準(zhǔn)考證號______姓名______
（在此卷上答題無效）
名校聯(lián)盟全國優(yōu)質(zhì)校2024屆高三大聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題
2024.2
本試卷共4頁，考試時間120分鐘，總分150分。
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知為虛數(shù)單位，（ ）
A．B．C．D．
3．已知是兩個單位向量，若，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)直線與雙曲線分別交于兩點，若線段的中點橫坐標(biāo)是，則該雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．2D．
5．一般來說，輸出信號功率用高斯函數(shù)來描述，定義為，其中為輸出信號功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號功率的數(shù)學(xué)期望，為輸出信號的方差，帶寬是光通信中一個常用的指標(biāo)，是指當(dāng)輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應(yīng)函數(shù)圖像的寬度?，F(xiàn)已知輸出信號功率為（如圖所示），則其帶寬為（ ）
A．B．C．D．
6．已知成等比數(shù)列，且2和8為其中的兩項，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在三棱錐中，，點是棱上一動點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．方程所有正根的和為（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列命題正確的是（ ）
A．若兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強
B．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8
C．已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)
D．某人解答5個問題，答對題數(shù)為，若，則
10．對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．在處取得極大值
B．有兩個不同的零點
C．
D．
11．已知是圓上任意一點，過點向圓引斜率為的切線，切點為，點，則下列說法正確的是（ ）
A．時，B．
C．D．的最小值是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)是數(shù)列的前項和，，則______．
13．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是______．
14．如圖，在中，，在直角梯形中，，，記二面角的大小為，若，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
若數(shù)列的前項和滿足．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
16．（15分）
在三棱柱中，，在底面中，有，且，點為等腰三角形的底邊的中點，在中，有．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（15分）
甲、乙兩俱樂部進行羽毛球團體賽，比賽依次按照男子雙打、女子雙打、混合雙打、男子單打、女子單打共五個項目進行，規(guī)定每個項目均采取三局兩勝制，且在上述五項中率先贏下三項的俱樂部獲勝（后續(xù)項目不再進行比賽）．已知在男雙項目、女雙項目、男單項目這三項的每局中，甲俱樂部獲勝的概率均為0.7；在混雙項目、女單項目這兩項的每局中，乙俱樂部獲勝的概率均為0.8，假設(shè)每局比賽之間互不影響．（注：比賽沒有平局，且所有結(jié)果均保留一位小數(shù)．）
（1）求甲俱樂部在男子雙打項目中獲勝的概率；
（2）記比賽結(jié)束時所完成的比賽項目數(shù)量為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18．（17分）
已知橢圓的方程為為的左頂點，為的上頂點，的離心率為的面積為．
（1）求的方程；
（2）過點的直線交于兩點，點且垂直于軸的直線交直線于點，證明：線段的中點在定直線上．
19．（17分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的極值；
（2）若存在實數(shù)，滿足，求的取值范圍．

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