（時間：90分鐘滿分：100分）
一．選擇題（每小題3分，共30分）
1. 如圖是一個空心圓柱體，其主視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到從前面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中．
【詳解】解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應為矩形，
又因為該幾何體為空心圓柱體，故中間的兩條棱在主視圖中應為虛線，
故選：B．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖；注意看得到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線．
2. 的值等于（ ）
A. B.
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【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)的特殊值，即可求解本題.
【詳解】=.
故選A.
【點睛】主要考查特殊角的三角函數(shù)值的記憶則準確性,很基礎.
3. 用配方法解一元二次方程x2－6x＋3＝0時，配方得( )
A. (x＋3)2＝6B. (x－3)2＝6
C. (x＋3)2＝3D. (x－3)2＝3
【答案】B
【解析】
【分析】先將常數(shù)項移到等號右邊,再等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即可解題.
【詳解】解：x2－6x＋3＝0
x2－6x＝－3
x2－6x＋9＝－3+9
(x－3)2＝6
故選B.
【點睛】本題考查了用配方法求解一元二次方程的解,屬于簡單題,熟悉配方的步驟是解題關鍵.
4. 在不透明布袋中裝有除顏色外其它完全相同的紅、白玻璃球，其中白球有60個．同學們通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋中紅球個數(shù)約為（ ）
A 15個B. 20個C. 25個D. 30個
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)頻率估計概率問題可直接進行求解．
【詳解】∵通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，
∴摸到紅色球的概率為0.25，
∵布袋中裝有除顏色外其它完全相同的紅、白玻璃球兩種，
∴摸到白色球的概率為，
∵有白色球60個，
∴球的總個數(shù)為：，
∴紅球個數(shù)約為，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查頻率估計概率，熟練掌握利用頻率估計概率是解題的關鍵．
5. 如圖，BD是的直徑，A，C在圓上，，的度數(shù)是（ ）
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】由BD是圓O的直徑，可求得∠BCD = 90°又由圓周角定理可得∠D=∠A= 50°，繼而求得答案．
【詳解】解：∵BD是的直徑，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A= 50°，
∴∠DBC= 90°-∠D = 40°，
故選： C．
【點睛】此題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質，此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
6. 如圖是某數(shù)學興趣小組設計用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖，在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，CD⊥BD，且測得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么該古城墻CD的高度是（ ）
A 8mB. 9mC. 16mD. 18m
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)反射的性質可得∠APE=∠CPE，則有∠APB=∠CPD，從而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性質即可求得CD的長．
【詳解】如圖，根據(jù)反射的性質可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故選：A
【點睛】本題考查了相似三角形在測高中實際應用，掌握相似三角形的判定與性質、軸對稱中光的反射問題是關鍵．
7. 下列說法正確的是（ ）
A. 對角線垂直的四邊形是菱形B. 相等的圓心角所對的弧相等
C. 對角線相等的四邊形是矩形D. 對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了圓心角，特殊平行四邊形，根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法及圓周角和對應的弧的關系，分別分析得出答案，熟練掌握圓周角定理，矩形、菱形、正方形的判定進行求解是解決本題的關鍵．
【詳解】解：對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故A說法錯誤；
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故B說法錯誤；
對角線相等的四邊形不一定是矩形，故C說法錯誤；
對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，故D說法正確，
故選：D．
8. 如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，其中點的橫坐標為，當時，的取值范圍是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函數(shù)的對稱性，可以得出點A的橫坐標，再根據(jù)圖象就可以寫出y1＜y2時，x的取值范圍．
【詳解】解：由函數(shù)的中心對稱性可得點A的橫坐標為2，
由圖象可得，
當y1＜y2時，x＜-2或0＜x＜2，
故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質，理解當一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時，相應的自變量的取值范圍，從圖象上可以直觀得到．
9. 二次函數(shù) 圖象如圖所示，其與 軸交于點 、點 ，下列4個結論：①；②； ③有兩個不相等的實數(shù)根：④．其中正確的是 （ ）
A ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，掌握二次函數(shù)的性質，從圖象中有效的獲取信息，是解題的關鍵．根據(jù)對稱軸的位置，判斷①，對稱性判斷②，圖象法確定方程的根的個數(shù)判斷③，特殊點和對稱軸判斷④．
【詳解】解：∵拋物線的開口方向向下，對稱軸為直線，
∴；故①正確；
由圖象可知，函數(shù)圖象與軸的一個交點的橫坐標的范圍，且圖象與 軸交于點 ，
由對稱性可知：；故②錯誤；
由圖象可知：拋物線與直線有兩個交點，
∴方程：有2個不相等的實數(shù)根；故③正確；
∵，
∴，
由圖象可知，當，，即：，
∴；故④正確；
故選C．
10. 如圖，正方形 中，是 中點，連接 ，作 交 于 ，交 于 ，交 于 ，延長 交 延長線于 ，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，利用正方形的性質證明和，得到，再證明和，利用相似三角形的性質，進行線段轉換，即可解答，弄清線段之間的比例關系是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
是的中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
設，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故選：C．
二．填空題（每小題3分，共15分）
11. 若，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了比例的性質，先根據(jù)已知條件得到，再把代入所求式子中求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 已知關于的－元二次方程的一個根為，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程的解的定義，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是關鍵．
將代入方程得，解之即可．
【詳解】解：將代入方程，
得：，
解得：，
故答案為：．
13. 如圖，是的弦， 于點D，交于點C，若，，那么的半徑為 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查的是垂徑定理，勾股定理等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
連接，先根據(jù)垂徑定理求出的長，在中根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：連接，
∵于點D，，
∴，
在中，
∵
，
∴，
故答案為：5．
14. 如圖，點A在x軸的負半軸上，點C在反比例函數(shù)的圖象上，交y軸于點B，若點B是的中點，的面積為，則k的值為 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質以及三角形的面積公式可得，進而得出，由系數(shù)k的幾何意義可得答案．
【詳解】解：如圖，過點C作軸于D，
∴，
∵點B是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：6．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及全等三角形的判定和性質，理解反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握全等三角形的判定和性質是正確解答的前提．
15. 如圖，在 中，是 上一點，連接 ，點 在上，且 ，為中點，且，若，，則_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，過點作的平行線，交的延長線于點，證明和，再利用相似的性質進行線段的轉換，即可解答，作出正確的輔助線，逐步推理是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，過點作的平行線，交的延長線于點，
，
，，
，
，
，
為中點，
，
，
，
，
設，則，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
三．解答題（共55分）
16. 計算：．
【答案】6
【解析】
【分析】分別計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、去絕對值和特殊角的三角函數(shù)值，然后按照去括號、先乘除后加減的順序依次計算即可得出答案．
【詳解】解：


．
【點睛】此題考查實數(shù)的混合運算，包含零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值和特殊角的三角函數(shù)值四類運算．熟練掌握相關運算的運算法則以及整體的運算順序是解決問題的關鍵．
17. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，根據(jù)分式的混合運算法則計算化簡，再代入計算即可作答．
【詳解】
，
當時，原式．
18. 為了傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，我市某中學舉行“漢字聽寫”比賽．賽后整理參賽學生的成績，將學生的成績分為A，B，C，D四個等級，并將結果繪制成圖1的條形統(tǒng)計圖和圖2扇形統(tǒng)計圖，但均不完整．請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題：
（1）參加比賽的學生共有______名，并補全圖1的條形統(tǒng)計圖；
（2）在圖2扇形統(tǒng)計圖中，m的值為______，表示D等級的扇形的圓心角為______；
（3）組委會決定從本次比賽獲得A等級的學生中，選出2名去參加全市中學生“漢字聽寫”大賽．已知A等級學生中男生有1名，請用列表法或畫樹狀圖法求出所選2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；形統(tǒng)計圖見解析
（2）40，72° （3）
【解析】
【分析】（1）用A等級的人數(shù)除以其所占比例即可得到總參賽人數(shù)，用總人數(shù)減去A、C、D等級人數(shù)和即可得到B等級人數(shù)，按要求補全條形圖；
（2）用C等級人數(shù)除以總人數(shù)即可求出m的值，用D等級人數(shù)除以總人數(shù)再乘以360°即可求解；
（3）采用列表法列舉即可求解．
【小問1詳解】
根據(jù)題意得：3÷15%＝20（人），
即參賽學生共20人，
則B等級人數(shù)（人）．
補全條形統(tǒng)計圖如下：
【小問2詳解】
C等級的百分比為，即m＝40，
表示D等級的扇形的圓心角為，
故答案為：40，72°．
【小問3詳解】
列表如下：
所有等可能的結果有6種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種，
則P（恰好是一名男生和一名女生）．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的知識以及采用列舉法求解概率的知識，注重數(shù)形結合是解答本題的關鍵．
19. 如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作于點，延長到點，使，連接.

（1）求證：四邊形是矩形；
（2）連接，若，，求的長度.
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質得到且，等量代換得到，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論；
（2）由菱形的性質得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出答案．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴ ，
∴ 四邊形是矩形；
【小問2詳解】
∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質等知識，熟練運用菱形的性質和矩形的判定定理是解題的關鍵．
20. 某電商在抖音平臺上對紅富士蘋果進行直播銷售．已知蘋果的成本價為6元/千克，如果按10元/千克銷售，每天可賣出160千克．通過調查發(fā)現(xiàn)，每千克蘋果售價增加1元，日銷售量減少20千克．
（1）為保證每天利潤為700元，商家想盡快銷售完庫存，每千克售價應為多少元？
（2）售價為多少元時，每天的銷售利潤最大，最大是多少？
【答案】（1）11元 （2）售價為12元時，每天的銷售利潤最大，最大是720元
【解析】
【分析】（1）設每千克售價應為x元，根據(jù)“如果按10元/千克銷售，每天可賣出160千克，每千克蘋果售價增加1元，日銷售量減少20千克”列出方程，即可求解；
（2）設每千克售價應為m元，每天的銷售利潤為W元，根據(jù)題意，列出函數(shù)的關系式，結合二次函數(shù)的性質，即可求解．
【小問1詳解】
解：設每千克售價應為x元，根據(jù)題意得：
，
解得：，
∵商家想盡快銷售完庫存，
∴，
答：每千克售價應為11元；
【小問2詳解】
解：設每千克售價應為m元，每天的銷售利潤為W元，根據(jù)題意得：
，
∵，
∴當時，W的值最大，最大值為720，
答：售價為12元時，每天的銷售利潤最大，最大是720元．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出一元二次方程和二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質求最值．
21. 【實踐探究】
數(shù)學課題學習小組，為了研究學習二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實踐——應用——探究的過程：
（1）實踐：他們對一條拋物線形拱橋進行測量，測得當拱頂高離水面 時，水面寬 ，并畫出了拱橋截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標系，求該拋物線的解析式；
（2）應用：按規(guī)定，船通過拱橋時，頂部與拱橋頂部在豎直方向上的高度差至少為 ．一場大雨，讓水面上升了 ，為了確保安全，問該拱橋能否讓寬度為 、高度為 的貨船通過？請通過計算進行說明（貨船看作長方體）；
（3）探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，并過原點作一條 的直線 ，交拋物線于點 ，交拋物線對稱軸于點 ，提出了以下問題，
如圖2，B為直線 上方拋物線上一動點，過 B作 垂直于 軸，交 軸于 A，交直線 于 C,過點 B作 垂直于直線 ，交直線 于 D，則 的最大值為 ．
【答案】（1）
（2）不能通過 （3）
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，
（1）設拋物線的頂點式為，將代入即可解答；
（2）設原水面為軸，根據(jù)題意求得當時，橋的高度，再根據(jù)題中條件得到船通過需要的高度，比較即可解答；
（3）證明，再得到與的關系，再利用二次函數(shù)的性質，求出的最大值，即可解答，
熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，耐心計算是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：由題意可得拋物線的頂點為，
設拋物線的解析式為，
將代入拋物線可得，
解得，
拋物線的解析式為，即；
【小問2詳解】
解：設原水面為軸，則可將水面上升視為水位上漲之前需要多預留保證船體通過，
當水位沒有上漲時，
船的寬度為，
船體離橋的邊緣為，
當時，，
則水位上漲時需要空間為，
不能通過；
【小問3詳解】
解：當時，，
，
，
軸，，
，
，
設點，
，
，
，
當時，取最大值為，
的最大值為，
故答案為：．
22. 【問題情境】
（1）如圖1，正方形 中，分別是邊 和對角線 上的點，． 易證（不需寫出證明過程），此時 的值是 ；
【問題解決】
（2）如圖2，矩形 中，別是邊 和對角線 上的點，，則 的長為 ；
【變式探究】
（3）如圖3，菱形 中，，對角線交的延長線于點分別是線段 和 上的點，，求 的長．
【答案】（1）；（2）3；（3）2
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性質，證明，再利用角度的轉換可得，即可證明，利用相似三角形的性質即可解答；
（2）連接，交于點，利用勾股定理求得，再利用矩形的性質得到，計算，證明，同（1）中原理證明，即可解答；
（3）連接，交于點，根據(jù)菱形的性質得到，同（1）中原理證明，在證明求得的長，即可解答．
【詳解】（1）解：四邊形是正方形，
，
，
，
即，
，
，
故答案為：；
（2）解：如圖，連接，交于點，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
同（1）中原理可得，
，
，
，
故答案為：3；
（3）解：如圖，連接，交于點，
四邊形為菱形，
，
,
,
,
同（1）中原理，可得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
,
，
，
．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形，矩形，菱形的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角函數(shù)，證明是解題的關鍵，注意解題方法的延續(xù)性．男
女
女
男
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，女）

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