1. 1集合的概念與表示
在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們?cè)鲞^(guò)下面的作業(yè)：
這里有“正數(shù)集合”“負(fù)數(shù)集合”“整數(shù)集合”“分?jǐn)?shù)集合”，那么，
● 什么是集合?● 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示集合?
康托爾(G.Cantr，1845—1918)，德 國(guó) 數(shù)學(xué)家、集合論創(chuàng)始人，他在 1874 年發(fā)表了關(guān)于集合論的論文.
一定范圍內(nèi)某些 ________、_______ 對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.
常用大寫(xiě)拉丁字母表示，如集合 ______、集合______等.
集合中的 __________ 稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元.
常用小寫(xiě)的拉丁字母a，b，c，···表示.
“中國(guó)的直轄市”組成一個(gè)集合，該集合的元素就是北京、天津上海和重慶這 4 個(gè)城市. “yung 中的字母”組成一個(gè)集合，該集合的元素就是 y，，u，n，g 這5個(gè)字母. “bk 中的字母”也組成一個(gè)集合，該集合的元素就是 b，，k 這3個(gè)字母. “1~10 以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成一個(gè)集合，該集合的元素就是 2，3，5，7這4個(gè)數(shù).
(1) 集合中的“研究對(duì)象”所指的就是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、 代數(shù)式嗎?
提示：集合中的“研究對(duì)象”所指的范圍非常廣泛，可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式，也可以是現(xiàn)實(shí)生活中的各種各樣的事物或人等.
(2) 根據(jù)集合的定義思考：集合中的元素具有哪些特性?
提示：確定性、互異性和無(wú)序性.
二、常見(jiàn)的數(shù)集及表示符號(hào)
特別地，全體自然數(shù)組成的集合，叫作自然數(shù)集，記作 N；全體正整數(shù)組成的集合，叫作正整數(shù)集，記作 N*或N＋；全體整數(shù)組成的集合，叫作整數(shù)集，記作 Z；全體有理數(shù)組成的集合，叫作有理數(shù)集，記作 Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合，叫作實(shí)數(shù)集，記作 R.
N 與 N＋ (或N*) 有何區(qū)別?
提示：N＋ (或N*) 是所有正整數(shù)組成的集合，而N是由0和所有的正整數(shù)組成的集合，所以N比N＋ (或N*) 多一個(gè)元素0.
元素與集合之間有第三種關(guān)系嗎?
提示：對(duì)于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有 “a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果.
1. 辨析記憶(對(duì)的打“?”，錯(cuò)的打“?”) (1) 在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素. (　　) (2) 高中數(shù)學(xué)新教材蘇教版第一冊(cè)課本上的所有難題能組成集合. (　　)
集合中的元素是互不相同的.
“難題”沒(méi)有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合.
(3) 由方程 x2－4＝0和 x－2＝0的根組成的集合中有 3個(gè)元素.(　　)
由于集合中的元素具有互異性，故由兩方程的根組成的集合有2個(gè)元素.
2. 下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為 (　　 ). A. 1 B. 2C. 3 D. 4
3. 已知集合 A 含有三個(gè)元素0，1，x－2，則實(shí)數(shù) x 不能 取的值是________.?
【解析】根據(jù)集合中元素的互異性可知：x－2≠0 且 x－2≠1，所以實(shí)數(shù) x 不能取的值是 2，3.
1. 已知 2a∈A，a2－a∈A，若A只含這兩個(gè)元素，則下列說(shuō)法中正確的是 (　　) A. a可取全體實(shí)數(shù) B. a可取除去0以外的所有實(shí)數(shù) C. a可取除去3以外的所有實(shí)數(shù) D. a可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)
解析：因?yàn)?a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2. 若以方程 x2－5x＋6＝0和方程 x2－x－2＝0的解為元素的集合為M，則M中元素的個(gè)數(shù)為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解為2和3，方程 x2－x－2＝0的解為－1和2，所以集合M是由－1，2，3這三個(gè)元素組成的集合.
3. 英文短語(yǔ)“pen the dr t...”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素個(gè)數(shù)是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10
解析：根據(jù)集合中元素的互異性可知，“pen the dr t...”中的不同字母共有“，p，e，n，t，h，d，r”8個(gè)，故該集合的元素個(gè)數(shù)為 8.
5. 設(shè)集合A中含有三個(gè)元素3，x，x2－2x. (1) 求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足的條件.
解：由集合中元素的互異性可知，x≠3，且 x≠x2－2x，x2－2x≠3. 解之得 x≠－1且 x≠0，且 x≠3.
(2) 若－2∈A，求實(shí)數(shù)x.
解：因?yàn)椋?∈A，所以 x＝－2 或 x2－2x＝－2. 由于 x2－2x＝ (x－1)2－1≥－1， 所以 x＝－2.
已知集合A含有兩個(gè)元素 a－3 和 2a－1，(1) 若－ 3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值.
解：因?yàn)椋?∈A，所以 a－3＝－3或2a－1＝－3. 若a－3＝－3，則a＝0. 此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意. 若 2a－1＝－3，則a＝－1. 此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意. 綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.
(2) 若a∈A，試求實(shí)數(shù)a的值.
解：因?yàn)閍∈A，所以 a－3＝a或 2a－1＝a. 當(dāng) a－3＝a 時(shí)，有－3＝0，不成立. 當(dāng)2a－1＝a時(shí)，有a＝1，此時(shí)A中有兩個(gè)元素－2，1，符合題意. 綜上知 a＝1.
1. 列舉法 (1) 方法：將集合的元素_________出來(lái)，并置于花括 號(hào)_________內(nèi).? 例如{北京，天津，上海，重慶}，{y，，u，n，g}. (2) 注意事項(xiàng)：①元素之間要用_______分隔； ②列舉時(shí)與元素的_______無(wú)關(guān).
一一列舉元素時(shí)，需要考慮元素的順序嗎?
提示：用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素的順序.例如：{a，b}與 {b，a} 表示同一個(gè)集合.
2. 描述法 (1) 形式：{ x∣p(x)}，其中x為集合的代表元素，p(x) 指元素 x 具有的性質(zhì). (2) 本質(zhì)：它是集合符號(hào)語(yǔ)言的具體體現(xiàn)，可將集 合中元素的規(guī)律與性質(zhì)清楚地表示出來(lái).
如：{ x∣x 為中國(guó)的直轄市，{ x∣x 為 yung 中的字母}， { x∣ x＜－3，x ∈ R}.
{ (x，y) ∣y＝x2＋2}能否寫(xiě)為{ x∣y＝x2＋2} 或{ y∣y＝x2＋2}呢?
提示：不能，(x，y) 表示集合的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)或點(diǎn)，而x或y則表示集合的元素是數(shù)，所以用描述法表示集合時(shí)一定要弄清集合的元素是什么.
3. Venn圖法 (1) 形式：畫(huà)一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合. (2) 作用：直觀地表示集合.
文恩 ( J . Venn，1834-1923)，英國(guó)數(shù)學(xué)家。
例如，由方程 x2－1＝0 所有的實(shí)數(shù)解組成的集合，可以表示為下列形式.
(1) 列舉法：{－1，1}(也可以是{1，－1})；
一個(gè)集合可以用不同的方法表示.
(2) 描述法：{ x∣x2－1＝0， x∈R} (也可以是 { x∣x為方程 x2－1＝0 的實(shí)數(shù)解}).
4. 集合相等 (1) 定義：如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同，那么 稱這兩個(gè)集合相等. (2) 本質(zhì)：A與B相等，即A中的元素都是B的元素， B中的元素也都是A的元素.
例如，{北京，天津，上海，重慶} ＝{上海，北京，天津，重慶}.
用列舉法表示下列集合：
(1) 大于1且小于 13 的所有偶數(shù)組成的集合；
解：設(shè)大于1且小于 13 的所有偶數(shù)組成的集合為 A， 那么A＝ {2，4，6，8，10，12}.
(2) 由1～15 以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.
解：設(shè)由 1～15 以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為 B， 那么 B ＝ {2，3，5，7，11，13}.
用描述法表示下列集合：
(1) 大于1的所有偶數(shù)組成的集合；
解： 設(shè)大于1的偶數(shù)為 x，并且滿足條件 x＞1，x＝2k，k∈N， 因此，這個(gè)集合表示為 A＝{ x∣x＞1，x＝2k，k∈N}.
(2) 不等式 2x－3＞5 的解集.
解：由 2x－3＞5可得x＞4，故不等式2x－3＞5的解集 為 { x∣x＞4，x∈R }.
例1中的集合的元素都有有限個(gè)，例2中的集合的元素都有無(wú)限個(gè).
(1) 含有__________元素的集合稱為有限集；(2) 含有__________元素的集合稱為無(wú)限集；(3) _______________的集合稱為空集，記作?.
1. 辨析記憶 (對(duì)的打“?”，錯(cuò)的打“?”).
(1) 由 1，1，2，3 組成的集合可用列舉法表示為 {1，1， 2，3}. (　　)(2) 集合{(1，2)}中的元素是1和2.(　　)
由1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1 ，2，3 }.
集合{(1，2)}中的元素是(1，2) .
(3) 集合{ x∣x2＝1}與集合{－1，1}相等.(　　)(4) 集合{ x∣x＞3} 與集合{ t∣t ＞3}相等. (　　)
由 x2＝1求得 x＝－1或x＝1，所以{ x∣x2＝1}與{－1，1}相等.
雖然兩個(gè)集合的代表元素的符號(hào)(字母)不同，但實(shí)質(zhì)上它們均表示大于3的實(shí)數(shù)，兩個(gè)集合相等.
2. 給出下列集合， (1) {0}，(2) { x∣x ＞7，且 x＜1}，(3){ x∣x＞4}， (4) { x∣x2－2＝0，x∈Z}. 其中空集的個(gè)數(shù)為 (　　)　 A.1 B.2 C.3 D.4
3. 由大于－1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示 為_(kāi)________________________，用描述法表示為 _______________________________.?
{0，1，2，3，4}　
{ x ∣ － 1 ＜ x ＜ 5，x∈N}
1. 已知集合 A＝ { x∣－1≤x＜4，x∈Z}，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.5 D.6
解析：因?yàn)椋?≤x＜4，x∈Z，所以 x＝－1，0，1，2，3，所以集合A＝ {－1，0，1，2，3}共有5個(gè)元素.
2. 集合{(x，y) ∣y＝2x－1}表示(　　)A.方程 y＝2x－1 B. 點(diǎn)(x，y)C. 平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)組成的集合D. 函數(shù) y＝2x－1圖象上的點(diǎn)組成的集合
解析：集合{(x，y) ∣y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，滿足的關(guān)系式為 y＝2x－1，因此集合表示的是函數(shù) y＝2x－1圖象上的點(diǎn)組成的集合.
5. 設(shè) x，y 為實(shí)數(shù)，已知 A＝ {x，y}，B＝ {0，x2}，且 A＝B，求 x，y 的值.
解 ：因?yàn)榧螦，B相等，則 x＝0或 y＝0. (1)當(dāng) x＝0時(shí)，x2＝0，不滿足集合中元素的互 異性，故舍去. (2) 當(dāng) y＝0時(shí)，x＝x2，解得x＝0 或 x ＝ 1. 由(1)知 x＝0 應(yīng)舍去. 綜上知：x＝1，y＝0.
練 習(xí)
1. 用“∈”或“?”填空：
2. 用列舉法表示下列集合 ：
(1) { x∣ x ＋ 1 ＝ 0}；
解： x＋1＝0 x ＝－1. ∴{ x ∣ x＋1＝ 0} ＝{－ 1} 綜上所述，結(jié)論是：{－ 1}；
(2) { x∣ x 為15的正約數(shù) }；
解：15＝1×15＝3×5. ∴{ x∣x 為15的正約數(shù)} ＝{1，3，5，15} 綜上所述，結(jié)論是：{1，3，5，15};
(3) { x∣ x為不大于10 的正偶數(shù)}.
解：不大于10 的正偶數(shù)是：2，4，6，8，10 ∴ { x∣x 為不大于10的正偶數(shù)} ＝{2，4，6，8，10} 綜上所述，結(jié)論是：{2，4，6，8，10}.
3. 用描述法表示下列集合：
解：奇數(shù)的集合＝ {n＝2k－1∣k∈Z}；
解：正偶數(shù)的集合＝{z＝2k∣ k∈N*}；
(3) 不等式 x2＋1≤0 的解集.
解：?x ∈ R，x2≥0， ∴ x2＋1≥1， ∴ 不等式 x2＋1 ＜ 0的解集為 ? ＝ { x ∣ x2＋1≤0}.
4. 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1) 方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合；
解：因?yàn)榉匠?x2＋2x－15＝0的根為 x＝－5 或 x＝3， 所以方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合為： {－5，3}.
(2) 不等式 4x－3＜5的解集.
解：不等式 4x－3＜5 的解集為{ x∣x＜2}.
5. 用列舉法表示下列集合：
(1) { a∣0 ≤ a ＜ 6，a∈N }；
解：∵0≤a＜6 且 a∈N， ∴a ＝ 0，1，2，3，4，5. ∴用列舉法表示為{0，1，2，3，4，5}
(2) “mathematics 中的字母”組成的集合；
(3) 漢字“永”的筆畫(huà)組成的集合.
解：∵ mathematics中出現(xiàn)的字母有 a，c，e，h，i， m，s，t，重復(fù)出現(xiàn)的字母只記一次， ∴ 用列舉法表示為{a，c，e，h，i，m，s，t}；
解：永字的筆畫(huà)為“、，?，フ， 丿，?”， ∴用列舉法表示為{、，?，フ， 丿，?”}.
2. 用列舉法表示下列集合：
(1) { x | x2 ＋ 3x － 18 ＝ 0，x ∈ R)}；
(2) { x | x 為不超過(guò) 5 的自然數(shù)}；
(3) { x | － 3 ＜ 2x－1 ≤3，x ∈ Z}；
(4) { (x，y) | 0 ≤ x ≤ 2， 0 ≤ y ≤ 2，x，y ∈ Z}；
{0，1，2，3，4，5}
{ (0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)}
(1) 不等式 3x ＋ 2 ＞ 5 的解集；
(2) 平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點(diǎn)組成的集合；
(3) 二次函數(shù) y ＝ x2－2x＋3 圖象上的點(diǎn)組成的集合.
{x∣3x＋2＞5} 即{ x∣x ＞1}；
{(x，y) ∣x＜0，y＞0}；
{ (x，y) ∣y＝x2－2x＋3，x∈R).
4. 用“∈”或“?”填空：
(1) 若 A＝ { x∣ x2－x＝0}，則 1_____A，－1_____A；
(2) 若 B ＝ { x∣1 ≤ x ≤ 5，x∈N}，則 1______B， 1.5_____B；
(3) 若 C ＝ { x∣－1＜ x ＜ 3，x∈Z}，則 0.2_____C， 3_____C；
5. 設(shè) a，b 為實(shí)數(shù)，已知 M＝ {1，2}，N＝{a，b}，且 M＝N，求 a，b 的值.
6. 已知 A＝ {x∣x＝3k＋1，k∈Z，問(wèn)：－1，5，7 三個(gè) 數(shù)中，哪此數(shù)是 A 的元素?
7. (寫(xiě)作題) 我們使用符號(hào)“e”表短語(yǔ)“是……的元素” (is an element f). 符號(hào)“3∈A”表示“3 是集合 A 的 元素”如果“3 不是集合 A 的元素”，那么寫(xiě)成“3 ? A”雖然“e”看起來(lái)有點(diǎn)像字母“e”，但這兩個(gè) 符號(hào)并不相同，不應(yīng)混淆.
請(qǐng)查閱有關(guān)資料，尋找最先引入符號(hào)“∈”的數(shù)學(xué)家，以及符號(hào)“∈”的原始意義等信息，寫(xiě)一篇關(guān)于符號(hào)“∈”的短文.
“∈”表示一個(gè)元素屬于某一集合的記號(hào)，是意大利數(shù)學(xué)學(xué)家皮亞諾 (Pean) 在1889年的數(shù)學(xué)著作中首先使用的.在數(shù)系理論研究方面，皮亞諾作出了重大貢獻(xiàn)，
在1889年出版的《算術(shù)原理新辦法》一書(shū)中，皮亞諾提出“皮亞諾自然數(shù)公理”舉世聞名，在書(shū)中他還對(duì)許多邏輯符號(hào)進(jìn)行了創(chuàng)新.在1891年創(chuàng)建了《數(shù)學(xué)雜志》，皮亞諾在這個(gè)雜志上利用數(shù)理邏輯符號(hào)寫(xiě)下自然數(shù)公理，并對(duì)它們的獨(dú)立性進(jìn)行了證明皮亞諾于1893年發(fā)表《無(wú)窮小分析教程》，該書(shū)被德國(guó)的數(shù)學(xué)百科全書(shū)列在“自L.歐拉(Euler)和A.L，
柯西(GAUCHY)時(shí)代以來(lái)最重要的19本微積分教科書(shū)”之中.皮亞諾撰寫(xiě)的《數(shù)學(xué)百科全書(shū)》中有很多地方引人注目，例如推廣微分中值定理;多變量函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理；隱函數(shù)存在定理以及其可微性定理的證明；部分可微但整體不可微的函數(shù)的例子；當(dāng)時(shí)流行的極小理論的反例等.

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1.1 集合的概念與表示

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