1．下列函數(shù)中，y是關于x的二次函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
2．將拋物線向左平移4個單位長度，所得到拋物線的表達式是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在中，已知，，，那么的長為（ ）
A．B．C．4D．5
4．如圖，一條細繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動．已知細繩從懸掛點O到球心的長度為50厘米，小球在左、右兩個最高位置時，細繩相應所成的角∠AOB為40°，那么小球在最高位置和最低位置時的高度差為（ ）
A．厘米B．厘米
C．厘米D．厘米
5．如圖，點G是的重心，交于點E．如果，那么的長為（ ）
A．3B．4C．6D．8
6．如圖，四邊形的頂點在方格紙的格點上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
7．已知線段厘米，厘米，如果線段是線段和的比例中項，那么 厘米．
8．計算： ．
9．二次函數(shù)的圖像與軸的交點坐標是
10．已知拋物線的開口向上，那么的取值范圍是 ．
11．如果點和點是拋物線（是常數(shù)）上的兩點，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．在中，，，垂足為點，如果，，那么 ．
13．小華沿著坡度的斜坡向上行走了米，那么他距離地面的垂直高度上升了 米．
14．寫出一個經(jīng)過坐標原點，且在對稱軸左側(cè)部分是下降的拋物線的表達式，這個拋物線的表達式可以是 ．
15．如圖，在中，點是重心，過點作，交邊于點，連接，如果，那么 ．
16．有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，水面寬米，拱橋的最高點到水面的距離是米，如圖建立直角坐標平面，如果水面上升了米，那么此時水面的寬度是 米．（結(jié)果保留根號）
17．如圖，已知與相似，，，，，連接，交邊于點，那么線段的長是 ．
18．如圖，已知在菱形中，，將菱形繞點旋轉(zhuǎn)，點、、分別旋轉(zhuǎn)至點、、，如果點恰好落在邊上，設交邊于點，那么的值是 ．
三、解答題
19．計算：．
20．如圖，已知梯形中，，、分別是、的中點，與交于點，為上一點，．
(1)求的值；
(2)設，，如果，那么________，________．(用向量、表示)
21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點．
(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；
(2)點B在這個反比例函數(shù)位于第一象限的圖像上，過點B作軸，垂足為點H．如果，求點B的坐標．
22．如圖，小河的對岸有一座小山，小明和同學們想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻礙，無法直接從山腳B處測得山頂A的仰角，于是小明和同學們展開了如下的測量：

第一步：從小河邊的C處測得山頂A的仰角為；
第二步：從C處后退30米，在D處測得山頂A的仰角為；
第三步：測得小河寬BC為33米．
已知點B、C、D在同一水平線上，請根據(jù)小明測量的數(shù)據(jù)求山坡AB的坡度．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
23．已知：如圖，在中，點D在邊上，，，與交于點F．
(1)求證：；
(2)連接，如果，求證∶．
24．綜合實踐
(1)填空：在上圖中位似中心是點________；________多邊形是特殊的________多邊形．（填“位似”或“相似”）
(2)在平面直角坐標系中（如下圖），二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，點B是此函數(shù)圖像上一點（點A、B均不與點O重合），已知點B的橫坐標與縱坐標相等，以點O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似．

①畫出，并求經(jīng)過O、、三點的拋物線的表達式；
②直線與二次函數(shù)的圖像交于點M，與①中的拋物線交于點N，請判斷和是否為位似三角形，并根據(jù)新定義說明理由．
25．如圖，在矩形中，，，是邊延長線上一點，過點作，垂足為點，聯(lián)結(jié)，設．
(1)求證∶；
(2)∠的大小是否是一個確定的值？如果是，求出．的正切值；如果不是，那么用含字母的代數(shù)式表示的正切值；
(3)是邊上一動點(不與點、重合)，聯(lián)結(jié)、．隨著點位置的變化，在中除外的兩個內(nèi)角是否會有與相等的角，如果有，請用含字母的代數(shù)式表示此時線段的長；如果沒有，請說明理由．
參考答案：
1．C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，形如、、 為常數(shù), 的函數(shù)，叫二次函數(shù)，對照函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可．
【詳解】A．是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故選項A不符合題意；
B．不是二次函數(shù)，故選項B不符合題意；
C．是二次函數(shù)，故選項C符合題意；
D．不是二次函數(shù)，故選項D不符合題意．
故選：C．
2．A
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則解答即可．
【詳解】解：將拋物線向左平移4個單位長度，得到的拋物線是．
故選：A．
3．A
【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關鍵．先根據(jù)余弦的定義計算出，然后利用勾股定理計算出的長．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
4．D
【分析】此題考查了解直角三角形的應用，三角函數(shù)的基本概念，
當小球在最高位置時，過小球作小球位置最低時細繩的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，可根據(jù)偏轉(zhuǎn)角的度數(shù)和細繩的長度，求出小球最低位置時的鉛直高度，進而可求出小球在最高位置與最低位置時的高度差．
【詳解】解：如圖：過作于，
中，厘米，，
．
（厘米）．
故選：D．
5．B
【分析】本題考查的是重心的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵．連接并延長交于D，根據(jù)點G是的重心，得到，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接并延長交于D，
∵點G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
6．D
【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，如果兩個四邊形的四條邊對應成比例，且四個角對應相等，那么這兩個四邊形相似，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：設每個小正方形的邊長為1，
則已知四邊形的四條邊分別為1，，2，．
選項中的四邊形的四條邊分別為，2，2，，兩個四邊形的四條邊對應不成比例，不符合題意；
選項中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個四邊形的四條邊不是對應成比例，故選項中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；
選項中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個四邊形的四條邊不是對應成比例，故選項中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；
選項中的四邊形的四條邊分別為2，，4，，兩個四邊形的四條邊對應成比例．
將已知四邊形表示為四邊形，將選項中的四邊形表示為．
如圖，連接、，則，．
在與中，
，
，
，，．
在與中，
，
，
，，，
，，，，
又，
四邊形四邊形．
故選：D．
7．
【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項的定義得到，然后利用比例性質(zhì)計算即可，解題的關鍵是理解四條線段、、、，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，當時，線段是線段和的比例中項．
【詳解】∵線段是線段和的比例中項，
∴， 即，
∴，
故答案為： ．
8．
【分析】本題考查了向量計算，正確掌握運算的法則是解題的關鍵．
【詳解】
．
9．（0，-4）
【分析】將x=0代入二次函數(shù)解析式中，求出y的值，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：將x=0代入中，
解得y=-4
∴二次函數(shù)的圖像與軸的交點坐標是（0，-4）
故答案為：（0，-4）．
【點睛】本題考查了求二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標，掌握y軸上點的坐標特征是解題關鍵．
10．
【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì)；根據(jù)拋物線的開口向上，得到，計算即可．
【詳解】∵拋物線的開口向上，
∴，
解得，
故答案為：．
11．=
【分析】本題考查了拋物線的增減性，根據(jù)拋物線開口向下，得到距離對稱的距離越大，函數(shù)值越下，計算判斷即可．
【詳解】∵二次函數(shù)，
∴拋物線開口向下，且距離對稱軸越遠的點的函數(shù)值越小，對稱軸為直線，
∵，
∴，
故答案為：．
12．/
【分析】本題考查了根據(jù)余弦及同角的余角相等，由，得到，則，通過同角的余角相等得出即可求解，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【詳解】如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了坡度，根據(jù)題意畫圖，過點作于點，由坡度得到，再利用勾股定理即可求解，熟練掌握坡度及勾股定理．
【詳解】如圖，過點作于點，則由題意得米，
∵坡度 ，
∴，即，
∴設，則，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
∴米，即他距離地面的垂直高度上升了米，
故答案為：．
14．（答案不唯一）
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)題意寫出開口向上，且經(jīng)過點拋物線的表達式即可，掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】依題意得，開口向下，經(jīng)過點，
∴拋物線的表達式可以是，
故答案為：．（答案不唯一）
15．
【分析】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接，延長交于點，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解，解題的關鍵是熟練掌握基本知識的應用．
【詳解】連接，延長交于點，
∵點是重心，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案為：．
16．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，設該拋物線的解析式是，由題意結(jié)合圖象可知，點在函數(shù)圖象上，求出解析式，然后把代入即可求解，準確理解題意，并能夠用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關鍵．
【詳解】設該拋物線的解析式是，
由題意結(jié)合圖象可知，點在函數(shù)圖象上，
代入得：，解得：，
∴該拋物線的解析式是，
則水面上升了米，此時，
∴，解得：，
則此時水面的寬度是米，
故答案為：．
17．
【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)和勾股定理，過作于點，構(gòu)造相似三角形，再通過性質(zhì)即可求解，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．
【詳解】如圖，過作于點，
在中，由勾股定理得：
∵與相似，，，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．
【分析】過點A作于點M，則，設則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，則，證明三點共線，再證明，延長二線交于點，接著即可．
【詳解】過點A作于點M，菱形，
則，
設則，連接，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形，得，
，，，，
∵，
∴，
∴，，
延長交于點，
∵菱形，
∴，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵
∴重合，G，D，F(xiàn)三點共線，
延長二線交于點，
則，
∵
∴，
∴，
解得，
∵
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰三角形的三線合一行，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)，三角形相似的判定是解題的關鍵．
19．
【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可求解．
【詳解】解：
20．(1)
(2)，
【分析】本題主要考查三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平面向量；
（1）由三角形中位線定理易得為的中位線，進而可得為的中位線，于是；
（2）根據(jù)題意可得，根據(jù)三角形法則得出，證，得到，進而，以此即可得到答案．
【詳解】（1）解：，點為的中點，
為的中位線，
點為的中點，
又點為的中點，
為的中位線，
，，即
（2）解：，，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案為：，．
21．(1)
(2)
【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）將點的坐標代入一次函數(shù)求出點的坐標，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）由銳角三角函數(shù)可求，代入解析式即可求解．
【詳解】（1）解：正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，
，
，
將代入得，
反比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：過點作軸于點，
，
，
，
，
，
，
點B在這個反比例函數(shù)位于第一象限的圖像上，
，
，
點B的坐標為．
22．山坡AB的坡度
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．過點A作，交的延長線于點H，根據(jù)正切的定義用表示出，進而出去，再求出，根據(jù)坡度的概念計算，得到答案．
【詳解】解：如圖，過點A作，交的延長線于點H，

在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴（米），
∴，
∴山坡的坡度為：．
23．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．
（1）證明，即可得出；
（2）先推導出，證明，得，即可證明進而得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：，，
，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）證明：如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)P；位似；相似
(2)①圖形見解析；；②和為位似三角形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)位似圖形的定義，即可求解；
（2）①根據(jù)位似圖形的定義，畫出圖形，再求出、的坐標，即可求解；②過點M作軸于點D，過點N作軸于點C，聯(lián)立求出點M，N的坐標，可得，從而得到，進而得到，再由點的坐標為，點A的坐標為，可得，然后根據(jù)新定義，即可求解．
【詳解】（1）解：在上圖中位似中心是點P；位似多邊形是特殊的相似多邊形．
故答案為：P；位似；相似
（2）解：①如圖，即為所求；

令，則，
解得：或0，
∴點A的坐標為，
設點B的坐標為，
∴，解得：或0，
∴點B的坐標為，
∵以點O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似，
∴點的坐標為，點的坐標為，
設經(jīng)過O、、三點的拋物線的表達式為，
把點，，代入得：
，解得：，
∴經(jīng)過O、、三點的拋物線的表達式為，
②和為位似三角形，理由如下：
如圖，過點M作軸于點D，過點N作軸于點C，

聯(lián)立得： ，解得：或，
∴點M的坐標為，
∴，，，
同理點N的坐標為，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點的坐標為，點A的坐標為，
∴，
∴，
∴和為位似三角形．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應用，理解新定義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關鍵．
25．(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，由于點，得，則，而，所以；
（2）連接，由相似三角形的性質(zhì)得，變形為，因為，所以，則，所以的大小是一個確定的值，；
（3）分兩種情況討論，①，連接，作于點，因為，所以，則，再證明，則可求得，進而求得，求得，則；②，連接交于點，可證明，得，，再證明，得，則，所以點與點重合，不符合題意．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，是邊延長線上一點，
，
于點，
，
，
，
．
（2）解：的大小是一個確定的值，
如圖1，連接BD，
，
，
，
，
，
的大小是一個確定的值，
，，，
，
的大小是一個確定的值，；
（3）解：有與相等的角，
如圖2，，
連接，作于點，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如圖，，連接交于點，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
點與點重合，不符合題意，
綜上所述，有與相等的角，線段的長為．
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法是解題的關鍵．
九年級第一學期教材第2頁
結(jié)合教材圖形給出新定義
對于下圖中的三個四邊形，通?？梢哉f，縮小四邊形，得到四邊形；放大四邊形，得到四邊形．

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動．將一個圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形．圖中，四邊形和四邊形都與四邊形形狀相同．我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似形．
如圖，對于兩個多邊形，如果它們的對應頂點的連線相交于一點，并且這點與對應頂點所連線段成比例，那么這兩個多邊形就是位似多邊形，這個點就是位似中心．

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