? 高三大聯(lián)考數(shù)學試題
一、單項選擇題
1.集合 ，那么 〔??? 〕
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.假設(shè) (其中 為虛數(shù)單位)，那么復數(shù) 的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于〔??? 〕
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
3. 是第四象限的角， ，那么 〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.一些二次曲面常常用于現(xiàn)代建筑的設(shè)計中，常用的二次曲面有球面?橢球面?單葉雙曲面和雙曲拋物面?比方，中心在原點的橢球面的方程為 ，中國國家大劇院就用到了橢球面的形狀(如圖 )，假設(shè)某建筑準備采用半橢球面設(shè)計(如圖 )，半橢球面方程為 ，該建筑設(shè)計圖紙的比例(長度比)為 (單位： )，那么該建筑的占地面積為〔??? 〕

A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
5.假設(shè) ，那么以下各式中一定成立的是〔??? 〕
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?且
6. 是平面向量，滿足 ，且 ，記 與 的夾角為 ，那么 的最小值是〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
7.投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進，即在壺口兩旁增添兩耳因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)〞.每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得1分.投入壺耳一次得2分，現(xiàn)有甲?乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口?壺耳是相互獨立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為 ，投中壺耳的概率為 .四支箭投完，以得分多者贏請問乙贏得這局比賽的概率為〔??? 〕
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.定義 在上的函數(shù) ，其導函數(shù)為 ，假設(shè) ，且當 時， ，那么不等式 的解集為〔??? 〕
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
二、多項選擇題
9.直線 與雙曲線 無公共點，那么雙曲線離心率可能為〔??? 〕
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
10.以下說法正確的選項是〔??? 〕
A.?設(shè) ，那么“ 〞是“ 且 〞的必要不充分條件
B.?是“ 〞的充要條件
C.?“ 〞是“ 〞成立的充要條件
D.?設(shè) ，那么 “ 〞是“ 〞的充分而不必要條件
11.函數(shù) ，以下結(jié)論正確的選項是〔??? 〕
A.?的最小正周期為 ??????????????????????????????????????B.?函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱.
C.?函數(shù) 在 上單調(diào)遞增??????????????????????D.?方程 在 上有7個不同的實根
12.如下列圖，在棱長為 的正方體 中，過對角線 的一個平面交棱 于點 ，交棱 于點 ，得四邊形 ，在以下結(jié)論中，正確的選項是〔??? 〕

A.?四邊形 有可能是梯形
B.?四邊形 在底面 內(nèi)的投影一定是正方形
C.?四邊形 有可能垂直于平面
D.?四邊形 面積的最小值為
三、填空題
13.春節(jié)文藝匯演中需要將 六個節(jié)目進行排序，假設(shè) 兩個節(jié)目必須相鄰，且都不能排在3號位置，那么不同的排序方式有________種.(用數(shù)字作答)
14.數(shù)列 的前 項和為 ，那么數(shù)列 的通項公式為________.
15.假設(shè)函數(shù) 稱為“準奇函數(shù)〞，那么必存在常數(shù) ，使得對定義域內(nèi)的任意 值，均有 ，請寫出一個 的“準奇函數(shù)〞(填寫解析式)：________.
16.不過原點的動直線 交拋物線 于 兩點， 為坐標原點，且 ，假設(shè) 的面積的最小值為 ，那么 ________；直線 過定點，該定點的坐標為________.
四、解答題
17. 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列， 的前 項和為 ，且 ，
，
〔1〕求數(shù)列 ， 的通項公式；
〔2〕設(shè) ， 為數(shù)列 的前 項和，求 .
18.在① ，② ，③ 三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解決該問題.
問題： 的內(nèi)角 及其對邊 ，假設(shè) ，且滿足___________.求 的面積的最大值(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)
19.2021年5月28日，十三屆全國人大三次會議表決通過了?中華人民共和國民法典?，自2021年1月1日起施行.?中華人民共和國民法典?被稱為“社會生活的百科全書〞，是新中國第-部以法典命名的法律，在法律體系中居于根底性地位，也是市場經(jīng)濟的根本法，為了增強學生的法律意識，了解法律知識，某校組織全校學生進行學習?中華人民共和國民法典?知識競賽，從中隨機抽取100名學生的成績(單位：分)統(tǒng)計得到如下表格：
成績
性別





男
5
14
16
13
4
女
3
11
13
15
6
規(guī)定成績在 內(nèi)的學生獲優(yōu)秀獎.
附：









〔1〕根據(jù)以上成績統(tǒng)計，判斷是否有 的把握認為該校學生在知識競賽中獲優(yōu)秀獎與性別有關(guān)？
〔2〕在抽取的100名學生中，假設(shè)從獲優(yōu)秀獎的學生中隨機抽取3人進行座談，記 為抽到獲優(yōu)秀獎的女生人數(shù)，求 的分布列和數(shù)學期望.
20.如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長為 的菱形， ， ， ， ，點 是 的中點.

〔1〕求證： 平面 ；
〔2〕線段 上是否存在一點 ，使得直線 與平面 所成的角的正弦值為 ，假設(shè)存在，求出的 值，假設(shè)不存在，請說明理由.
21.橢圓 的離心率 ， 在 上.

〔1〕求橢圓 的標準方程；
〔2〕設(shè)為短軸端點，過 作直線 交橢圓 于 兩點(異于 )，直線 交于點 .求證：點 恒在一定直線上.
22.函數(shù) .
〔1〕假設(shè) 軸為曲線 的切線，試求實數(shù) 的值；
〔2〕 ，假設(shè)對任意實數(shù) ，均有 ，求 的取值范圍.

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】解不等式 得 ，
所以 ；
解不等式 得 ，
所以 ，
所以 .
故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意與一元二次不等式的解法求出集合A再由并集的定義即可得出答案。
2.【解析】【解答】解析：由 可得 ，
所以 的的共軛復數(shù) ，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知， 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為 ，位于第四象限.
故答案為：D

【分析】根據(jù)題意由復數(shù)的運算性質(zhì)化簡整理再由共軛復數(shù)的定義結(jié)合復數(shù)的幾何意義即可得出答案。
3.【解析】【解答】因為 是第四象限的角，所以 ，
那么 .
故答案為：B.

【分析】首先與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合角的取值范圍即可求出sin的值，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。
4.【解析】【解答】解析：求占地面積即求半橢球面的底面積，令 可得 ；
令 可得 ，
所以該半橢球面的底面是一個半徑為 的圓，建筑時選的半徑為 米那么建筑的占地面積為 平方米.
故答案為：D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合條件建立空間直角坐標系，求出點的坐標由此求出半橢球面的半徑，再結(jié)合半橢球的面積公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。
5.【解析】【解答】解析：指數(shù)函數(shù) 在 上是單調(diào)遞減的，
由 可知， .
所以 ，那么 .C符合題意；
，但不一定有 ，
那么不一定有 ，故 錯誤；
函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增的， .
那么 ，故 錯誤；
當 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，
那么 .故 錯誤.
故答案為：C

【分析】根據(jù)題意與對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的根本性質(zhì)對選項逐一判斷即可得出答案。
6.【解析】【解答】由 得， ，所以 .
那么
令函數(shù) ，因為 在 上單調(diào)遞減.
又因為 ，故當 時， 取得最小值，最小值為 .
故答案為：B

【分析】由向量和數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合題意整理即可得出構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性由函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值。
7.【解析】【解答】由題意，假設(shè)乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：
〔1〕第三支箭投中壺口，第四支箭必須投入表耳，其概率為 ；
〔2〕第三支箭投入壺耳，第四支箭投入壺口?壺耳均可，其概率為 ，
所以乙贏得這局比賽的概率為 .
故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意分2種情況討論：①乙的第三支箭投中壺口，第四支箭必須投中壺耳，②乙的第三支箭投中壺耳，第四支箭投中壺口、壺耳均可，求出每種情況的概率，由互斥事件的概率公式計算可得答案．
8.【解析】【解答】令 ，那么 .
又由 ，所以 .
故 ，即 為定義在 上的偶函數(shù)；
當 時， ，所以 在 上單調(diào)遞增，
又因為 為偶函數(shù)，故 在 單調(diào)遞減，
由 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集為 .
故答案為：D.

【分析】 根據(jù)題意令g(x)=f(x)+sinx,根據(jù)條件判斷g(x)的單調(diào)性和奇偶性,進一步得到,再解出不等式即可。
二、多項選擇題
9.【解析】【解答】雙曲線的一條漸近線為 ，因為直線 與雙曲線無公共點，故有 .
即 ，
所以 ，
所以 .
故答案為：BC.

【分析】根據(jù)題意由雙曲線的性質(zhì)結(jié)合條件即可得出a與b的關(guān)系再由雙曲線里的 a、b 、c 三者的關(guān)系由整體思想，即可求出離心率的取值范圍。
10.【解析】【解答】對于A，當 且 時，可推出 且 時，即 成立，反之，當 時，例 滿足條件，即不能推出 且 ，故 是 且 的必要不充分條件，A符合題意；
對于B，由 可得 ，反之， 不一定得 ，如 也滿足 ，故 是 的充分不必要條件，B不符合題意；
對于C，當 時，滿足 ，但 ，反之，假設(shè) ，那么 ，故 是 成立的必要不充分條件，C不符合題意；
對于D，由 ，得 ，故 ，反之，由 ，得 ，推不出 ，故 是 的充分而不必要條件，D符合題意.
故答案為：AD

【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷出選項A與C，由余弦函數(shù)的定義結(jié)合角的取值范圍即可判斷出選項B錯誤；結(jié)合絕對值不等式的解法以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，整理化簡原式再由充分必要條件的定義即可判斷出選項D正確；由此得出答案。
11.【解析】【解答】由題意，函數(shù) ，
作出 在 上的圖象，
將 的圖象向下平移1個單位可得到 的圖象，
將所得圖象在 軸下方的局部沿 軸翻折，
如下列圖，由圖可知 的最小正周期為 ，故 正確；

曲線 關(guān)于直線 對稱，故 正確；
函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，那么 錯誤；
方程 在 上有7個不同的實根，所以 正確.
故答案為：ABD.

【分析】根據(jù)題意化簡函數(shù)f(x)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象對選項逐一判斷即可得出答案。
12.【解析】【解答】過 作平面與正方體 的截面為四邊形 ，

如下列圖，因為平面 平面 ，且平面 平面 .
平面 平面 ，因此，同理 ，
故四邊形 為平行四邊形，因此A不符合題意；
對于B，四邊形 在底面 內(nèi)的投影一定是正方形 ，因此B符合題意；
對于C，當點 分別為 的中點時， 平面 ，又 平面 ，那么平面 平面 ，因此C符合題意；
對于D，當 點到線段 的距離最小時，此時平行四邊形 的面積最小，此時點 分別為 的中點，此時最小值為 ，因此D符合題意.
故答案為：BCD

【分析】由題意和線面平行與垂直，面面平行與垂直的判定和性質(zhì)，對每一選項進行分析即可．
三、填空題
13.【解析】【解答】將 捆綁，先確定 的位置，有 種可能，
再將剩余節(jié)目進行排序，有 種可能，
所以不同的排序方式共有 種.
故答案為：144.
【分析】根據(jù)題意由排列組合的定義結(jié)合條件計算出結(jié)果即可。
14.【解析】【解答】由 ，可得當 時， ，
那么 ，即 ，故 ，
所以 .
當 滿足 .
故數(shù)列 的通項公式為 .
故答案為：

【分析】首先由數(shù)列前n項和公式以及定義求出數(shù)列的通項公式即可。
15.【解析】【解答】解析：由 ，知“準奇函數(shù)〞 的圖象關(guān)于點 對稱，假設(shè) ，即 圖像關(guān)于點 對稱，如 向右平移兩個單位，向上平移兩個單位，得到 ，故其圖象就關(guān)于點 對稱.
故答案為： (答案不唯一)

【分析】根據(jù)題意由f〔x〕+f〔2a-x〕=2b，可得“準奇函數(shù)〞f〔x〕的圖像關(guān)于點〔a，b〕對稱，所有關(guān)于點〔2，2〕中心對稱的函數(shù)均滿足題意．
16.【解析】【解答】設(shè)直線與拋物線交于 兩點， ，
因為 ，可得 ，
即 ，可得 ，
可得 ，所以 ，得到 ，
設(shè) ，代入拋物線 中，可得方程 ，
由韋達定理得 ，所以 ，
所以面積
，當且僅當 時，等號成立，即 ，解得 ，
所以 ，此時直線 過定點〔0,8〕.

【分析】根據(jù)題意設(shè)出兩個點的坐標再由直線與拋物線相交的性質(zhì)結(jié)合韋達定理即可得到兩根之和與兩根之積關(guān)于m、p的關(guān)系式，結(jié)合三角形的面積公式結(jié)合根本不等式求出最小值即可。
四、解答題
17.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式整理條件，即可得到關(guān)于公比和公差的方程組求解出結(jié)果即可得出數(shù)列的通項公式。
(2)由(1)的結(jié)論即可得出數(shù)列的通項公式，再由錯位相減法即可得出答案。
18.【解析】【分析】根據(jù)題意分別選擇條件 ① ② ③ ，利用正弦定理和余弦定理整理化簡即可得到關(guān)于a與b的代數(shù)式，并把關(guān)系式代入到余弦定理由此求出sinA,再由三角形的內(nèi)角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值。
19.【解析】【分析】(1)由條件的圖表中的數(shù)據(jù)結(jié)合觀測值的公式計算出結(jié)果，再與標準值進行比較即可得出結(jié)果。
(2)根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對應(yīng)的X的概率由此得到X的分布列，結(jié)合數(shù)學期望公式計算出答案即可。
20.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意作出輔助線由三角形內(nèi)的幾何計算關(guān)系求出邊的大小，再由余弦定理以及勾股定理代入數(shù)值計算出垂直關(guān)系，再由線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。
(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面的法向量的坐標，結(jié)合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到夾角的余弦值再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系整理即可得到關(guān)于的方程求解出的值即可。

?
21.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由點在橢圓上把點的坐標代入到橢圓的方程再結(jié)合橢圓里a、b、c的關(guān)系計算出a、b、c的值由此得到橢圓的方程。
(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再由斜率的坐標公式代入計算出結(jié)果由此即可判斷出點T在直線上。

?
22.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意對函數(shù)求導結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再由曲線與x軸相切的性質(zhì)整理即可得出令代入計算出m的值即可。
(2)首先由導函數(shù)的正負情況得出函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)整理條件得到
再由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意恒成立，由根本不等式即可求出m的取值范圍。

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