩個角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形
2． (2023?玉林）請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cmB．0.7cmC．1.5cmD．2cm
3． (2023?杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（ ）
A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線
B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線
D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線
4． (2023?廣東）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（ ）
A．三角形B．平行四邊形C．長方形D．正方形
5． (2023?永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是 ．
7． (2023?淮安）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
8． (2023?衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長度可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9． (2023?南通）用一根小木棒與兩根長分別為3cm，6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
10． (2023?益陽）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11． (2023?西寧）若長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
12． (2023?西藏）如圖，數(shù)軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（ ）
A．﹣5B．4C．7D．8
13． (2023?邵陽）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
14． (2023?金華）已知三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則第三邊的長可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．13cm
15． (2023?德陽）八一中學九年級2班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離分別是5km和3km．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（ ）
A．1kmB．2kmC．3kmD．8km
考點二：三角形之與三角形有關(guān)的角
知識回顧
三角形的內(nèi)角和定理：
三角形的三個內(nèi)角之和等于180°。
三角形的外角定理：
三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。大于它不相鄰的任意一個內(nèi)角。
微專題
16． (2023?東營）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為 ．
(2023?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 度．
考點三：全等三角形之性質(zhì)與判定
知識回顧
全等三角形的概念：
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。其中重合的點叫做對應(yīng)點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。用“≌”符號表示。
注意：在書寫全等三角形時，對應(yīng)點寫在對應(yīng)的位置。
全等三角形的性質(zhì)：
若兩個三角形全等，則他們的對應(yīng)邊相等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊上的中線相等，高線相等，角平分線也相等；且這兩個三角形的周長和面積均相等。
全等三角形的判定：
①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應(yīng)性相等的兩個三角形全等。
②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。
微專題
18． (2023?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點，D、E、F與O點都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個，就能使△DOE≌△FOE．你認為要添加的那個條件是（ ）
第18題 第19題
A．OD＝OEB．OE＝OFC．∠ODE＝∠OEDD．∠ODE＝∠OFE
19． (2023?金華）如圖，AC與BD相交于點O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
20． (2023?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
第20題 第21題 第22題
A．BC＝DEB．AE＝DBC．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
(2023?寧夏）如圖，AC，BD相交于點O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一個條件是
.（只寫一個）
22． (2023?南通）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個條件，則這個條件可以是 ．
23． (2023?牡丹江）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請?zhí)砑右粋€條件 ，使△ABC≌△DEC．
第23題 第24題
24． (2023?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
25． (2023?梧州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
第25題 第26題
A．∠ADC＝90°B．DE＝DFC．AD＝BCD．BD＝CD
26． (2023?株洲）如圖所示，點O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM＝ON，則∠ABO＝ 度．
27． (2023?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D為AB邊上一點，且BD＝BC，連接CD，以點D為圓心，DC的長為半徑作弧，交BC于點E（異于點C），連接DE，則BE的長為 ．
考點四：角的平分線與線段的垂直平分線：
知識回顧
角平分線的定義：
角的內(nèi)部把角平均分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線。
角平分線的性質(zhì)：
①平分角。
②角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。
角平分線的判定：
角的內(nèi)部到角兩邊相等的點一定在角平分線上。
角平分線的尺規(guī)作圖：
具體步驟：
①以角的頂點O為圓心，一定長度為半徑畫圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點M、N。如圖①。
②分別以點M與點N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點P。如圖②。
③連接OP，OP即為角的平分線。
線段的垂直平分線的定義：
過線段的中點且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。
垂直平分線的性質(zhì)：
①垂直且平分線段。
②垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。
垂直平分線的判定：
到線段兩端點距離相等的點一定在線段的垂直平分線上。
垂直平分線的吃規(guī)作圖：
具體步驟：
①以線段兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①
②連接MN，過MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②
微專題
28． (2023?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（ ）
第28題 第29題
A．2B．2C．4D．4+2
29． (2023?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝ ．
30． (2023?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
第30題 第31題
31． (2023?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（ ）
A．25B．22C．19D．18
32． (2023?湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論：
①四邊形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC?EF＝CF?CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
33． (2023?鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是 ．
第33題 第34題
34． (2023?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是 ．
專題19 三角形與全等三角形
考點一：三角形之與三角形有關(guān)的線段
知識回顧
三角形的定義：
三條線段首尾順次連接組成的圖形。
三角形的分類：
①按角分類：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。
②按邊分類：不等邊三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等時叫做等邊三角形。
三角形的中線、高線、角平分線：
①中線：連接頂點與對邊中點得到的線段。平分三角形的面積。
②高線：過定點做對邊的垂線，頂點與垂足之間的線段。得到兩個直角三角形。
③角平分線：作三角形角的平分線與對邊相交，頂點與交點間的線段。
三角形的三邊關(guān)系：
三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
三角形的三邊一旦確定，這三角形就固定了，這是三角形具有穩(wěn)定性。
微專題
1． (2023?大慶）下列說法不正確的是（ ）
A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形
B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有兩個角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形
【分析】根據(jù)直角三角形概念可判斷A，C，由等腰三角形，等邊三角形定義可判斷B，D．
【解答】解：∵有兩個角是銳角的三角形，第三個角可能是銳角，直角或鈍角，
∴有兩個角是銳角的三角形可能是銳角三角形，直角三角形或鈍角三角形；故A不正確，符合題意；
有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正確，不符合題意；
有兩個角互余的三角形是直角三角形，故C正確，不符合題意；
底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，故D正確，不符合題意；
故選：A．
2． (2023?玉林）請你量一量如圖△ABC中BC邊上的高的長度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cmB．0.7cmC．1.5cmD．2cm
【分析】過點A作AD⊥BC于D，用刻度尺測量AD即可．
【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，
用刻度尺測量AD的長度，更接近2cm，
故選：D．
3． (2023?杭州）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（ ）
A．線段CD是△ABC的AC邊上的高線
B．線段CD是△ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是△ABC的BC邊上的高線
D．線段AD是△ABC的AC邊上的高線
【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
【解答】解：A、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；
B、線段CD是△ABC的AB邊上的高線，本選項說法正確，符合題意；
C、線段AD不是△ABC的BC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；
D、線段AD不是△ABC的AC邊上高線，故本選項說法錯誤，不符合題意；
故選：B．
4． (2023?廣東）下列圖形中有穩(wěn)定性的是（ ）
A．三角形B．平行四邊形C．長方形D．正方形
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，
故選：A．
5． (2023?永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，
故選：D．
6． (2023?常州）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是 ．
【分析】由題意可得CE是△ACD的中線，則有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC的中線，則有S△ABD＝S△ACD，即得解．
【解答】解：∵E是AD的中點，
∴CE是△ACD的中線，
∴S△ACD＝2S△AEC，
∵△AEC的面積是1，
∴S△ACD＝2S△AEC＝2，
∵AD是△ABC的中線，
∴S△ABD＝S△ACD＝2．
故答案為：2．
7． (2023?淮安）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；
B、∵3+5＜10，
∴長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；
C、∵4+6＞9，
∴長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；
D、∵4+5＝9，
∴長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；
故選：C．
8． (2023?衢州）線段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長度可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊直接列式計算即可．
【解答】解：∵線段a＝1，b＝3，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．
觀察選項，只有選項A符合題意，
故選：A．
9． (2023?南通）用一根小木棒與兩根長分別為3cm，6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；即可求第三根木條的取值范圍．
【解答】解：設(shè)第三根木棒長為xcm，由三角形三邊關(guān)系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范圍是3＜x＜9，觀察選項，只有選項D符合題意．
故選：D．
10． (2023?益陽）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】本題實際上是長為6的線段圍成一個等腰三角形．求腰長的取值范圍．
【解答】解：長為6的線段圍成等腰三角形的腰長為a．則底邊長為6﹣2a．
由題意得，．
解得＜a＜3．
所給選項中分別為：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式組的解集．
∴a只能取2．
故選：B．
11． (2023?西寧）若長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐個判斷即可．
【解答】解：∵長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，
∴6﹣4＜a＜6+4，
∴2＜a＜10，
∴只有選項B符合題意，選項A、選項C、選項D都不符合題意；
故選：B．
12． (2023?西藏）如圖，數(shù)軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（ ）
A．﹣5B．4C．7D．8
【分析】由實數(shù)與數(shù)軸與絕對值知識可知該三角形的兩邊長分別為3、4．然后由三角形三邊關(guān)系解答．
【解答】解：由題意知，該三角形的兩邊長分別為3、4．
不妨設(shè)第三邊長為a，則4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．
觀察選項，只有選項B符合題意．
故選：B．
13． (2023?邵陽）下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：
A、1+2＝3，不能構(gòu)成三角形；
B、3+4＞5，能構(gòu)成三角形；
C、4+5＜10，不能構(gòu)成三角形；
D、2+6＜9，不能構(gòu)成三角形．
故選：B．
14． (2023?金華）已知三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，則第三邊的長可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．13cm
【分析】由三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，可得第三邊x的長度范圍即可得出答案．
【解答】解：∵三角形的兩邊長分別為5cm和8cm，
∴第三邊x的長度范圍為：3cm＜x＜13cm，
∴第三邊的長度可能是：6cm．
故選：C．
15． (2023?德陽）八一中學九年級2班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離分別是5km和3km．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（ ）
A．1kmB．2kmC．3kmD．8km
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到李銳兩家的線段的取值范圍，即可得到選項．
【解答】解：當楊沖，李銳兩家在一條直線上時，楊沖，李銳兩家的直線距離為2km或8km，
當楊沖，李銳兩家不在一條直線上時，
設(shè)楊沖，李銳兩家的直線距離為xkm，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
楊沖，李銳兩家的直線距離可能為2km，8km，3km，
故選：A．
考點二：三角形之與三角形有關(guān)的角
知識回顧
三角形的內(nèi)角和定理：
三角形的三個內(nèi)角之和等于180°。
三角形的外角定理：
三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。大于它不相鄰的任意一個內(nèi)角。
微專題
16． (2023?東營）如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為 ．
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCA＝∠BOC＝40°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算∠AOC的度數(shù)．
【解答】解：∵AC∥半徑OB，
∴∠OCA＝∠BOC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故答案為：100°．
17． (2023?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 度．
【分析】分兩種情況：△ABC為銳角三角形或鈍角三角形，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可作答．
【解答】解：當△ABC為銳角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
當△ABC為鈍角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
綜上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案為：80或40．
考點三：全等三角形之性質(zhì)與判定
知識回顧
全等三角形的概念：
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。其中重合的點叫做對應(yīng)點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。用“≌”符號表示。
注意：在書寫全等三角形時，對應(yīng)點寫在對應(yīng)的位置。
全等三角形的性質(zhì)：
若兩個三角形全等，則他們的對應(yīng)邊相等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊上的中線相等，高線相等，角平分線也相等；且這兩個三角形的周長和面積均相等。
全等三角形的判定：
①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應(yīng)性相等的兩個三角形全等。
②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。
微專題
18． (2023?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點，D、E、F與O點都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個，就能使△DOE≌△FOE．你認為要添加的那個條件是（ ）
A．OD＝OEB．OE＝OFC．∠ODE＝∠OEDD．∠ODE＝∠OFE
【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根據(jù)AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，則根據(jù)AAS可得△DOE≌△FOE，故選項D符合題意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故選項A不符合題意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故選項B不符合題意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故選項C不符合題意，
故選：D．
19． (2023?金華）如圖，AC與BD相交于點O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依據(jù)．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故選：B．
20． (2023?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DEB．AE＝DBC．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，則可根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴當添加∠C＝∠F時，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF；
當添加∠ABC＝∠DEF時，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；
當添加AB＝DE時，即AE＝BD，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故選：B．
(2023?寧夏）如圖，AC，BD相交于點O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一個條件是
.（只寫一個）
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴要使△AOB≌△COD，添加一個條件是OA＝OC，
故答案為：OA＝OC（答案不唯一）．
22． (2023?南通）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個條件，則這個條件可以是 ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案為：AB＝DE（答案不唯一）．
23． (2023?牡丹江）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請?zhí)砑右粋€條件 ，使△ABC≌△DEC．
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案為：CB＝CE（答案不唯一）．
24． (2023?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進而可確定當MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中點，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴當GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四邊形ACGH為矩形，
∴GH＝8，
∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，
故選：B．
25． (2023?梧州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．∠ADC＝90°B．DE＝DFC．AD＝BCD．BD＝CD
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可證△BDE≌△CDF，可得DE＝DF．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，
∴∠ADC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
故選：C．
26． (2023?株洲）如圖所示，點O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM＝ON，則∠ABO＝ 度．
【分析】方法一：根據(jù)OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，從而可證Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度數(shù)．
方法二：根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．
【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，
在Rt△OMB和Rt△ONB中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
又∵OM＝ON，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
故答案為：15．
27． (2023?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D為AB邊上一點，且BD＝BC，連接CD，以點D為圓心，DC的長為半徑作弧，交BC于點E（異于點C），連接DE，則BE的長為 ．
【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°，
∵BD＝BC＝3，AC＝BC，
∴BD＝AC，AD＝3﹣3．
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵BD＝BC，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴∠CED＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，
∴∠CDE＝∠B＝45°．
∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．
∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，
∴∠ACD＝∠EDB．
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（SAS）．
∴BE＝AD＝3﹣3．
故答案為：3﹣3．
考點四：角的平分線與線段的垂直平分線：
知識回顧
角平分線的定義：
角的內(nèi)部把角平均分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線。
角平分線的性質(zhì)：
①平分角。
②角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。
角平分線的判定：
角的內(nèi)部到角兩邊相等的點一定在角平分線上。
角平分線的尺規(guī)作圖：
具體步驟：
①以角的頂點O為圓心，一定長度為半徑畫圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點M、N。如圖①。
②分別以點M與點N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點P。如圖②。
③連接OP，OP即為角的平分線。
線段的垂直平分線的定義：
過線段的中點且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。
垂直平分線的性質(zhì)：
①垂直且平分線段。
②垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。
垂直平分線的判定：
到線段兩端點距離相等的點一定在線段的垂直平分線上。
垂直平分線的吃規(guī)作圖：
具體步驟：
①以線段兩個端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①
②連接MN，過MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②
微專題
28． (2023?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
【分析】過點E作EH⊥OA于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．
【解答】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故選：C．
29． (2023?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝ ．
【分析】過D點作DH⊥AC于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DH＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計算．
【解答】解：過D點作DH⊥AC于H，如圖，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1．
故答案為：1．
30． (2023?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
【分析】過點D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，然后根據(jù)△ABC的面積列式計算即可得解．
【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC?CD+AB?DE＝AC?BC，
即×6?CD+×10?CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案為：3．
31． (2023?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（ ）
A．25B．22C．19D．18
【分析】根據(jù)題意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，從而可以求得△ABD的周長．
【解答】解：由題意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周長是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周長是19，
故選：C．
32． (2023?湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論：
①四邊形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC?EF＝CF?CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根據(jù)題意分別證明各個結(jié)論來判斷即可．
【解答】解：根據(jù)題意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四邊形AECF是菱形，
故①結(jié)論正確；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②結(jié)論正確；
∵S四邊形AECF＝CF?CD＝AC?OE×2＝AC?EF，
故③結(jié)論不正確；
若AF平分∠BAC，則∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④結(jié)論正確；
故選：B．
33． (2023?鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是 ．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，進一步即可求出△ADC的周長．
【解答】解：∵邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，
∴BD＝CD，
∵AB＝3.7，AC＝2.3，
∴△ADC的周長為AD+CD+AC＝AB+AC＝6，
故答案為：6．
34． (2023?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是 ．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝EC，從而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，進行計算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分線，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案為：40°．