【講通練透】重難點突破07 不等式恒成立問題（十大題型）-2024年高考數(shù)學重難點突破精講-試卷下載-教習網(wǎng)

2、精練習題。復習時不要搞“題海戰(zhàn)術”，應在老師的指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
重難點突破07 不等式恒成立問題
目錄
1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導且；
（3），
那么=．
法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導，且；
（3），
那么=．
法則3若函數(shù)和滿足下列條件：
（1）及；
（2）在點的去心 \t "" 鄰域內(nèi)，與可導且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．
（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．
題型一：直接法
例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知函數(shù).
(1)已知函數(shù)在處的切線與圓相切，求實數(shù)的值.
(2)已知時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例2．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．
(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；
(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
變式1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．
(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；
(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．
題型二：端點恒成立
例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）設函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例5．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學?？寄M預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；
(3)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)與分別是與的導函數(shù).
(1)證明:當時,方程在上有且僅有一個實數(shù)根;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
變式2．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知函數(shù)，函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)記，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式3．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．
(1)討論在上的單調(diào)性；
(2)若對于任意，若函數(shù)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
變式4．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．
(1)若單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
(2)若，，求a的取值范圍．
題型三：端點不成立
例7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的極值；
(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．
例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學校考期末）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．
變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；
(2)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離
例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)若的極大值為3，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學?？寄M預測）設函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
例12．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式7．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)求證：在上單調(diào)遞增；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知函數(shù)，為的導函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當時，，求k的取值范圍．
變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）已知，.
(1)求的極值；
(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.
變式10．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.
變式11．（2023·河南開封·校考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
題型五：洛必達法則
例13．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例14．設函數(shù).當時，，求的取值范圍.
例15．設函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．
題型六：同構(gòu)法
例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù).
(1)若，判斷的零點個數(shù)；
(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例17．（2023·湖南常德·常德市一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，.
(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)a的值；
(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學?？茧A段練習）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若，成立，則實數(shù)m的最小值是________．
變式12．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知，（），若在上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）
A．B．C．D．
變式13．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.
(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；
(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.
變式14．（2023·海南·?？寄M預測）已知，函數(shù).
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求a的取值范圍．
變式16．（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知函數(shù)，其中，.
(1)當時，求函數(shù)的零點；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.
變式17．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.
題型七：必要性探路
例19．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性：
(2)當時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．
例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上有且僅有2個零點，求a的取值范圍；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
例21．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)）在處的切線斜率為.
(1)求a的值；
(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍.
變式18．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)若，求的值．
變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若，，求證：有且僅有一個零點；
(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
題型八：max，min函數(shù)問題
例22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.
(1)證明：當時，；當時，；
(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.
例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當時，；當時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.
（1）證明恒成立；
（2）用表示m，n中的最大值.已知函數(shù)，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，.
(1)求的值；
(2)①判斷的零點個數(shù)；
②定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實數(shù)的取值范圍.
變式22．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù).
（1）若，證明：在上存在唯一零點；
（2）設函數(shù)，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.
題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧
例25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，且關于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
例26．（2023·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．
（1）若，求h(x)的表達式；
（2）若，求k的取值范圍；
（3）若求證：．
例27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
變式24．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)判斷的導函數(shù)的零點個數(shù)；
(2)若，求a的取值范圍．
變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；
(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
變式26．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當時，關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
變式27．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)為.
(1)當時，求函數(shù)的極值點的個數(shù)；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
變式28．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)與的圖象有公切線.
(1)求實數(shù)和的值；
(2)若，且，求實數(shù)的最大值.
題型十：雙變量最值問題
例28．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（）
A．B．－1C．D．－2
例29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中．
（1）當時，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；
（2）當時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．
例30．（2023·河南南陽·高三南陽中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，，其中
(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；
(2)若對任意的恒成立，求的最大值.
變式29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中.(為自然對數(shù)的底數(shù))
（1）求在點處的切線方程；
（2）若時，在上恒成立.當取得最大值時，求的最小值.
變式30．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，
（2）若關于x不等式aex≥x+b對任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.
變式31．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考期中）給定實數(shù)，函數(shù)，（其中，．
(1)求經(jīng)過點的曲線的切線的條數(shù)；
(2)若對，有恒成立，求的最小值．
變式32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考開學考試）設函數(shù)，.
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.
變式33．（2023·高二單元測試）若對于任意正實數(shù)，都有( 為自然對數(shù)的底數(shù))成立，則的最小值是________.
變式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）設，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值是___________.

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