1．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝xC．3x?2x＝6xD．3x÷2x=23
2．（4分）如果m＞n，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．m+2＞n+2B．m﹣2＞n﹣2C．2m＞2nD．﹣2m＞﹣2n
3．（4分）下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大的是（ ）
A．y=x3B．y=-x3C．y=3xD．y=-3x
4．（4分）甲、乙兩名同學(xué)本學(xué)期五次引體向上的測(cè)試成績(jī)（個(gè)數(shù)）成績(jī)?nèi)鐖D所示，下列判斷正確的是（ ）
A．甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定
B．甲的最好成績(jī)比乙高
C．甲的成績(jī)的平均數(shù)比乙大
D．甲的成績(jī)的中位數(shù)比乙大
5．（4分）下列命題中，假命題是（ ）
A．矩形的對(duì)角線相等
B．矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等
C．矩形的對(duì)角線互相平分
D．矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四條邊的距離相等
6．（4分）已知⊙A與⊙B外切，⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半徑長(zhǎng)是（ ）
A．11B．10C．9D．8
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答紙的相應(yīng)位置上】
7．（4分）計(jì)算：（2a2）2＝ ．
8．（4分）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝ ．
9．（4分）如果一個(gè)正方形的面積是3，那么它的邊長(zhǎng)是 ．
10．（4分）如果關(guān)于x的方程x2﹣x+m＝0沒有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
11．（4分）一枚材質(zhì)均勻的骰子，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別是1，2，3，4，5，6，投這個(gè)骰子，擲的點(diǎn)數(shù)大于4的概率是 ．
12．（4分）《九章算術(shù)》中有一道題的條件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，1大桶加1小桶共盛
斛米．（注：斛是古代一種容量單位）
13．（4分）在登山過程中，海拔每升高1千米，氣溫下降6℃，已知某登山大本營所在的位置的氣溫是2℃，登山隊(duì)員從大本營出發(fā)登山，當(dāng)海拔升高x千米時(shí)，所在位置的氣溫是y℃，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 ．
14．（4分）小明為了解所在小區(qū)居民各類生活垃圾的投放情況，他隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)50戶家庭某一天各類生活垃圾的投放量，統(tǒng)計(jì)得出這50戶家庭各類生活垃圾的投放總量是100千克，并畫出各類生活垃圾投放量分布情況的扇形圖（如圖所示），根據(jù)以上信息，估計(jì)該小區(qū)300戶居民這一天投放的可回收垃圾共約 千克．
15．（4分）如圖，已知直線11∥l2，含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)C在l1上，30°角的頂點(diǎn)A在l2上，如果邊AB與l1的交點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么∠1＝ 度．
16．（4分）如圖，在正邊形ABCDEF中，設(shè)BA→=a→，BC→=b→，那么向量BF→用向量a→、b→表示為 ．
17．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)．將△ABE沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，那么∠EDF的正切值是 ．
18．（4分）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長(zhǎng)是 ．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計(jì)算：|3-1|-2×6+12-3-823
20．（10分）解方程：2xx-2-8x2-2x=1
21．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知一次函數(shù)的圖象平行于直線y=12x，且經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)C在y軸上，當(dāng)AC＝BC時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
22．（10分）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求點(diǎn)D′到BC的距離；
（2）求E、E′兩點(diǎn)的距離．
23．（12分）已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，D是AO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求證：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO?AD，求證：四邊形ABDC是菱形．
24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點(diǎn)為A．
（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；
（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．
①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；
②平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．
25．（14分）如圖1，AD、BD分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC、∠ABC的平分線，過點(diǎn)A作AE⊥AD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠E═12∠C；
（2）如圖2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cs∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是銳角，且△ABC與△ADE相似，求∠ABC的度數(shù)，并直接寫出S△ADES△ABC的值．
2024年上海市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題.每題4分，滿分24【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1．【解答】解：（A）原式＝5x，故A錯(cuò)誤；
（C）原式＝6x2，故C錯(cuò)誤；
（D）原式=32，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
2．【解答】解：∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
故選：D．
3．【解答】解：A、該函數(shù)圖象是直線，位于第一、三象限，y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)正確．
B、該函數(shù)圖象是直線，位于第二、四象限，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
D、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
4．【解答】解：甲同學(xué)的成績(jī)依次為：7、8、8、8、9，
則其中位數(shù)為8，平均數(shù)為8，方差為15×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；
乙同學(xué)的成績(jī)依次為：6、7、8、9、10，
則其中位數(shù)為8，平均數(shù)為8，方差為15×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
∴甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定，甲、乙的平均成績(jī)和中位數(shù)均相等，甲的最好成績(jī)比乙低，
故選：A．
5．【解答】解：A、矩形的對(duì)角線相等，正確，是真命題；
B、矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正確，是真命題；
C、矩形的對(duì)角線互相平分，正確，是真命題；
D、矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊的距離相等，故錯(cuò)誤，是假命題，
故選：D．
6．【解答】解：如圖，設(shè)⊙A，⊙B，⊙C的半徑為x，y，z．
由題意：x+y=5z-x=6z-y=7，
解得x=3y=2z=9，
故選：C．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答紙的相應(yīng)位置上】
7．【解答】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．
8．【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．
故答案為：0．
9．【解答】解：∵正方形的面積是3，
∴它的邊長(zhǎng)是3．
故答案為：3
10．【解答】解：由題意知△＝1﹣4m＜0，
∴m＞14．
故填空答案：m＞14．
11．【解答】解：∵在這6種情況中，擲的點(diǎn)數(shù)大于4的有2種結(jié)果，
∴擲的點(diǎn)數(shù)大于4的概率為26=13，
故答案為：13．
12．【解答】解：設(shè)1個(gè)大桶可以盛米x斛，1個(gè)小桶可以盛米y斛，
則5x+y=3x+5y=2，
故5x+x+y+5y＝5，
則x+y=56．
答：1大桶加1小桶共盛56斛米．
故答案為：56．
13．【解答】解：由題意得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣6x+2．
故答案為：y＝﹣6x+2．
14．【解答】解：估計(jì)該小區(qū)300戶居民這一天投放的可回收垃圾共約30050×100×15%＝90（千克），
故答案為：90．
15．【解答】解：∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵11∥l2，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣60°＝120°．
故答案為120．
16．【解答】解：連接CF．
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
AB∥CF，CF＝2BA，
∴CF→=a→，
∵BF→=BC→+CF→，
∴BF→=2a→+b→，
故答案為2a→+b→．
17．【解答】解：如圖所示，由折疊可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB=12∠AEF，
∵正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE=12AD=12AB，
∴DE＝FE，
∴∠EDF＝∠EFD，
又∵∠AEF是△DEF的外角，
∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，
∴∠EDF=12∠AEF，
∴∠AEB＝∠EDF，
∴tan∠EDF＝tan∠AEB=ABAE=2．
故答案為：2．
18．【解答】解：如圖，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，
∴AB=32+42=5，
設(shè)AD＝x，則BD＝5﹣x，
∵△ACD≌△C1A1D1，
∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，
∴∠C1D1B1＝∠BDC，
∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，
∴∠B1C1D1＝∠B，
∴△C1B1D∽△BCD，
∴BDC1D1=BCC1B1，即5-xx=2，
解得x=53，
∴AD的長(zhǎng)為53，
故答案為53．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．【解答】解：|3-1|-2×6+12-3-823
=3-1﹣23+2+3-4
＝﹣3
20．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是增根，分式方程的解為x＝﹣4．
21．【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y＝kx+b，
∵一次函數(shù)的圖象平行于直線y=12x，
∴k=12，
∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），
∴3=12×2+b，
∴b＝2，
∴一次函數(shù)的解析式為y=12x+2；
（2）由y=12x+2，令y＝0，得12x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函數(shù)的圖形與x軸的解得為B（﹣4，0），
∵點(diǎn)C在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，y），
∵AC＝BC，
∴(2-0)2+(3-y)2=(-4-0)2+(0-y)2，
∴y=-12，
經(jīng)檢驗(yàn)：y=-12是原方程的根，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-12）．
22．【解答】解：（1）過點(diǎn)D′作D′H⊥BC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，如圖3所示．
由題意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′?sin∠DAD′＝90×sin60°＝453厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（453+70）厘米．
答：點(diǎn)D′到BC的距離為（453+70）厘米．
（2）連接AE，AE′，EE′，如圖4所示．
由題意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等邊三角形，
∴EE′＝AE．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE=AD2+DE2=3010厘米，
∴EE′＝3010厘米．
答：E、E′兩點(diǎn)的距離是3010厘米．
23．【解答】證明：（1）如圖1，連接BC，OB，OD，
∵AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分線上，
∵OB＝OA＝OD，
∴O在BC的垂直平分線上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD＝CD；
（2）如圖2，連接OB，
∵AB2＝AO?AD，
∴ABAO=ADAB，
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四邊形ABDC是菱形．
24．【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣1）；
（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（t，t），則t＝t2﹣2t，
解得：t＝0或3，
故“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（0，0）或（3，3）；
②∵新拋物線頂點(diǎn)B為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)B（m，m），
∴新拋物線的對(duì)稱軸為：x＝m，與x軸的交點(diǎn)C（m，0），
∵四邊形OABC是梯形，
∴直線x＝m在y軸左側(cè)，
∵BC與OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵點(diǎn)A（1，﹣1），點(diǎn)B（m，m），
∴m＝﹣1，
故新拋物線是由拋物線y＝x2﹣2x向左平移2個(gè)單位得到的，
∴新拋物線的表達(dá)式為：y＝（x+1）2﹣1．
25．【解答】（1）證明：如圖1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，同理∠ABD=12∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠ADE=12（∠ABC+∠BAC）＝90°-12∠C，
∴∠E＝90°﹣（90°-12∠C）=12∠C．
（2）解：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，BFAF=BDDE，
∵BD：DE＝2：3，
∴cs∠ABC=BFAB=BFAE=23．
（3）∵△ABC與△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一個(gè)內(nèi)角為90°
∵∠ABC是銳角，
∴∠ABC≠90°．
①當(dāng)∠BAC＝∠DAE＝90°時(shí)，
∵∠E=12∠C，
∴∠ABC＝∠E=12∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此時(shí)S△ADES△ABC=2-3．
②當(dāng)∠C＝∠DAE＝90°時(shí)，∠E=12∠C＝45°，
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC與△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此時(shí)S△ADES△ABC=2-2．
綜上所述，∠ABC＝30°或45°，S△ADES△ABC=2-3或2-2．

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