江蘇八年級下期中真題精選（壓軸60題專練）（范圍：第7章~第10章）-【滿分全攻略】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點+重難點講練與測試（蘇科版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)校考期中）如圖，直角三角形中，兩條直角邊，，將繞著中點旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，點正好落在邊上，和交于點，則的長為（）
A．B．C．D．
2．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形和正方形的頂點，，在同一直線上，且，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形的面積與正方形的面積相等．其中正確的結(jié)論為（）
A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④
3．（2021春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點H與點A重合時，EF=．其中正確的結(jié)論是（）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
4．（2021春·江蘇蘇州·八年級星海實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在梯形中，，，，、分別是、的中點，則下列正確的結(jié)論是有（）個
①平分；②是等腰三角形；③四邊形是平行四邊形；④
A．3B．2C．4D．1
5．（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，點在對角線上任意一點，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點的對應(yīng)點為，則點到線段距離的最小值為（）
A．1B．C．D．2
二、填空題
6．（2020春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖，將銳角為的直角三角板MPN的一個銳角頂點P與邊長為4的正方形ABCD的頂點A重合，正方形ABCD固定不動，然后將三角板繞著點A旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其延長線相交于點E、F，連結(jié)EF．在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)囊贿吳『媒?jīng)過BC邊的中點時，則EF的長為_____．
7．（2020春·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長是2，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值為_____．
8．（2020春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=5，點E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD上，且AF=CG=1，BE=DH=2，點P是直線EF、GH之間任意一點，連接PE、PF、PG、PH，則△PEF和△PGH的面積和等于______．
9．（2021春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為a，點E在邊上運動（不與點A，B重合），，點F在射線上，且與相交于點G，連接．則下列結(jié)論：①，②的周長為，③；④當(dāng)時，G是線段的中點，其中正確的結(jié)論是_____________．
10．（2021春·江蘇南京·八年級南京玄武外國語學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，一張矩形紙片，，，點M，N分別在矩形的邊，上，將矩形紙片沿直線折疊，使點C落在矩形的邊上，記為點P，點D落在G處，連接，交于點Q，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③P，A重合時，；④的面積S的取值范圍是，其中正確的是__________．（把正確結(jié)論的序號都填上）

11．（2022春·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，∠MAN＝90°，點C在邊AM上，AC＝3，點B為邊AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連接DE并延長交A′B所在直線于點F，連接A′E．當(dāng)△A′EF為直角三角形時，AB的長為__．
12．（2022秋·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為_____．
三、解答題
13．（2020春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，菱形的頂點在軸上，點在點的左側(cè)，點在軸的正半軸上.點的坐標(biāo)為.動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按照的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設(shè)運動時間為秒.
(1)①點的坐標(biāo) .②求菱形的面積.
(2)當(dāng)時，問線段上是否存在點，使得最小，如果存在，求出最小值;如果不存在，請說明理由.
(3)若點到的距離是1，則點運動的時間等于 .

14．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）已知，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點、，垂足為．
(1)如圖1－1，連接、．求證四邊形為菱形，并求的長；
(2)如圖1－2，動點、分別從、兩點同時出發(fā)，沿和各邊勻速運動一周．即點自→→→停止，點自→→→停止．在運動過程中，
①已知點的速度為每秒5，點的速度為每秒4，運動時間為秒，當(dāng)、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值；
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．
15．（2020春·江蘇無錫·八年級無錫市第一女子中學(xué)?？计谥校╅喿x下列材料：
我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：
（1）下列哪個四邊形一定是和諧四邊形．
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命題：“和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是命題（填“真”或“假”）．
（3）如圖，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB＝BC，請求出∠ABC的度數(shù)．
16．（2020春·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考期中）把一個含45°角的直角三角板BEF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點B重合，聯(lián)結(jié)DF，點M，N分別為DF，EF的中點，聯(lián)結(jié)MA，MN．
（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，AB上，請判斷MA，MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；
（2）如圖2，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，AB的延長線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．
17．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點，的坐標(biāo)分別為，點是線段上的一個動點點與點，不重合，過點作直線交折線于點．
(1)在點運動的過程中，若的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)如圖，當(dāng)點在線段上時，矩形關(guān)于直線對稱的圖形為矩形分別交，于點，，分別交，點，求證：四邊形是菱形；
(3)問題（2）中的四邊形中，的長為______．
18．（2020春·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點(不在直線AC上)，∠ACB=90°，M為AB邊中點．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連結(jié)PM并延長到點E，使ME=PM，連結(jié)DE．
（1）請你利用圖2，選擇Rt△ABC內(nèi)的任意一點P按上述方法操作；
（2）經(jīng)歷（1）之后，觀察兩圖形，猜想線段DE和線段BC之間有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請選擇其中的一個圖形證明你的猜想；
（3）觀察兩圖，你還可得出AC和DE相關(guān)的什么結(jié)論？請說明理由．
（4）若以A為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，其中A、C、D的坐標(biāo)分別為（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面內(nèi)找到一點M，使以A、C、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形，若不能，說明理由，若能，請直接寫出點M的坐標(biāo)．
19．（2020春·江蘇揚州·八年級?？计谥校┎僮黧w驗：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C'處．點P為直線EF上一動點(不與E、F重合)，過點P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點M和N，以PM、PN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PMQN．
（1）如圖1，求證：BE=BF；
（2）特例感知：如圖2，若DE=5，CF=3，當(dāng)點P在線段EF上運動時，求平行四邊形PMQN的周長；
（3）類比探究：如圖3，當(dāng)點P在線段EF的延長線上運動時，若DE=a，CF=b．請直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系．(不要求寫證明過程)
20．（2020春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)°（0°＜＜180°），分別交直線BC、AD于點E、F．
（1）當(dāng)=_____°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意4個點為頂點構(gòu)造四邊形，
①當(dāng)=_______°時，構(gòu)造的四邊形是菱形；
②若構(gòu)造的四邊形是矩形，求該矩形的兩邊長．
21．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）【問題提出】
學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定方法（即“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”、“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”）后，我們繼續(xù)對“一組對邊相等和一組對角相等”的情形進(jìn)行研究．
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在四邊形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，對∠A和∠C進(jìn)行分類，可分為“∠A和∠C是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．
【深入探究】
第一種情況：如圖①，當(dāng)∠A＝∠C＝90°時，求證：四邊形ABCD是矩形．
第二種情況：如圖②，當(dāng)∠A＝∠C＞90°時，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
第三種情況：如圖③，當(dāng)∠A＝∠C＜90°時，小明同學(xué)研究后認(rèn)為四邊形ABCD不一定是平行四邊形，請在圖中畫出大致圖形，并寫出必要的文字說明．
22．（2020春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖①，我們把一個四邊形的四邊中點依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎？
小敏在思考問題，有如下思路：連接．
結(jié)合小敏的思路作答．
（1）若只改變圖①中四邊形的形狀（如圖②），則四邊形還是平行四邊形嗎？說明理由；
（參考小敏思考問題方法）
（2）如圖②，在（1）的條件下，若連接．
①當(dāng)與滿足什么條件時，四邊形是矩形，寫出結(jié)論并證明；
②當(dāng)與滿足____時，四邊形是正方形．
23．（2020春·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC為邊作平行四邊形CEFB，連CD、CF．
（1）如圖2，△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，求證：CD＝CF；
（2）如圖3，AE＝，AB＝，將△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)四邊形CEFB為菱形時，求CF的長．
24．（2020春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0），以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)畫正方形OABC，D（m，0）為x軸上的一個動點，以BD為一邊畫正方形BDEF（點F在直線AB右側(cè)）．
（1）當(dāng)m＞3時（如圖1），試判斷線段AF與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）當(dāng)AF=5時，求點E的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)D點從A點向右移動4個單位，求這一過程中F點移動的路程是多少？
25．（2020春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點是正方形對角線上一動點，點在射線上，且，連接，為中點．
（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，試猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點在線段上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點在的延長線上時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由．
26．（2020春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜邊AB為邊向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的對角線交于點O（如圖1）．
（1）求證：EO平分∠AEB；
（2）猜想線段OE與EB、EA之間的數(shù)量關(guān)系為（直接寫出結(jié)果，不要寫出證明過程）；
（3）過點C作CF⊥EB于F，過點D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延長線交于點G（如圖2），求證：四邊形EFGH為正方形．
27．（2020春·江蘇南通·八年級校考期中）定義：有一個內(nèi)角為，且對角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形．
(1)①如圖1，準(zhǔn)矩形中，，若，，則__________；
②如圖2，直角坐標(biāo)系中，，，若整點使得四邊形是準(zhǔn)矩形，則點的坐標(biāo)是_________；（整點指橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點）
(2)如圖3，正方形中，點、分別是邊、上的點，且，求證：四邊形是準(zhǔn)矩形；
(3)已知，準(zhǔn)矩形中，，，，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出這個準(zhǔn)矩形的面積．
28．（2022秋·江蘇·八年級期中）（1）如圖1，將一塊直角三角板的直角頂點E放在正方形ABCD的對角線AC上（不與點A，C重合，其中的一條直角邊經(jīng)過點D，另一條直角邊與BC相交于點F，
①試猜想線段DE、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②試猜想線段CE、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點F落到BC的延長線上時，請直接寫出線段CE、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系．
29．（2020秋·江蘇南通·八年級?？计谥校┮阎陂L方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，連接DE，DF，EF．
（1）如圖①，當(dāng)CF＝2BE＝2時，試說明△DEF是直角三角形；
（2）如圖②，若點E是邊AB的中點，DE平分∠ADF，求BF的長．
30．（2021春·江蘇無錫·八年級江蘇省江陰市第一中學(xué)?？计谥校┒x：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．
（1）如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求證：四邊形BEGD是“等垂四邊形”；
（2）如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，連接BD，點E，F(xiàn)，G分別是AD，BD，BC的中點，連接EG，F(xiàn)G，EF．試判定△EFG的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD＝4，BC＝8，請直接寫出邊AB長的最小值．

31．（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）有一張矩形紙片，其中，現(xiàn)將矩形折疊，點D的對應(yīng)點記為點P，折痕為（點E、F是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．
（1）若點P落在矩形的邊上（如圖1）．
①當(dāng)點P與點A重合時，__________，當(dāng)點E與點A重合時，__________，當(dāng)點F與C重合時，__________；
②若P為的中點時，求的長；
（2）若點P落在矩形的外部（如圖2），點F與點C重合，點E在上，線段與線段交于點M，當(dāng)時，請求出線段的長度．
（3）若點E為動點，點F為邊的中點，直接寫出線段的最小值=__________．
32．（2021春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形和正方形有公共頂點．
（1）如圖1，連接和，直接寫出和的關(guān)系；
（2）如圖2，連接為中點，連接，探究的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，若，，連接，請直接寫出的取值范圍：．
33．（2021春·江蘇蘇州·八年級星海實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，E為邊上一點，，連接．動點P、Q從點A同時出發(fā)，點P以的速度沿向終點E運動；點Q以的速度沿折線向終點C運動，當(dāng)P與E重合時，點P、Q同時停止運動。在運動過程中，設(shè)點Q運動的時間為，的長為，若y關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖②所示.
（1）_______，________；
（2）在運動過程中，點P，點Q經(jīng)過的路線與線段圍成的圖形面積為，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在運動過程中，當(dāng)點C在線段的垂直平分線上時，則____．
34．（2021春·江蘇蘇州·八年級星海實驗中學(xué)?？计谥校?）[方法回顧]證明：三角形中位線定理．
已知：如圖1，在中，、分別是、的中點．
求證：，．
證明：如圖1，延長到點，使得，連接；
請繼續(xù)完成證明過程：
（2）[問題解決]
如圖2，在矩形中，為的中點，、分別為、邊上的點，若，，，求的長．
（3）[思維拓展]
如圖3，在梯形中，，，，為的中點，、分別為、邊上的點，若，，，求的長為_______．
35．（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，對角線、相交于點O，將中直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交直線、于點E、F．
（1）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，始終成立；
（2）當(dāng)時，判斷四邊形的形狀__________；
（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中（），從A、B、C、D、E、F中任意4個點為頂點構(gòu)造四邊形：
①當(dāng)__________時，構(gòu)造的四邊形是菱形；
②若構(gòu)造的四邊形是矩形，求該矩形的兩邊長．
36．（2021春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D①，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點D的坐標(biāo)為，
（1）點B的坐標(biāo)為___________．
（2）若點P為對角線上的動點，作等腰直角三角形，使，如圖②，連接，則與的關(guān)系（位置與數(shù)量關(guān)系）是，并說明理由：
（3）在（1）的條件下，點M在x軸上，在平面內(nèi)是否存在點N，使以B、D、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
37．（2021春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐：
如圖1，已知為等邊三角形，點D，E分別在邊AB、AC上，，連接DC，P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點．
（1）觀察猜想
在圖1中，線段PM與QM的數(shù)量關(guān)系是________，的度數(shù)是________；
（2）探究證明
若把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，再連接BE，取BE的中點N，連接PN、QN．
①判斷四邊形PMQN的形狀，并說明理由；
②求的度數(shù)；
（3）拓展延伸
當(dāng)，，，把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3．
①四邊形PMQN為_________；
②請直接寫出四邊形PMQN面積的最大值．
38．（2021春·江蘇南京·八年級南京玄武外國語學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖1，已知正方形，點C在BE的延長線上，點A在的延長線上，且，過點C作的平行線，過點A作的平行線，兩條平行線相交于點D．
（1）證明：四邊形是正方形；
（2）當(dāng)正方形繞點B順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，使得點G在射線上，連接和，點Q是線段的中點，連接和，猜想線段和線段的關(guān)系，并說明理由；
（3）將正方形繞點B旋轉(zhuǎn)一周時，當(dāng)?shù)扔?5°時，直線交于點H，探究線段、、的長度關(guān)系．
39．（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，點M從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P，連接AC交NP于點Q，連接MQ，設(shè)運動時間為t秒（）．
(1)求點B到線段AC的距離；
(2)當(dāng)NP經(jīng)過線段AC中點時，求t的值并直接寫出此時線段MQ、NQ的關(guān)系；
(3)連接AN、CP，在點M、N運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
(4)將△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在點M、N運動過程中，
①是否存在某時刻t，使四邊形AQMK為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②是否存在某時刻t，使四邊形AQMK為正方形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
40．（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
【模型呈現(xiàn)】
（1）如圖，，，過點作于點，過點作于點．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到__________，．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；
【模型應(yīng)用】
（2）如圖，，，，連接，，且于點，與直線交于點．求證：點是的中點；
【深入探究】
（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、=、＜”）
（4）如圖，分別以的三條邊為邊，向外作正方形，連接、、．當(dāng)，，時，圖中的三個陰影三角形的面積和為__________；
（5）如圖，點、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．
41．（2021春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校?？计谥校┪覀冎?，平行四邊形的對邊平行且相等，利用這一性質(zhì)，可以為證明線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系提供幫助．
重溫定理，識別圖形
（1）如圖1，我們在探究三角形中位線和第三邊的關(guān)系時，所作的輔助線為“延長到點，使，連接”，此時與在同一直線上且，又可證圖中的四邊形______為平行四邊形，可得與的關(guān)系是______，于是推導(dǎo)出了“，”．
尋找圖形，完成證明
（2）如圖2，四邊形和四邊形都是菱形，是等邊三角形，，連接、．求證：．
構(gòu)造圖形，解決問題．
（3）如圖3，四邊形和四邊形都是正方形，連接、．直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．
42．（2021春·江蘇鹽城·八年級校考期中）問題背景：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+DF．
小華同學(xué)給出了部分證明過程，請你接著完成剩余的證明過程．
證明：延長FD到點P使DP＝BE，連接AP，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），……
請完成剩余的證明過程．
變式探究1：如圖2，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，且AD＝2DF，AB＝2AD，請?zhí)骄緽E與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
變式探究2：如圖3，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，∠EFC＝45°，請直接寫出EF、BE、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：．
43．（2021春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．點P從點B出發(fā)沿BA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動，同時點Q從點A出發(fā)沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒．過點P作PM⊥BC于點M，連接PQ、QM．
（1）請用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝
（2）是否存在某一時刻使四邊形AQMP為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t值；如果不存在，說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時，△PQM為直角三角形？請說明理由．
44．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）【方法回顧】
（1）如圖1，過正方形ABCD的頂點A作一條直線l交邊BC于點P，BE⊥AP于點E，DF⊥AP于點F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝．
【問題解決】
（2）如圖2，菱形ABCD的邊長為1.5，過點A作一條直線l交邊BC于點P，且∠DAP＝90°，點F是AP上一點，且∠BAD+∠AFD＝180°，過點B作BE⊥AB，與直線l交于點E，若EF＝1，求BE的長．
【思維拓展】
（3）如圖3，在正方形ABCD中，點P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為．（用含m的式子表示）
45．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形的邊長為8cm，點E在邊上，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿運動，設(shè)運動時間為t秒．
(1)___________；
(2)當(dāng)點P在的垂直平分線上時，求t的值；
(3)當(dāng)t=___________，平分，試猜想此時是否為的角平分線，并說明理由．
46．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）在矩形中，連結(jié)，點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著的路徑運動，運動時間為（秒）．以為邊在矩形的內(nèi)部作正方形．
（1）如圖，當(dāng)為正方形且點在的內(nèi)部，連結(jié)，求證：；
（2）經(jīng)過點且把矩形面積平分的直線有______條；
（3）當(dāng)時，若直線將矩形的面積分成1：3兩部分，求的值．
47．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州草橋中學(xué)?？计谥校┰诰匦沃?，，，E、F是直線上的兩個動點，分別從A，C同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中．
（1）如圖1，M、N分別是，中點，當(dāng)四邊形是矩形時，求t的值．
（2）若G、H分別從點A、C沿折線，運動，與E，F(xiàn)相同的速度同時出發(fā)．
①如圖2，若四邊形為菱形，求t的值；
②如圖3，作的垂直平分線交、于點P、Q，當(dāng)四邊形的面積是矩形面積的一半時，則t的值是_______．
48．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┰谥?，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點．
（1）如圖，當(dāng)時，連接，并延長交于點．則_____；
（2）當(dāng)時，請畫出圖形并求出的長；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，過點作垂直于直線，垂足為點，連接，當(dāng)，且線段與線段無公共點時，請猜想四邊形的形狀并說明理由．
49．（2022春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE．則：
①∠AEB的度數(shù)為 °；
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．
（2）拓展研究：
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點 A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）探究發(fā)現(xiàn)：
圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線AD與BE相交于點O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．
50．（2022秋·江蘇·八年級期中）【情景呈現(xiàn)】
畫，并畫的平分線．
（1）把三角尺的直角頂點落在的任意一點上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊垂直，垂足為（如圖1）．則．（選填：“”或“=”）
（2）把三角尺繞點旋轉(zhuǎn)（如圖2），與相等嗎？猜想的大小關(guān)系，并說明理由．
【理解應(yīng)用】
（3）在（2）的條件下，過點作直線，分別交于點，如圖3．
①圖中全等三角形有_________對．（不添加輔助線）
②猜想之間的關(guān)系為___________．
【拓展延伸】
（4）如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點，作，的兩邊分別與相交于兩點，與相等嗎？請說明理由．
51．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州市景范中學(xué)校?？计谥校┤鐖D1，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AE，并將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過點G作于點F，于點H．
(1)①判斷：四邊形CFGH的形狀為____________；②證明你的結(jié)論；
(2)如圖2，連接AG，交DC于I，連接EI，若，，求正方形ABCD的邊長；
(3)如圖3，連接BD，與AE、AG交于P、Q兩點，試探索BP、PQ、QD之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：________________．
52．（2020春·江蘇無錫·八年級?？计谥校┤鐖D1，正方形CEFG繞正方形ABCD的頂點C旋轉(zhuǎn)，連接AF，點M是AF中點．
（1）當(dāng)點G在BC上時，如圖2，連接BM、MG，求證：BM=MG；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點B、G、F三點在同一直線上，若AB=5，CE=3，則MF= ；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點G在對角線AC上時，連接DG、MG，請你畫出圖形，探究DG、MG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
53．（2020春·江蘇南通·八年級校考期中）如圖①，將正方形ABOD放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點D的坐標(biāo)為（2，3），
（1）點B的坐標(biāo)為；
（2）若點P為對角線BD上的動點，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如圖②，連接DE，則BP與DE的關(guān)系（位置與數(shù)量關(guān)系）是，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，再作等邊三角形APF，連接EF、FD，如圖③，在 P點運動過程中當(dāng)EF取最小值時，此時∠DFE＝ °；
（4）在（1）的條件下，點 M在 x 軸上，在平面內(nèi)是否存在點N，使以 B、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
54．（2020春·江蘇無錫·八年級?？计谥校┪覀兌x：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）如圖①，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點M，N分別在AD，CD上，且∠MBN=60°，試判斷四邊形DMBN是否為“等鄰邊四邊形”？請說明理由．
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12.5，點E在BC上，且BE=6，在矩形ABCD內(nèi)或邊上，確定一點P，使四邊形ABEP為最大面積的“等鄰邊四邊形”，若能實現(xiàn)，請求出最大面積；若不能實現(xiàn)，說明理由．
55．（2020春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？计谥校?）如圖1，長方形ABCD中分別沿AF、CE將AC兩側(cè)折疊，使點B、D分別落在AC上的G、H處，則線段AE______CF．（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．
①若點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，設(shè)運動時間為t秒．當(dāng)點P在FB上運動，而點Q在DE上運動時，若四邊形APCQ是平行四邊形，求此時t的值．
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），利用備用圖探究，當(dāng)a與b滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形APCQ是平行四邊形．
56．（2021春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D①，在正方形中，點N、M分別在邊、上，連接、、．，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點D與點B重合，得到．易證:，從而得．
【實踐探究】
（1）在圖①條件下，若，則正方形的邊長是______．
（2）如圖2，在正方形中，點E，F(xiàn)在對角線上，且，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【拓展】
（3）如圖3，正方形的邊長為8，點P為邊上一點，于E，Q為中點，連接并延長交于點F，且，求的長．
（4）在（3）的條件下，的值為_______（直接寫出答案）．
57．（2021春·江蘇揚州·八年級?？计谥校┒x：如果四邊形的一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離都等于這條對角線的長一半，那么我們稱這樣的四邊形為“等距四邊形”．
（1）在下列圖形中：①正方形 ②矩形 ③菱形，是“等距四邊形”的是．（填序號）
（2）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于點E，點F是菱形ABCD邊上的一點，順次連接B、E、D、F，若四邊形BEDF為“等距四邊形”，求線段EF的長．
（3）如圖2，已知等邊△ABC邊長為4，點P是△ABC內(nèi)一點，若過點P可將△ABC恰好分割成三個“等距四邊形”，求這三個“等距四邊形”的周長和．
58．（2021春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C、D坐標(biāo)分別為（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），連接AC和BC，點P為線段AC上一從左向右運動的點，以PD為邊作菱形PDEF，其中點E落在x軸上．
（1）則BC的長為，∠OBC的度數(shù)為 °；
（2）在點P運動過程中，是否能使得四邊形PDEF為正方形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點P運動到使得菱形PDEF的頂點F恰好在邊BC上時，求出此時點F的坐標(biāo)．
（4）若要使得頂點F不落在四邊形OACB外，請直接寫出菱形PDEF的對角線交點的最大運動路徑長．
59．（2021春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點，C在x軸上，OA＝9，OC＝15．
(1)如圖1，在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落至AB邊上的D點，求直線EC的解析式；
(2)如圖2，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cM、F，將△MOF沿MF折疊，使O點落在AB邊上的點，過作G⊥CO于點G點，交MF于T點．
①求證：TG＝AM；
②設(shè)T（x，y），探求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將y用含x的代數(shù)式表示（指出變量x的取值范圍）；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)x＝6時，點P在直線MF上，問坐標(biāo)軸上是否存在點Q，使以M、、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
60．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州市胥江實驗中學(xué)校?？计谥校┰诰匦沃?，，，、是直線上的兩個動點，分別從、兩點同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為秒，其中．
(1)如圖1，、分別是、中點，當(dāng)四邊形是矩形時，求的值．
(2)若、分別從點、沿折線，運動，與相同的速度同時出發(fā)．
①如圖2，若四邊形為菱形，求的值；
②如圖3，作的垂直平分線交、于點、，當(dāng)四邊形的面積是矩形面積的，則的值是________．
③如圖4，在異于、所在矩形邊上取、，使得，順次連接，請直接寫出四邊形周長的最小值：________．

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