2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第01講 集合
目錄
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.
（2）元素與集合的關(guān)系：屬于 或 不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.
（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；
②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.
集合應(yīng)滿足.
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.
具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.
2、集合間的基本關(guān)系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.
（4）空集的性質(zhì)： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本運(yùn)算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補(bǔ)集：對于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補(bǔ)集，簡稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．
4、集合的運(yùn)算性質(zhì)
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【解題方法總結(jié)】
（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
題型一：集合的表示：列舉法、描述法
例1．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（ ）
A．0B．1C．－1D．
【答案】C
【解析】根據(jù)條件分別令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故選：C．
例2．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】，則，則中元素的個(gè)數(shù)為
故選：C
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．5C．4D．7
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
【解題總結(jié)】
1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.
2、描述法，注意代表元素.
題型二：集合元素的三大特征
例4．（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【解析】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
例5．（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，
故選：A
例6．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知集合，且，則a可以為（ ）
A．－2B．－1C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∴，
可知，故A、C、D錯(cuò)誤；，故B正確.
故選：B
【解題方法總結(jié)】
1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。
2、研究兩個(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。
題型三：元素與集合間的關(guān)系
例7．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知，若，且，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，且，
解得，
故選：B
例8．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．0C．或0D．無解
【答案】C
【解析】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，有一解，
則，解得：，
綜上可得：或，
故選：C.
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】由橢圓的性質(zhì)得，
又,
所以集合
共有11個(gè)元素.
故選：C
【解題方法總結(jié)】
1、一定要牢記五個(gè)大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別．
2、當(dāng)集合用描述法給出時(shí)，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù)，是 還是 ．
題型四：集合與集合之間的關(guān)系
例10．（多選題）（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）若非空集合滿足：，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可得，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)榍?，所以，則，故選項(xiàng)正確；
由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：.
例11．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋驗(yàn)椋?br>所以集合是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.
故選：B
例12．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意集合，
，
若，則，此時(shí)，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故?,
故；
若，則，此時(shí)，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故?,
故；
若，則，此時(shí)，滿足?,
綜合以上可得，
故選：C
例13．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】集合，.
要使，只需，解得：.
故選：A
【解題方法總結(jié)】
1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.
2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：
（1）定義法進(jìn)行判斷
（2）數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷
題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算
例14．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?，則，
故集合的元素個(gè)數(shù)為.
故選：B.
例15．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
即，，
所以，，，
所以，.
故選：C.
例16．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；
選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，
故選：B
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為________.
【答案】3
【解析】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有(人)，
因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有(人)，
因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短視頻的有(人)，
所以沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.
故答案為：3
【解題方法總結(jié)】
1、注意交集與并集之間的關(guān)系
2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念
題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨設(shè)，則的值為，
顯然，，所以集合Y中至少有以上5個(gè)元素，
不妨設(shè)，
則顯然，則集合S中至少有7個(gè)元素，
所以不可能，故排除A選項(xiàng)；
其次，若，則集合Y中至多有6個(gè)元素，則，故排除B項(xiàng)；
對于集合T，取，則，此時(shí)，，故D項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)而言，，則與一定成對出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D.
例19．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知集合A，B滿足，若，且，表示兩個(gè)不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．4C．27D．8
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為；
當(dāng)時(shí)，集合B可以為.
故滿足題意的“AB互襯對”個(gè)數(shù)為27.
故選：C
例20．（2023·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【解析】對于條件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個(gè)元素，
又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個(gè)數(shù)最多不能超過10個(gè)，
故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個(gè)元素，
例如.
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個(gè)數(shù)的問題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法
題型七：集合的創(chuàng)新定義
例21．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．55B．76C．110D．113
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，所以．相當(dāng)于集合中除去形式的數(shù)，其前45項(xiàng)包含了15個(gè)這樣的數(shù)，所以．
則，
故選：C.
例22．（多選題）（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預(yù)測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
【答案】BD
【解析】對于A，因?yàn)?，，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，則滿足戴德金分割，
此時(shí)M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故B正確；
對于C，若M有一個(gè)最大元素，設(shè)為a，N有一個(gè)最小元素，設(shè)為b，則，
則，而內(nèi)也有有理數(shù)，
則，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，，
則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，
故選：BD
例23．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為_____________．
【答案】7
【解析】由題設(shè)，令集合，共有7個(gè)元素，
所以的三元子集，如下共有35個(gè)：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因?yàn)橹屑蠞M足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以中元素滿足要求的有：
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個(gè)元素.
故答案為：7
【解題方法總結(jié)】
1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，一般情況下，它所涉及到的知識(shí)和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化.
2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時(shí)為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解。
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)可得，故，
故選：B.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】由題意，中的元素滿足，且，
由，得，
所以滿足的有，
故中元素的個(gè)數(shù)為4.
故選：C.
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）集合的概念與表示
（2）集合的基本關(guān)系
（3）集合的基本運(yùn)算
2022年 I卷II卷第1題，5分
2021年I卷II卷第1題，5分
2020年I卷II卷第1題，5分
高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大. 重點(diǎn)是集合間的基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)合.同時(shí)適當(dāng)關(guān)注集合與充要條件相結(jié)合的解題方法.
數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號
或

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第01講 集合-【練透核心考點(diǎn)】2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全題型突破（新教材新高考）

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