2、精練習題。復習時不要搞“題海戰(zhàn)術”，應在老師的指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
第01講 函數(shù)的概念
目錄
1、函數(shù)的概念
（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數(shù)的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．
2、函數(shù)的三要素
（1）函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域．
（2）如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)．
3、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
【解題方法總結】
1、基本的函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：
（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
（4）零次冪或負指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍； = 2 \* GB3 ②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；
（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域．
2、基本初等函數(shù)的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當時，值域為；當時，值域為．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
題型一：函數(shù)的概念
例1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對任意都有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于A，當時，；當時，，
不符合函數(shù)定義，A錯誤；
對于B,令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，B錯誤；
對于C, 令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，C錯誤；
對于D, ,,則，則存在時，，
符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿足：對任意都有，D正確，
故選：D
例2．（2023·重慶·二模）任給，對應關系使方程的解與對應，則是函數(shù)的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對應，，則，則的范圍要包含，
故選：A．
例3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對于一個，只能有唯一的與之對應，只有D滿足要求
故選：D
變式1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點個數(shù)（ ）
A．至少1個B．至多1個C．僅有1個D．有0個、1個或多個
【答案】B
【解析】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內，y=f(x)的圖象與直線沒有交點，
若1在函數(shù)f(x)的定義域內，y=f(x)的圖象與直線有1個交點，
故選：B.
【解題方法總結】
利用函數(shù)概念判斷
題型二：同一函數(shù)的判斷
例4．（2023·高三課時練習）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】對于A：的定義域為，的定義域為.因為定義域不同，所以和不是同一個函數(shù).故A錯誤；
對于B：的定義域為，的定義域為.因為定義域不同，所以和不是同一個函數(shù).故B錯誤；
對于C：的定義域為，的定義域為，所以定義域相同.又對應關系也相同，所以為同一個函數(shù).故C正確；
對于D：的定義域為，的定義域為.因為定義域不同，所以和不是同一個函數(shù).故D錯誤；
故選：C
例5．（2023·全國·高三專題練習）下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的一組是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】對于，和的定義域都是，對應關系也相同，是同一個函數(shù)，故選項正確；
對于，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不同，不是同一個函數(shù)，故選項錯誤；
對于，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不同，不是同一個函數(shù)，故選項錯誤；
對于，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不同，不是同一個函數(shù)，故選項錯誤，
故選：.
例6．（2023·全國·高三專題練習）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【答案】D
【解析】對于A：的定義域是，的定義域是，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，
對于B：，，的定義域是，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，
對于C：的定義域為，的定義域是，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，
對于D：對應點的坐標為，，，對應點的坐標為，，，兩個函數(shù)對應坐標相同，是同一函數(shù)，
故選：D．
【解題方法總結】
當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．
題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域
例7．（2023·北京·高三專題練習）函數(shù)的定義域為________.
【答案】
【解析】令，可得，解得.
故函數(shù)的定義域為.
故答案為:.
例8．（2023·全國·高三專題練習）若，則_________.
【答案】或
【解析】由有意義可得
，
所以或，
當時，，，
當時，，，
故答案為：或.
例9．（2023·高三課時練習）函數(shù)的定義域為______．
【答案】
【解析】要使函數(shù)有意義，則 ，解得.
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域為___________.
【答案】
【解析】由可得，即，所以，代入
即，解得或（舍），則
所以
解得
所以函數(shù)定義域為
故答案為:
變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題設有，
由得，故選A.
【解題方法總結】
對求函數(shù)定義域問題的思路是：
（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．
題型四：抽象函數(shù)定義域
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為， 則函數(shù)的定義域為_____
【答案】
【解析】令，由得：，
所以，即，
所以，函數(shù)的定義域為.
故答案為：
例11．（2023·高三課時練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．
【答案】
【解析】因為函數(shù)的定義域為，
所以在函數(shù)中，，解得或，
故函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
例12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)定義域為 ，則函數(shù)的定義域為_______.
【答案】
【解析】因的定義域為，則當時，，
即的定義域為，于是中有，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______
【答案】
【解析】由函數(shù)的定義域是，得到，故 即 .
解得: ；所以原函數(shù)的定義域是：.
故答案為：.
變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為__________．
【答案】
【解析】由解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
【解題方法總結】
1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號范圍相同．已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域
2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．
題型五：函數(shù)定義域的應用
例13．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】的定義域是R，則恒成立，
時，恒成立，
時，則，解得，
綜上，．
故答案為：．
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知的定義域為，那么a的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】依題可知，的解集為，所以，解得．
故答案為：．
例15．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】因為函數(shù)的定義域為 R，所以的解為R，
即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，
（1）當時，函數(shù)與x軸沒有交點，故成立；
（2）當時，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，則，解得.
綜上：實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
變式6．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由函數(shù)的定義域為R,得恒成立,化簡得恒成立,所以由解得:.
故答案為:.
【解題方法總結】對函數(shù)定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論．
題型六：函數(shù)解析式的求法
例16．（2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；
(4)已知滿足，求的解析式.
【解析】(1)設，，則
∵
∴ ，
即，
(2)∵
由勾型函數(shù)的性質可得，其值域為
所以
(3)由f(x)是一次函數(shù)，可設f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴將x用替換，得，②
由①②解得f(x)=3x.
例17．（2023·全國·高三專題練習）根據(jù)下列條件，求的解析式
(1)已知滿足
(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；
(3)已知滿足
【解析】（1）令，則，
故，
所以；
（2）設，
因為，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）因為①，
所以②，
②①得，
所以.
例18．（2023·全國·高三專題練習）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知，則的解析式為__________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對任意的實數(shù)x，y都有，求的解析式．
【解析】（1）方法一（換元法）：令，則，．
所以，
所以函數(shù)的解析式為．
方法二（配湊法）：．
因為，所以函數(shù)的解析式為．
（2）將代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的解析式.
【解析】由，令，則，
所以，
所以.
變式8．（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）寫出一個滿足：的函數(shù)解析式為______.
【答案】
【解析】中，令，解得，
令得，故，
不妨設，滿足要求.
故答案為：
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的單調函數(shù)，若對任意都有，則方程的解集為_______．
【答案】．
【解析】∵定義在上的單調函數(shù)，對任意都有，
令，則，
在上式中令，則，解得，
故，
由得，即，
在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖像，
可知這兩個圖像有2個交點，即和，
則方程的解集為．
故答案為：.
【解題方法總結】求函數(shù)解析式的常用方法如下：
（1）當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解．
（2）當已知表達式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．
（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．
（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求．
（5）當出現(xiàn)大基團換元轉換繁瑣時，可考慮配湊法求解．
（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構造另一個方程，消元的方法求出．
題型七：函數(shù)值域的求解
例19．（2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【解析】（1）分式函數(shù)，
定義域為，故，所有，
故值域為；
（2）函數(shù)中，分母，
則，故值域為；
（3）函數(shù)中，令得，
易見函數(shù)和都是減函數(shù)，
故函數(shù)在時是遞減的，故時，
故值域為；
（4），
故值域為且；
（5），
而，，
，，
即，故值域為；
（6）函數(shù)，定義域為，令，
所以，所以，對稱軸方程為，
所以時，函數(shù)，故值域為；
（7）由題意得，解得，
則，
故，，，
由y的非負性知，，故函數(shù)的值域為；
（8）函數(shù)，定義域為，，故，即值域為；
（9）函數(shù)，定義域為，
故，所有，故值域為；
（10）函數(shù)，
令，則由知，，，
根據(jù)對勾函數(shù)在遞減，在遞增,
可知時，，故值域為.
例20．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域為 __．
【答案】
【解析】因為函數(shù)的值域是，
所以函數(shù)的值域為，
則的值域為，
所以函數(shù)的值域為．
故答案為：．
例21．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為_____
【答案】
【解析】表示點與點連線的斜率，
的軌跡為圓，
表示圓上的點與點連線的斜率，
由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，
則設過的圓的切線方程為，即，
圓心到切線的距離，解得：，
結合圖象可知：圓上的點與點連線的斜率的取值范圍為，
即的值域為.
故答案為：.
變式10．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）函數(shù)的最大值為______.
【答案】/
【解析】因為，
令，則，
令，，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，
即，則，
即函數(shù)的最大值為，當且僅當時取等號.
故答案為：
變式11．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為______.
【答案】
【解析】由有意義可得，所以，
的定義域為，
，
設，則，，則.
故答案為：．
【解題方法總結】
函數(shù)值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復合函數(shù)的值域．
（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．
（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉化為二次型函數(shù)．
（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內便于分析．
（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）．
（8）單調性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內的單調性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當ac>0時可利用單調性法．
（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達式的有界性，求出值域．因為常出現(xiàn)反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有界性法．
（10）導數(shù)法：先利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域．
題型八：分段函數(shù)的應用
例22．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
【答案】A
【解析】由分段函數(shù)知：當時，周期，
所以，
所以．
故選：A
例23．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)且，則（ ）
A．-16B．16C．26D．27
【答案】C
【解析】當時，，
當時，，
所以，
故選：C
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】當時，，
所以，即，解得，
當時，，
所以，即，解得，
所以，的取值范圍是
故選：D
變式12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則使的可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】①當時，由，可得，
若時，則，此時無解，
若時，由，解得；
②當時，由，可得或.
若時，則，由可得，方程無解，
若時，由可得或，由可得或.
綜上所述，滿足的的取值集合為.
故選：BCD.
變式13．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，
當時，，
其中當時，，此時，解可得，符合題意；
當時，，此時，解可得或，符合題意；
當時，必有，
此時，變形可得或，
若，解可得，
若，無解；
綜合可得：或或或，分析可得選項可得：ACD符合；
故選：ACD．
【解題方法總結】
1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應的解析式代入求值
2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進行檢驗所求是否在相應的分段區(qū)間內．
1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題知：，解得且.
所以函數(shù)定義域為.
故選：B
2．（2014·江西·高考真題）已知函數(shù)f(x)=(a∈R)，若，則a=（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】由題意得，
所以，解得a=.
故選：A
3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．
【答案】 /
【解析】由已知，，
所以，
當時，由可得，所以，
當時，由可得，所以，
等價于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域．
（2）在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)．
（3）了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應用．
2022年浙江卷第14題，5分
2021年浙江卷第12題，5分
高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質．

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