2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破01 數(shù)列的綜合應(yīng)用
目錄
1、解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵
2、新定義問題的解題思路
遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．
3、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對式子化簡變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．
4、數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略
解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．
利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.
恒成立；
恒成立.
5、現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識去解決．
（1）數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；
②等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；
③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第項(xiàng)與第項(xiàng)的遞推關(guān)系還是前項(xiàng)和與前項(xiàng)和之間的遞推關(guān)系．
在實(shí)際問題中建立數(shù)列模型時(shí)，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時(shí)要往這些方面聯(lián)系．
（2）解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；
②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；
③問題作答，不要忽視問題的實(shí)際意義．
6、在證明不等式時(shí)，有時(shí)把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.
放縮時(shí)常采用的方法有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)、在和或積中放大或縮小某些項(xiàng)、擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?
放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.
放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.
題型一：數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用
例1．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
例2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例3．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第三十六層球的個(gè)數(shù)為（ ）
A．561B．595C．630D．666
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3中曲線的長度為（ ）

A．2B．C．D．3
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，則此數(shù)列的前34項(xiàng)和為（ ）

A．959B．964C．1003D．1004
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，64…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項(xiàng)是（ ）．
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
（1）解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵
（2）解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)”
題型二：數(shù)列中的新定義問題
例4．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)，如果把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，再把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)又去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，如此繼續(xù)下去，……，那么得到的數(shù)列（含原已知數(shù)列）的第一項(xiàng)按先后順序排列，構(gòu)成的數(shù)列記為，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為（ ）
A．1013B．1023C．2036D．2050
例5．（2023·人大附中?？既＃┮阎獢?shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若，則為“回旋數(shù)列”；
②設(shè)為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；
③設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，若為“回旋數(shù)列”，則；
④若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
例6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”． 下列命題正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，則是“和有界數(shù)列”
B．若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列”
C．若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列”
D．若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，則數(shù)列滿足： . ，記，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項(xiàng)分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（ ）
A．173B．171C．155D．151
【解題方法總結(jié)】
（1）新定義數(shù)列問題的特點(diǎn)
通過給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．
（2）新定義問題的解題思路
遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．
題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
例7．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為 .
例8．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最大值是 .
例9．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為 ．
變式7．（2023·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且對于任意的正整數(shù)n，都有．若正整數(shù)k使得對任意的正整數(shù)成立，則整數(shù)k的最小值為 ．
【解題方法總結(jié)】
（1）數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對式子化簡變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．
（2）數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略
解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．
利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.
恒成立；
恒成立.
題型四：數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬件）近似地滿足關(guān)系式，按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是 .
例11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）某研究所計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，且每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列.已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1700萬元，則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要 萬元.
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）冰墩墩作為北京冬奧會(huì)的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦店售賣冰墩墩運(yùn)動(dòng)造型多功能徽章，若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；價(jià)格每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21天每件60元，則該店第 天收入達(dá)到最高.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動(dòng).現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為 a 元，以分期付款的形式等額分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率為 r ，則愛好者每期需要付款 ．
變式9．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）一件家用電器，現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，一年后還清，購買后一個(gè)月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款數(shù)相同，共付12次，月利率為0.8%，并按復(fù)利計(jì)息，那么每期應(yīng)付款 元．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在第七十五屆聯(lián)合國大會(huì)一般性辯論上，習(xí)近平主席表示，中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．某地2020年共發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動(dòng)型汽車2萬張，從2021年起，每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車牌照按前一年的50%增長，燃油型汽車牌照比前一年減少0.5萬張，同時(shí)規(guī)定，若某年發(fā)放的汽車牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動(dòng)車牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.那么從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車牌照數(shù)為 萬張．
【解題方法總結(jié)】
現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常?？紤]用數(shù)列的知識去解決．
（1）數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；
②等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；
③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第項(xiàng)與第項(xiàng)的遞推關(guān)系還是前項(xiàng)和與前項(xiàng)和之間的遞推關(guān)系．
在實(shí)際問題中建立數(shù)列模型時(shí)，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時(shí)要往這些方面聯(lián)系．
（2）解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；
②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；
③問題作答，不要忽視問題的實(shí)際意義．
題型五：數(shù)列不等式的證明
例13．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明不等式．
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，的前n項(xiàng)和為，證明：．
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明∶．
變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：．（注：．）
變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足，，．證明：
(1)；
(2)．
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)，若，證明：．
變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，．
(1)證明：．
(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
【解題方法總結(jié)】
（1）構(gòu)造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式
（2）放縮法證明不等式
在證明不等式時(shí)，有時(shí)把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.
放縮時(shí)常采用的方法有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)、在和或積中放大或縮小某些項(xiàng)、擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?
放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.
放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.
方法1：對進(jìn)行放縮，然后求和.
當(dāng)既不關(guān)于單調(diào)，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時(shí)，就應(yīng)考慮對進(jìn)行放縮，使目標(biāo)變成可求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧?xiàng)相消或壓縮等比的數(shù)列.證明時(shí)要注意對照求證的結(jié)論，調(diào)整與控制放縮的度.
方法2：添舍放縮
方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含n的式子看作是一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和或者積，求出該數(shù)列通項(xiàng)后再左、右兩邊一對一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不是含有n的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標(biāo)不等式的加強(qiáng)不等式，再予以證明.
方法4：單調(diào)放縮
題型六：公共項(xiàng)問題
例16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
例17．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于 .
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
變式17．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為 ．
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則 .
變式19．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）有兩個(gè)等差數(shù)列及由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為 .
題型七：插項(xiàng)問題
例19．（2023·全國·高三對口高考）在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
例20．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為 .
例21．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
變式20．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在相鄰兩項(xiàng)中間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，求所得新數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
變式21．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（，）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求.
變式23．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型八：蛛網(wǎng)圖問題
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列若（且），若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
例23．（2023?虹口區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是 （參考數(shù)據(jù)：，
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
例24．（2023?浙江模擬）數(shù)列滿足，，，表示數(shù)列前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是
A．若，則
B．若，則遞減
C．若，則
D．若，則
變式24．（2023?浙江模擬）已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
變式25．（2023?下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是
A．若，則B．若，則
C．D．
題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且．
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)證明：
(3)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)，是否存在正整數(shù)m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．
例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列
(1)證明：依次成等比數(shù)列；
(2)是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；
(3)是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由．
例27．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的正整數(shù)，點(diǎn)均在函數(shù)圖象上.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)問中是否存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由.
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，說明理由．
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①，，②，為的前n項(xiàng)和，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答下列問題．
已知數(shù)列滿足______．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對大于1的正整數(shù)n，是否存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
變式29．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由．
題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題
例73．（2022?龍泉驛區(qū)校級一模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則
A．B．C．2D．3
例74．（2022?日照模擬）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則
A．150B．162C．180D．210
例76．（2022秋?仁壽縣月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論中正確的是
A．，B．，
C．，D．，
題型十一：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題
例79．（2022?全國模擬）函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）設(shè)，，證明：．
例80．（2022?棗莊期末）已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；
（3）設(shè)，，求證：．
題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題
例28．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┘?、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.
(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.
(i)求的取值范圍；
(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.
例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為.
(1)求的分布列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)求的期望.
例30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雅禮中學(xué)是三湘名校，學(xué)校每年一屆的社團(tuán)節(jié)是雅禮很有特色的學(xué)生活動(dòng)，幾十個(gè)社團(tuán)在一個(gè)月內(nèi)先后開展豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)，充分體現(xiàn)了雅禮中學(xué)為學(xué)生終身發(fā)展奠基的育人理念.2022年雅禮文學(xué)社舉辦了詩詞大會(huì)，在選拔賽階段，共設(shè)兩輪比賽.第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手正確回答出下句可得10分，若不能正確回答出下可得0分.
(1)已知某位選手會(huì)5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲?乙?丙?丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)體有相同的機(jī)會(huì)搶答下一問題.記第次回答的是甲的概率是，若.
①求和；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
變式30．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一對夫妻計(jì)劃進(jìn)行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛,且約定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人駕車,另一人休息;②若前一天由丈夫駕車,則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為,由妻子駕車的概率為;③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．
(1)在剛開始的三天中,妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)在第n天時(shí),由丈夫駕車的概率為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某中學(xué)舉辦了詩詞大會(huì)選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．
(1)已知某位選手會(huì)5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會(huì)搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．
①求P2，P3；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。?br>變式32．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）某校為減輕暑假家長的負(fù)擔(dān)，開展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味比賽．比賽規(guī)則如下：在A，B兩個(gè)不同的地點(diǎn)投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若小明同學(xué)完成一次比賽，恰好投中2次的概率為，求p；
(2)若，記小明同學(xué)一次比賽結(jié)束時(shí)的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．
變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．
(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；
(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，
（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．
題型十三：數(shù)列與幾何的交匯問題
例31．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體中，，，，…，在線段上，且，過點(diǎn)作平行于直線，的平面，截面面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．為遞減數(shù)列
C．存在常數(shù)，使為等差數(shù)列
D．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則時(shí)，
例32．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的棱長均為，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切（，且），球的表面積為，體積為，則（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
例33．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)，，，，則下列選項(xiàng)成立的有（ ）
A．B．
C．直線與直線的斜率相等D．直線與直線的斜率不相等
變式34．（多選題）（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)列P在圓上，若對于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（ ）
A．為公差為2的等差數(shù)列B．為公比為2的等比數(shù)列
C．D．前n項(xiàng)和
變式35．（多選題）（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線與圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為23D．圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)
變式36．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足．設(shè)到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是（ ）
A．向量與向量所成角為
B．
C．
D．若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為

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