解直角三角形的定義直角三角形中的邊角關系“化斜為直法”解非直角三角形
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形的邊、角中的已知元素，求出所有邊、角中的未知元素的過程，叫做解直角三角形.(1)在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一個是邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).(2)一個直角三角形可解，則其面積可求. 但在一個解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積.
深度理解：●已知兩個角不能解直角三角形，因為只有角的條件，三角形邊的大小不唯一，即有無數個三角形符合條件.●已知一角一邊時，角必須為銳角，若已知直角，則不能求解.
根據下列所給條件解直角三角形，不能求解的是( )①已知一直角邊及其對角；②已知兩銳角；③已知兩直角邊；④已知斜邊和一銳角；⑤已知一直角邊和斜邊.A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
解題秘方：緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進行解答.
特別提醒：解直角三角形時，求某些未知量的方法往往不唯一.
解：①能夠求解；②不能求解；③能夠求解；④能夠求解；⑤能夠求解.
直角三角形中的邊角關系
1. 直角三角形中的邊角關系在直角三角形ABC 中，∠ C 為直角，∠A，∠B，∠C 所對的邊分別為a，b，c，那么除直角∠C 外的5 個元素之間有如下關系：(1)三邊之間的關系：a2+b2=c2(勾股定理).(2)兩銳角之間的關系：∠ A + ∠ B=90° .(3)邊角之間的關系：
2. 運用關系式解直角三角形時，常常要用到以下變形：(1)兩銳角之間的關系：∠A=90°－∠B，∠B=90°－∠A；(2)三邊之間的關系： (3)邊角之間的關系：a=csin A，a=ccs B，a=btan A，b=csin B，b=ccs A，b=atan B.
3. 解直角三角形的常見類型
解題通法：解直角三角形的基本方法可概括為“有斜(斜邊)用弦(正弦、余弦)，無斜用切( 正切)，寧乘勿除，取原避中”，意思是:當已知或求解中有斜邊時，就優(yōu)先考慮用正弦或余弦；無斜邊時，就用正切；當所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解時，則選用乘法；既可以用原始數據又可以用則用原始數據.
根據下列條件，解直角三角形：
解題秘方：緊扣“直角三角形的邊角關系”選擇適合的關系式求解.
解法提醒:解直角三角形的一般方法：在解直角三角形時，應求出所有未知元素，首先要分析出直角三角形中的已知元素，根據已知元素利用適當的關系式求邊的長度時，一般要選擇題目中的原始數據，盡量避免用中間所得的結果參與計算.
解：在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，則sin A=∴∠A=45°，∴∠B=90°－ ∠ A=45°，∴ b=a=20.
(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=20，c=20 ；
在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°.∵ sinA= ，∴ ，∴ a=3 . 由勾股定理得b= =3.
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，c=6.
“化斜為直法”解非直角三角形
1. 解題方法對于出現非直角三角形的問題，可以通過添加輔助線，將其轉化為直角三角形來解.
特別解讀：解斜三角形的關鍵是運用“化斜為直法”的數學思想方法，即添加適當的輔助線，將斜三角形轉化為直角三角形，運用解直角三角形的知識求解.
如圖7.5-1，在△ ABC 中，AB=1，AC= ，sin B= ，求BC 的長.
解題秘方：緊扣“化斜為直法”，通過作高把斜三角形轉化為兩個直角三角形求解.
教你一招：構造直角三角形解非直角三角形問題的方法：化斜為直法通過作垂線(高)，將斜三角形分割成兩個直角三角形，然后利用解直角三角形求邊或角.在作垂線時，要充分利用已知條件， 一般在等腰三角形中作底邊上的高，或過特殊角的一邊上的點作這個角的另一邊的垂線，從而構造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相關知識求解.
解：如圖7.5-1 所示，過點A 作AE ⊥ BC，垂足為點E.在Rt △ ABE 中，

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7.5 解直角三角形

版本： 蘇科版

年級： 九年級下冊

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