中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形.
◎結(jié)論1：點M、N、P、Q是任意四邊形的中點，則四邊形MNPQ是平行四邊形.
如上圖：
【證明】
∵MN∥12BD
PQ∥12BD
∴四邊形MNPQ為平行四邊形。

如上圖
【證明】
∵MQ∥12BD，MQ＝12BD
PN∥12BD，PN＝12BD
∴MQ∥PN，MQ＝PN
∴四邊形MNPQ為平行四邊形


【證明】
∵MN∥12AC,MN＝12AC
PQ∥12AC，PQ＝12AC
∴MN∥PQ，MN＝PQ
∴四邊形MNPQ為平行四邊形

◎結(jié)論2：對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形

【證明】 由上：平行四邊形MNPQ
∵AC∥PQ
∴∠2＝∠1＝90°
∵MQ∥BD
∴∠3＝∠2＝90°
∴MNPQ為矩形.
◎結(jié)論3：對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形

【證明】由上：平行四邊形MNPQ
∵MQ＝12BD，MN＝12AC，BD＝AC
∴MQ＝MN
∴四邊形MNPQ為菱形。
◎結(jié)論4：對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形。
【證明】由結(jié)論3可知對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，所以四邊相等，再結(jié)合結(jié)論2 對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，所以四邊形MNPQ為正方形。
1．(2023·貴州·遵義五十七中八年級期中）我們把順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形，下列說法正確的是
A．任意一個四邊形的中點四邊形是菱形
B．任意一個平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形
C．對角線相等的四邊形的中點四邊形是矩形
D．對角線垂直的四邊形的中點四邊形是正方形
2．(2023·山東·淄博市臨淄區(qū)皇城鎮(zhèn)第一中學九年級期中）若順次連接一個四邊形的四邊中點所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是（ ）
A．一般平行四邊形B．對角線互相垂直的四邊形C．對角線相等的四邊形D．矩形
3．(2023·新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學八年級期中）如圖，連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，還要添加一個條件 _____，能使四邊形EFGH是矩形．
1．(2023·廣西桂林·八年級期末）如圖，四邊形ABCD的四邊中點分別為E、F、G、H，順次連接E、F、G、H．
（1）判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由；
（2）若AC＝BD，判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由．
2．(2023·河北石家莊·八年級期中）四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．
（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：
①當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；
②當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．
（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．
3．(2023·江蘇·高港實驗學校八年級階段練習）如圖1，在四邊形中，如果對角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．
（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；
②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點，當對角線、還要滿足______時，四邊形是正方形．
（2）如圖2，已知在中，，，，為平面內(nèi)一點．
①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．
②設(shè)點是所在平面上的任意一點且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說明理由．

1．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，中點四邊形EFGH是 ．
（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．
（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀（不必證明）．
平行四邊形
模型（二十九）——中點四邊形模型

中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形.
◎結(jié)論1：點M、N、P、Q是任意四邊形的中點，則四邊形MNPQ是平行四邊形.
如上圖：
【證明】
∵MN∥12BD
PQ∥12BD
∴四邊形MNPQ為平行四邊形。

如上圖
【證明】
∵MQ∥12BD，MQ＝12BD
PN∥12BD，PN＝12BD
∴MQ∥PN，MQ＝PN
∴四邊形MNPQ為平行四邊形


【證明】
∵MN∥12AC,MN＝12AC
PQ∥12AC，PQ＝12AC
∴MN∥PQ，MN＝PQ
∴四邊形MNPQ為平行四邊形

◎結(jié)論2：對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形

【證明】 由上：平行四邊形MNPQ
∵AC∥PQ
∴∠2＝∠1＝90°
∵MQ∥BD
∴∠3＝∠2＝90°
∴MNPQ為矩形.
◎結(jié)論3：對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形

【證明】由上：平行四邊形MNPQ
∵MQ＝12BD，MN＝12AC，BD＝AC
∴MQ＝MN
∴四邊形MNPQ為菱形。
◎結(jié)論4：對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形。
【證明】由結(jié)論3可知對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，所以四邊相等，再結(jié)合結(jié)論2 對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，所以四邊形MNPQ為正方形。
1．(2023·貴州·遵義五十七中八年級期中）我們把順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形，下列說法正確的是
A．任意一個四邊形的中點四邊形是菱形
B．任意一個平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形
C．對角線相等的四邊形的中點四邊形是矩形
D．對角線垂直的四邊形的中點四邊形是正方形
答案:B
分析中點四邊形的形狀取決于原四邊形的對角線的性質(zhì)：當原四邊形的對角線既不相等，也不垂直時，中點四邊形的形狀為平行四邊形；當原四邊形的對角線相等時，中點四邊形的形狀為菱形；當原四邊形的對角線垂直時，中點四邊形的形狀為矩形；當原四邊形的對角線互相垂直且相等時，中點四邊形的形狀為正方形．由此即可解答.
【詳解】選項A，由任意一個四邊形的中點四邊形是平行四邊形可判定選項A錯誤；
選項B，任意一個平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形，選項B正確；
選項C，由對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形可判定選項C錯誤；
選項D，由對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形可判定選項D錯誤.
故選B.
【點睛】本題考查了中點四邊形的性質(zhì)，熟知中點四邊形的形狀取決于原四邊形的對角線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
2．(2023·山東·淄博市臨淄區(qū)皇城鎮(zhèn)第一中學九年級期中）若順次連接一個四邊形的四邊中點所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是（ ）
A．一般平行四邊形B．對角線互相垂直的四邊形C．對角線相等的四邊形D．矩形
答案:B
【詳解】因為任意四邊形的中點四邊形都是平行四邊形，而中點四邊形的兩組對邊分別是和原四邊形的兩條對角線平行的，矩形相鄰兩邊是互相垂直的，所以原四邊形的對角線應(yīng)該互相垂直.
故選B.
3．(2023·新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學八年級期中）如圖，連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，還要添加一個條件 _____，能使四邊形EFGH是矩形．
答案:AC⊥BD
分析根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠EHG=∠1，∠1=∠2，再證明四邊形EFGH是平行四邊形，當∠EFG=90°，四邊形EFGH是矩形，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．
【詳解】解：如圖，
∵G、H、E分別是BC、CD、AD的中點，
∴
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
同理：

∴四邊形EFGH是平行四邊形，
當∠EHG=90°， 四邊形EFGH是矩形，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故還要添加AC⊥BD，才能保證四邊形EFGH是矩形．
【點睛】本題主要考查三角形的中位線定理和矩形的四個角都是直角的性質(zhì)，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1．(2023·廣西桂林·八年級期末）如圖，四邊形ABCD的四邊中點分別為E、F、G、H，順次連接E、F、G、H．
（1）判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由；
（2）若AC＝BD，判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由．
答案:（1）平行四邊形，理由見解析；（2）菱形，理由見解析
分析（1）連接AC，根據(jù)三角形中位線定理即可證得；
（2）連接BD ，由（1）得，四邊形EFGH是平行四邊形，再由三角形中位線定理，證得鄰邊相等，即可證得菱形．
【詳解】（1）四邊形EFGH為平行四邊形，理由如下：
連接AC，如圖，
在△ABC和△ADC中，
∵EF、GH分別為其中位線，
∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若AC=BD, 則四邊形EFGH為菱形，
連接BD ，如圖，
在△BCD中，
∵GF為其中位線，
∴GF=BD ，
∵EF=AC（已證），且AC=BD，
∴EF=GF ，
又∵四邊形EFGH為平行四邊形（已證），
∴四邊形EFGH為菱形．
【點睛】本題主要考查三角形中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理．連接三角形兩邊中點的線段，平行且等于第三邊的一半．
2．(2023·河北石家莊·八年級期中）四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．
（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：
①當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；
②當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．
（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．
答案:（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析
分析（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；
②根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；
（2）分別延長BA、CD相交于點M，連接AC、BD，證明，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．
【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，
∵點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，
∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四邊形EFGH都是平行四邊形，
∵對角線AC=BD，
∴EH=EF，
∴四邊形ABCD的中點四邊形是菱形；
②當對角線AC⊥BD時，EF⊥EH，
∴四邊形ABCD的中點四邊形是矩形；
故答案為：菱；矩；
（2）四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形．理由如下：
分別延長BA、CD相交于點M，連接AC、BD，
∵，∴是等邊三角形，∴，，
∵，∴，∴，，
在和中，
，
∴，∴，
∴四邊形ABCD的對角線相等，中點四邊形EFGH是菱形．
【點睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點四邊形的定義，掌握中點四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
3．(2023·江蘇·高港實驗學校八年級階段練習）如圖1，在四邊形中，如果對角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．
（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；
②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點，當對角線、還要滿足______時，四邊形是正方形．
（2）如圖2，已知在中，，，，為平面內(nèi)一點．
①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．
②設(shè)點是所在平面上的任意一點且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說明理由．
答案:（1）①矩形；②；（2）①；②18，理由見解析
分析（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，只有矩形的對角線相等，所以矩形是等角線四邊形；②當時，四邊形是正方形，首先證明四邊形是菱形，再證明有一個角是直角即可；
（2）①如圖2中，作于．根據(jù)計算，求出相關(guān)線段即可；②如圖3中，設(shè)與相交于點，連接，只要證明當且、、共線時，四邊形的面積最大即可．
【詳解】解：（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，
矩形的對角線相等，
矩形一定是等角線四邊形，
故答案為：矩形；
②當時，四邊形是正方形．
理由：如圖1，
、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點，
，，，，
，
，
四邊形是菱形，
，，，
，
四邊形是正方形．
故答案為：；
（2）①如圖2，作于．
在中，，，，
，
，，
，
四邊形是等角線四邊形，
，
在中，，
．
四邊形的面積為；
②如圖3中，設(shè)與相交于點，連接，
作于，于．則，，
四邊形是等角線四邊形，
，
，
即，
當、重合時，即時，等號成立，
，
，
即線段最大時，四邊形的面積最大，
，
，
，
的最大值為6，
當、、共線時，取等號，
四邊形的面積的最大值為．
故答案為：18．
【點睛】本題考查四邊形綜合題、中點四邊形、三角形中位線定理、正方形的判定和性質(zhì)、圓等知識，解題的關(guān)鍵是理解等角線四邊形的定義，學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．
1．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，中點四邊形EFGH是 ．
（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．
（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀（不必證明）．
答案:（1）平行四邊形；（2）菱形，見解析；（3）正方形
分析（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；
（2）證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；
（3）證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．
【詳解】解：（1）如圖1，連接BD，
∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，
∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中點四邊形EFGH是平行四邊形，
故答案為：平行四邊形；
（2）結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，
理由：如圖2，連接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD，
∵點E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點，
∴EF=AC，F(xiàn)G=BD，
∴EF=FG，
由（1）知中點四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是菱形；
（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，
理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點O．AC與PD交于點M，
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠DOC=90°，
由（2）知中點四邊形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學會添加常用輔助線．

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