專題3.6 乘法公式的幾何背景專項訓(xùn)練（30道）（舉一反三）（學(xué)生版） 2022年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（浙教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）
A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b） C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．
②計算：(1-122)(1-132)(1-142)?(1-120202)(1-120212)．
2．如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b（b＜a）的小正方形．如圖2所示是由圖1中的陰影部分拼成的一個長方形．
（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，則S1＝，S2＝（直接用含a，b的代數(shù)式表示）
（2）請寫出上述過程所揭示的數(shù)學(xué)公式；
（3）試?yán)眠@個公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
3．將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形（如圖2），解答下列問題：
（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請用含a，b的式子表示：S1＝，
S2＝；（不必化簡）
（2）由（1）中的結(jié)果可以驗證的乘法公式是；
（3）利用（2）中得到的公式，計算：20212﹣2020×2022．
4．某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：
（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是．
（2）先剪出一個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？
（3）先剪出兩個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分，別為a和b的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個長方形？如果可以，請畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式，如果不能，請說明理由．
5．從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
（1）上述操作能驗證的等式是；
（2）運(yùn)用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②計算：(1-122)×(1-132)×(1-142)×?×(1-120202)×(1-120212)．
6．如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．
（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：．
（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；
②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
7．探究下面的問題：
（1）如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．
（2）運(yùn)用你所得到的公式計算：
①10.3×9.7； ②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
8．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)問題時，如：學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請嘗試解決問題．
構(gòu)圖一，小函同學(xué)從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖（1）），然后拼成一個平行四邊形（如圖（2）），那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為（）．
A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
構(gòu)圖二、小云同學(xué)在數(shù)學(xué)課上畫了一個腰長為a的等腰直角三角形，如圖3，他在該三角形中畫了一條平行于一腰的線段，得到一個腰長為b（a＞b）的新等腰直角三角形，請你利用這個圖形推導(dǎo)出一個關(guān)于a、b的等式．
9．用紙片拼圖時，我們發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三種紙片（邊長分別為a，b的正方形和長為b寬為a的長方形）各若干，可以拼出一些長方形來解釋某些等式，比如圖2可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）圖3可以解釋為等式；
（2）要拼出一個兩邊長為a+b，2a+b的長方形，需要圖1中的三種紙片各多少塊？請先畫出圖形，再利用整式乘法驗證你的結(jié)論．
10．如圖1，是邊長分別為a和b的兩種正方形紙片．
（1）若用這兩種紙片各1張按照如圖2方式放置，其未疊合部分（陰影部分）面積為S1，則S1＝；（用含a，b的代數(shù)式表示）
（2）在（1）中圖2的基礎(chǔ)上，再在大正方形的右下角擺放一張邊長為b的小正方形紙片（圖3），兩個小正方形疊合部分（陰影部分）面積為S2，試求S2．（用含a，b的代數(shù)式表示）
11．完全平方公式是多項式乘法（a+b）（p+q）中，p＝a，q＝b的特殊情形．完全平方公式可以用圖形表示說明．
知識再現(xiàn)
如圖1，大正方形的面積有兩種表示方法．
方法一：大正方形可以看作是邊長為（a+b）的正方形，則大正方形的面積可以表示為；
方法二：大正方形的面積還可以看作是兩個正方形的
面積與兩個長方形的和，即S1，S2，S3，S4的和，則大正方形的面積可以表示為；
所以圖1中大正方形的面積可以說明的公式是；
經(jīng)驗總結(jié)
完全平方公式可以從“數(shù)”和“形”兩個角度進(jìn)行探究，并通過公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題．
例如：如圖1，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：解：∵a+b＝3，∴（ab）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．
方法二：解：∵a+b＝3，即大正方形的面積為9，∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
應(yīng)用遷移
如圖2，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作
正方形，連接BD，若AB＝5，兩正方形的面積和S1+S2＝13，
求△BCD的面積．（用兩種方法解答）
12．圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．
（1）觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系為．
（2）運(yùn)用你所得到的公式，計算：若m、n為實數(shù)，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，試求m+n的值．
（3）如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，求圖中陰影部分面積．
13．（1）【觀察】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．請你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系：．
（2）【應(yīng)用】若m+n＝6，mn＝5，則m﹣n＝；
（3）【拓展】如圖3，正方形ABCD的邊長為x，AE＝5，CG＝15，長方形EFGD的面積是300，四邊形NGDH和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．
14．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．
（1）請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．
方法1：；
方法2：．
（2）請你直接寫出三個代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系．
（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．
15．如圖1，有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長為a的正方形，B型是邊長為b的正方形，C型是長為b，寬為a的長方形．現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．
（1）觀察圖2，請你用兩種方法表示出圖2的總面積．
方法1：；
方法2：；
請利用圖2的面積表示方法，寫出一個關(guān)于a，b的等式：．
（2）已知圖2的總面積為49，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為25，求ab的值．
（3）用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，若a+b＝8，ab＝15，求圖3中陰影部分的面積．
16．利用平面圖形中面積相等的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．例如：根據(jù)圖①，
我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）根據(jù)圖②，可以得到的數(shù)學(xué)公式是；
（2）根據(jù)圖③，請寫出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量關(guān)系是．
（3）根據(jù)圖④，請寫出一個等式：；
（4）小明同學(xué)使用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，恰好拼成一個面積為（3a+b）（a+3b）的長方形，則可得x+y+z的值為；
（5）類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．現(xiàn)請你根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：．
17．閱讀材料：若滿足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：設(shè)8﹣x＝a，x﹣6＝b，則（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
請仿照上例解決下面的問題：
（1）問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）類比探究：若x滿足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；
（3）拓展延伸：如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個長方形，分別延長AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點，構(gòu)成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形．若正方形ABCD的邊長為x，AE＝10，CG＝20，長方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．
18．【教材呈現(xiàn)】圖①、圖②、圖③分別是華東師大版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第33頁、第34頁和第52頁的圖形，結(jié)合圖形解決下列問題：
（1）分別寫出能夠表示圖①、圖②中圖形的面積關(guān)系的乘法公式：，．
（2）圖③是用四個長和寬分別為a、b的全等長方形拼成的一個正方形（所拼圖形無重疊、無縫隙），寫出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之間的等量關(guān)系：．
【結(jié)論應(yīng)用】根據(jù)上面（2）中探索的結(jié)論，回答下列問題：
（3）當(dāng)m+n＝5，mn＝4時，求m﹣n的值．（4）當(dāng)A=m+34，B＝m﹣3時，化簡（A+B）2﹣（A﹣B）2．
19．閱讀下列文字：
我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．圖1給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個邊長為a、b的長方形紙片．請解答下列問題：
（1）圖2是由圖1提供的幾何圖形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；
（2）請寫出圖3中所表示的數(shù)學(xué)等式：；
（3）請按要求利用所給的紙片在圖4的方框中拼出一個長方形，要求所拼出圖形的面積為（2a+b）（a+b），進(jìn)而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝；
（4）利用（3）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+b的值．
20．閱讀下列文字，我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請解答下列問題：
（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）圖3中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片．若干個長為a和寬為b的長方形紙片，利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，使得計算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
21．發(fā)現(xiàn)與探索：小麗發(fā)現(xiàn)通過用兩種不同的方法計算同一幾何體體積，就可以得到一個恒等式．如圖是棱長為（a+b）的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．
（1）用不同的方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個等式，這個等式為；
（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．
22．閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些等式也可以用這種方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用圖1或圖2來表示．
（1）上述的方法體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)思想方法，這種數(shù)學(xué)思想方法是．
A、轉(zhuǎn)化思想 B、方程思想 C、數(shù)形結(jié)合思想 D、分類討論
（2）請寫出圖3中所表示的整式乘法的等式．
（3）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能夠表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
23．閱讀下面的材料，然后解答后面的問題：
在數(shù)學(xué)中，“算兩次”是一種常用的方法．其思想是，對一個具體的量用方法甲來計算，得到的答案是A，而用方法乙計算則得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我們運(yùn)用“算兩次”的方法計算圖1中最大的正方形的面積，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
理解：（1）運(yùn)用“算兩次”的方法計算圖2中最大的正方形的面積，可以得到的等式是；
應(yīng)用：（2）七（1）班某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組用8個直角邊長為a、b的全等直角三角形拼成如圖3所示的中間內(nèi)含正方形A1B1C1D1與A2B2C2D2的正方形ABCD，運(yùn)用“算兩次”的方法計算正方形A2B2C2D2的面積，可以得到的等式是；
拓展：如圖4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點D是AB上一動點．求CD的最小值．
24．如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）．
（1）根據(jù)上述過程，寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系：；
（2）利用（2）中的結(jié)論，若x+y＝4，xy=94，則（x﹣y）2的值是；
（3）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，如圖③，請你寫出這個等式：；
（4）如圖④，點C是線段AB上的一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)BC＝1時，△BEG的面積記為S1，當(dāng)BC＝2時，△BEG的面積記為S2…，以此類推，當(dāng)BC＝n時，△BEG的面積記為Sn時，試求S2021﹣S2020的值．
25．某地產(chǎn)公司為了吸引年輕人購房，推出“主房+多變?nèi)霊艋▓@”的兩種戶型．即在圖1中邊長為a米的正方形主房進(jìn)行改造．
戶型一是在主房兩側(cè)均加長b米（0＜9b＜a）．陰影部分作為入戶花園，如圖2所示．
戶型二是在主房一邊減少b米后，另一邊再增加b米，陰影部分作為入戶花園．如圖3所示．
解答下列問題：
（1）設(shè)兩種戶型的主房面積差為M，入戶花園的面積差為N，試比較M和N的大?。?br>（2）若戶型一的總價為50萬元，戶型二的總價為40萬元，試判斷哪種戶型單價較低，并說明理由．
26．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．
（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．
（2）用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這三個代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系．
（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：
①當(dāng)a+b＝5，ab＝﹣6時，則a﹣b的值為．
②設(shè)A=x+2y-34，B＝x﹣2y﹣3，計算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的結(jié)果．
27．（1）在數(shù)學(xué)中，完全平方公式是比較熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，則a2+b2＝；
（2）如圖1，線段AB上有一點C，以AC、CB為直角邊在上方分別作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面積為6，設(shè)AC＝a，BC＝b，求△ACE與△CBF的面積之和；
（3）如圖2，兩個正方形ABCD和EFGH重疊放置，兩條邊的交點分別為M、N．AB的延長線與FG交于點Q，CB的延長線與EF交于點P，已知AM＝7，CN＝3，陰影部分的兩個正方形EPBM和BQGN的面積之和為60，則正方形ABCD和EFGH的重疊部分的長方形BMHN的面積為．
28．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因為a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因為ab＝1，所以a2+b2＝7．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝；
（3）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝2，長方形EMFD的面積是12，分別以MF、DF為邊作正方形MFRN和正方形GFDH，則x的值為．
29．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請解答下列問題：
（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．
（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝．
（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張兩邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（5a+7b）（9a+4b）的長方形，則x+y+z＝．
30．學(xué)習(xí)整式乘法時，老師拿出三種型號的卡片，如圖1：A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形．
（1）選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個為（a+b）的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式；
（2）請用這3種卡片拼出一個面積為a2+5ab+6b2的長方形（數(shù)量不限），在圖3的虛線框中畫出示意圖，并在示意圖上按照圖2的方式標(biāo)注好長方形的長與寬；
（3）選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長方形）為沒有放置卡片的部分．已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為S1，S2．若S＝S2﹣S1，則當(dāng)a與b滿足時，S為定值，且定值為．（用含a或b的代數(shù)式表示）

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