2021-2022學(xué)年福建省石獅市區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

這是一份2021-2022學(xué)年福建省石獅市區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案，共26頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 使二次根式有意義的x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x+1≥0，再解即可．
【詳解】由題意得：x+1≥0，
解得：x≥-1，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
2. 若，則的值為( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用b表示出a，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】∵，
∴，
∴=．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，用b表示出a是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，在中，，則的長（ ）
A. 4B. C. 2D. 5
【答案】A
【解析】
分析】根據(jù)平行線截線段成比例即可解答．
【詳解】∵，
∴，即，
解得：．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線截線段成比例．正確的列出比例式是解題關(guān)鍵．
4. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. +=B. =2
C. ?=D. ÷=2
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加減法對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)D進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A.與不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B.原式=3，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C.原式==，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D.原式==2，所以D選項(xiàng)正確，符合題意．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
5. 某路口的交通信號(hào)燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】隨機(jī)事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
【詳解】解：每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，
當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件可以得到是的中位線，則，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
又∵EF=2，
∴OB=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的判定定理及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7. 若把方程化為的形式，則的值是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)配方法求解即可．
【詳解】解：將配方得，
，
則，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，△ABC的兩條中線AD、CE交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)BG并延長，交邊AC于點(diǎn)F，那么下列結(jié)論不正確的是( )
AF=FC；B. GF=BG；
C. AG=2GD ；D. ．
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形重心的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】A.∵△ABC的兩條中線AD、CE交于點(diǎn)G，
∴點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴BF是的中線，
∴AF=FC，故A正確；
B. ∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴2GF=BG，故B錯(cuò)誤；
C. ∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴AG=2GD ，故C正確；
D. ∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴，故D正確.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．
9. 如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)格點(diǎn)和和交于，為（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接格點(diǎn)MN、DM，可得MN//EC，由平行線的性質(zhì)得出∠DNM=∠CPN，證出∠DMN=90°，由三角函數(shù)定義即可得出答案．
【詳解】連接格點(diǎn)MN、DM，如圖所示：
則四邊形MNCE是平行四邊形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC//MN，∠DMA=∠NMB=45°，DM=AD=，MN=BM=，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=180°-∠DMA-∠NMB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，找出與∠CPN相等的角是解題關(guān)鍵．
10. 如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，以為底邊在其右側(cè)作等腰三角形，使，連結(jié)，則的值為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)DE與AC交于點(diǎn)F，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，可得DA＝DB，從而證明∠ADE＝∠DAB，得到AB∥DE，，進(jìn)而得到DE是AC的垂直平分線，然后可得ED＝EC，最后證明△DCE∽△BAD，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：設(shè)DE與AC交于點(diǎn)F，
∵∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴AB∥DE，
∴∠BAC＝∠DFC＝90°，
∵DA＝DC，
∴DE是AC的垂直平分線，
∴EA＝EC，
∵EA＝ED，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∴∠DAB＝∠ECD，
∴△DCE∽△BAD，
∴，
∵∠BAC＝90°，csB＝，
∴，
∴＝3，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11. 計(jì)算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接合并同類二次根式即可求解．
【詳解】解：原式＝．
故答案為
【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：二次根式減法.合并同類二次根式是關(guān)鍵.
12. 表中記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：
由此估計(jì)這種蘋果樹苗移植成活的概率約為______（精確到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】根據(jù)概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，
∴這種蘋果樹苗移植成活率的概率約為0.9.
故答案為：0.9.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即概率．
13. 實(shí)數(shù)的整數(shù)部分____________．
【答案】
【解析】
【分析】用夾逼法估算無理數(shù)即可得出無理數(shù)的整數(shù)部分．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整數(shù)部分是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，某河堤迎水坡的坡比，堤高，則坡面的長是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【詳解】解：∵= 1：，
∴tanA= 1：=，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=10m，
故答案為:．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握坡比的意義是解答本題的關(guān)鍵．
15. 已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長恰好分別是方程的兩根，則此三角形的斜邊長為___________．
【答案】10
【解析】
【分析】先解方程，得出兩根，再利用勾股定理來求解即可．
詳解】解：∵，
∴（x?6）（x?8）＝0，
∴x＝6或8；
∴兩直角邊為6和8，
∴此三角形的斜邊長＝＝10，
故答案是：10．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，用到的知識(shí)點(diǎn)是因式分解法和勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的解法．
16. 如圖，正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)H，連結(jié)，有以下五個(gè)結(jié)論：
①；②；③；④若，則，你認(rèn)為其中正確的是_________（填寫序號(hào)）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根據(jù)等式的基本性質(zhì)確定出；②再根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長的倍，得到兩邊對(duì)應(yīng)成比例，再根據(jù)角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷；③由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD對(duì)角線上，根據(jù)正方形對(duì)角線垂直即可作出判斷．④根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似得到△EBH∽△DBE，從而得到比例式，BE2＝BH?BD，設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，結(jié)合BE2＝BH?BD，求出BH，DH，即可判斷．
【詳解】解：①∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE是對(duì)角線，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45°?∠DBF，∠DBE＝45°?∠DBF，
∴，
∴選項(xiàng)①正確；
②∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴
又∵，
∴，
∴選項(xiàng)②正確；
③由②知：，
又∵四邊形ABCD為正方形，BD為對(duì)角線，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一條對(duì)角線上，
∴AF⊥BD，
∴③正確，
④∵四邊形BGEF和四邊形ABCD均為正方形，BD，BE對(duì)角線，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH?BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∵，
∴設(shè)CE=x，DE=3x，則BC=CD=4x，
∴BE=，
∵BE2＝BH?BD，
∴，
∴DH=BD-BH=,
∴，
故④錯(cuò)誤，
綜上所述：①②③正確，
故答案是：①②③．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9小題，共86分）
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而利用實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則得出答案．
【詳解】解：原式＝＝．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法即可求解．
【詳解】解：原方程變形得：，
或，
解得：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在中，．
（1）尺規(guī)作圖：在上取一個(gè)點(diǎn)D，使得；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接，求證：．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用尺規(guī)作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，證明即可．
【小問1詳解】
如圖，點(diǎn)即為所求
【小問2詳解】
連接，
由（1）可知
．
又
即
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
20. “疫情”期間，某商場積壓了一批商品，現(xiàn)欲盡快清倉，確定降價(jià)促銷．據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品盈利50元時(shí)，可售出500件，商品單價(jià)每下降1元，則可多售出20件．設(shè)每件商品降價(jià)x元．
（1）每件商品降價(jià)x元后，可售出商品____________件（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）若要使銷售該商品的總利潤達(dá)到28000元，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)每件商品降價(jià)x元,根據(jù)題意“商品單價(jià)每下降1元，則可多售出20件”，列出代數(shù)式即可，
（2）根據(jù)總利潤達(dá)到28000元，列出一元二次方程，解方程求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)每件商品降價(jià)x元,每件商品降價(jià)x元后，則可多售出20件,則可售出商品，
故答案為：
【小問2詳解】
解：由（1）可知可售出商品，依題意得，
，
解得，
根據(jù)盡快清倉，則
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
21. 關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果是方程的兩個(gè)解，令，求w的最大值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1＋x2＝3，x1?x2＝k＋1，結(jié)合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增減性可求w的最大值．
【小問1詳解】
解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x＋k＋1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2?4ac＝（?3）2?4×1×（k＋1）≥0，
解得：k≤，
∴k的取值范圍為k≤；
【小問2詳解】
∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?3x＋k＋1＝0的兩個(gè)解，
∴x1＋x2＝3，x1?x2＝k＋1．
∴w＝x1x22＋x12x2＋k＝x1x2（x1＋x2）＋k＝3（k＋1）＋k＝4k＋3，
∴k＝時(shí)，w的最大值為4×＋3＝5＋3＝8．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合w＝x1x22＋x12x2＋k，根據(jù)增減性可求w的最大值．
22. 如圖所示，小明家住在30米高的A樓里，小麗家住在B樓里，B樓坐落在A樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)太陽光線與水平面的夾角為30°．
（1）如果A、B兩樓相距16米，那么A樓落在B樓上的影子有多長？
（2）如果A樓的影子剛好不落在B樓上，那么兩樓的距離應(yīng)是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（1）A樓落在B樓上的影子有14m．（2）如果A樓的影子剛好不落在B樓上，那么兩樓的距離應(yīng)是30米．
【解析】
【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CE的長，進(jìn)而得出答案；
（2）可根據(jù)A樓，地面和光線正好構(gòu)成直角三角形，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求解．
【詳解】解：（1）如圖，過D作DE⊥CG于E， ED=16，∠CDE=30°，
∴CE=DE?tan30°=16×=16（m），
故DF=EG=CG-CE=30-16=14（m），
答：A樓落在B樓上的影子有14m．
（2）延長CD交GF于點(diǎn)H，
當(dāng)A樓的影子剛好不落在B樓上，
則GH===30（m），
答：如果A樓的影子剛好不落在B樓上，那么兩樓的距離應(yīng)是30米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．
23. 為了監(jiān)控一條生產(chǎn)線上某種零件的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔20分鐘從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：毫米）．下表是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的24個(gè)零件尺寸的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：
記零件尺寸的數(shù)據(jù)為x，根據(jù)尺寸的不同范圍設(shè)置不同的零件等級(jí)如下表（m為正數(shù)）：
（1）求這24個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（2）從這條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取1個(gè)零件，求這個(gè)零件恰好是超標(biāo)零件的概率；
（3）記“這24個(gè)零件中一級(jí)零件不到20%”為事件A．求事件A必然成立的m的取值范圍．
【答案】（1）109.0
（2）

（3）m＜0.3
【解析】
【分析】（1）這根據(jù)中位數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）由表中數(shù)據(jù)可知，24個(gè)零件中，超標(biāo)零件共有6個(gè)，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到一級(jí)零件的個(gè)數(shù)最多是4個(gè)，得到這四個(gè)零件的尺寸是108.9，109.0，109.0，109.1．根據(jù)事件A必然成立，確定m