湖北省各地市2023中考數(shù)學(xué)真題分類匯編03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類①

這是一份湖北省各地市2023中考數(shù)學(xué)真題分類匯編03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類①，共23頁。
二．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）
2．（2023?襄陽）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩個(gè)根為α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
三．一次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）
3．（2023?襄陽）在襄陽市創(chuàng)建“經(jīng)濟(jì)品牌特色品牌”政策的影響下．每到傍晚，市內(nèi)某網(wǎng)紅燒烤店就食客如云，這家燒烤店的海鮮串和肉串非常暢銷，店主從食品加工廠批發(fā)以上兩種產(chǎn)品進(jìn)行加工銷售，其中海鮮串的成本為m元/支，肉串的成本為n元/支；兩次購進(jìn)并加工海鮮串和肉串的數(shù)量與成本如下表所示（成本包括進(jìn)價(jià)和其他費(fèi)用）：
針對團(tuán)以消費(fèi)，店主決定每次消費(fèi)海鮮串不超過200支時(shí)，每支售價(jià)5元；超過200支時(shí)、不超過200支的部分按原價(jià)，超過200支的部分打八折．每支肉串的售價(jià)為3.5元．
（1）求m、n的值；
（2）五一當(dāng)天，一個(gè)旅游團(tuán)去此店吃燒烤，一次性消費(fèi)海鮮串和肉串共1000支，且海鮮串不超過400支．在本次消費(fèi)中，設(shè)該旅游團(tuán)消費(fèi)海鮮串x支，店主獲得海鮮串的總利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，該旅游團(tuán)消費(fèi)的海鮮串超過了200支，店主決定給該旅游團(tuán)更多優(yōu)惠，對每支肉串降價(jià)a（0＜a＜1）元，但要確保本次消費(fèi)獲得肉串的總利潤始終不低于海鮮串的總利潤，求a的最大值．
4．（2023?恩施州）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長?書香恩施”的號召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購買一套服裝．經(jīng)市場調(diào)查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費(fèi)用相同．
（1）男裝、女裝的單價(jià)各是多少？
（2）如果參加活動的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的，購買服裝的總費(fèi)用不超過17000元，那么學(xué)校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？
四．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
5．（2023?黃石）某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬元/件．設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為z萬元/件，售價(jià)z與x之間的函數(shù)解析式是z＝，其中x是正整數(shù)．當(dāng)x＝16時(shí)，z＝14；當(dāng)x＝20時(shí)，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為y件，且y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝5x+20．
①當(dāng)12＜x≤20時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？
②當(dāng)0＜x≤20時(shí)，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于a萬元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
五．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）
6．（2023?襄陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點(diǎn)H，且GH⊥AC．?
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若DE＝2，GH＝3，求的長l．
7．（2023?恩施州）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，⊙O與AC相切于點(diǎn)D．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）延長CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG交⊙O于點(diǎn)F，若AC＝4，求FG的長．
六．作圖—基本作圖（共1小題）
8．（2023?鄂州）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，且AE＝AD．
（1）尺規(guī)作圖（請用2B鉛筆）：作∠DAE的平分線AF，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接DF．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）試判斷四邊形AEFD的形狀，并說明理由．
七．黃金分割（共1小題）
9．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時(shí)，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．
（1）求黃金分割數(shù)；
（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
八．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共2小題）
10．（2023?襄陽）在襄陽市諸感亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)C處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．
11．（2023?恩施州）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認(rèn)為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點(diǎn)A，B處測出點(diǎn)D的仰角度數(shù)，可以求出信號塔DE的高．如圖，AB的長為5m，高BC為3m．他在點(diǎn)A處測得點(diǎn)D的仰角為45°，在點(diǎn)B處測得點(diǎn)D的仰角為38.7°．A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．
你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號塔DE的高嗎？若能，請求出信號塔DE的高；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin38.7°≈0.625，cs38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，結(jié)果保留整數(shù)）
九．概率公式（共1小題）
12．（2023?黃石）健康醫(yī)療大數(shù)據(jù)蘊(yùn)藏了豐富的居民健康狀況、衛(wèi)生服務(wù)利用等海量信息，是人民健康保障的數(shù)據(jù)金礦和證據(jù)源泉．目前，體質(zhì)健康測試已成為中學(xué)生的必測項(xiàng)目之一．某校某班學(xué)生針對該班體質(zhì)健康測試數(shù)據(jù)開展調(diào)查活動，先收集本班學(xué)生八年級的《體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)登記表》，再算出每位學(xué)生的最后得分，最后得分記為x，得到下表：
（1）請求出該班總?cè)藬?shù)；
（2）該班有三名學(xué)生的最后得分分別是68，88，91，將他們的成績隨機(jī)填入表格，求恰好得到的表格是的概率；
（3）設(shè)該班學(xué)生的最后得分落在不及格，及格，良好，優(yōu)秀范圍內(nèi)的平均分分別為a，b，c，d，若2a+3b+6c+4d＝1275，請求出該班全體學(xué)生最后得分的平均分，并估計(jì)該校八年級學(xué)生體質(zhì)健康狀況．
一十．列表法與樹狀圖法（共2小題）
13．（2023?恩施州）春節(jié)、清明、端午、中秋是我國四大傳統(tǒng)節(jié)日，每個(gè)傳統(tǒng)節(jié)日都有豐富的文化內(nèi)涵，體現(xiàn)了厚重的家國情懷；在文化的傳承與創(chuàng)新中讓我們更加熱愛傳統(tǒng)文化，更加堅(jiān)定文化自信，因此，端午節(jié)前，學(xué)校舉行“傳經(jīng)典?樂端午”系列活動，活動設(shè)計(jì)的項(xiàng)目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣劃旱船，C﹣誦詩詞，D﹣創(chuàng)美文；人人參加，每人限選一項(xiàng)．為了解學(xué)生的參與情況，校團(tuán)支部隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息，回答下列問題：
（1）請直接寫出統(tǒng)計(jì)圖中m的值，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）若學(xué)校有1800名學(xué)生，請估計(jì)選擇D類活動的人數(shù)；
（3）甲、乙、丙、丁四名學(xué)生都是包粽子的能手，現(xiàn)從他們4人中選2人參加才藝展示，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率．
14．（2023?鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為了使同學(xué)們進(jìn)一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，鄂州市某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織了一場手抄報(bào)比賽．要求該班每位同學(xué)從A：“北斗”，B：“5G時(shí)代”，C：“東風(fēng)快遞”，D：“智軌快運(yùn)”四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜愛的主題．比賽結(jié)束后，該班團(tuán)支部統(tǒng)計(jì)了同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題．
（1）九（1）班共有 名學(xué)生；并補(bǔ)全圖1折線統(tǒng)計(jì)圖；
（2）請閱讀圖2，求出D所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若小林和小峰分別從A，B，C，D四個(gè)主題中任選一個(gè)主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
湖北省各地市2023-中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類①
參考答案與試題解析
一．分式的混合運(yùn)算（共1小題）
1．（2023?襄陽）化簡：（1﹣）÷．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝．
二．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）
2．（2023?襄陽）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩個(gè)根為α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
【答案】（1）k＞2；（2）k1＝3．
【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的兩個(gè)根為α，β，
∴αβ＝＝3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
三．一次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）
3．（2023?襄陽）在襄陽市創(chuàng)建“經(jīng)濟(jì)品牌特色品牌”政策的影響下．每到傍晚，市內(nèi)某網(wǎng)紅燒烤店就食客如云，這家燒烤店的海鮮串和肉串非常暢銷，店主從食品加工廠批發(fā)以上兩種產(chǎn)品進(jìn)行加工銷售，其中海鮮串的成本為m元/支，肉串的成本為n元/支；兩次購進(jìn)并加工海鮮串和肉串的數(shù)量與成本如下表所示（成本包括進(jìn)價(jià)和其他費(fèi)用）：
針對團(tuán)以消費(fèi)，店主決定每次消費(fèi)海鮮串不超過200支時(shí)，每支售價(jià)5元；超過200支時(shí)、不超過200支的部分按原價(jià)，超過200支的部分打八折．每支肉串的售價(jià)為3.5元．
（1）求m、n的值；
（2）五一當(dāng)天，一個(gè)旅游團(tuán)去此店吃燒烤，一次性消費(fèi)海鮮串和肉串共1000支，且海鮮串不超過400支．在本次消費(fèi)中，設(shè)該旅游團(tuán)消費(fèi)海鮮串x支，店主獲得海鮮串的總利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，該旅游團(tuán)消費(fèi)的海鮮串超過了200支，店主決定給該旅游團(tuán)更多優(yōu)惠，對每支肉串降價(jià)a（0＜a＜1）元，但要確保本次消費(fèi)獲得肉串的總利潤始終不低于海鮮串的總利潤，求a的最大值．
【答案】（1）m的值為3，n的值為2；
（2）y＝；
（3）0.5．
【解答】解：（1）根據(jù)表格可得：
，
解得，
∴m的值為3，n的值為2；
（2）當(dāng)0＜x≤200時(shí)，店主獲得海鮮串的總利潤y＝（5﹣3）x＝2x；
當(dāng)200＜x≤400時(shí)，店主獲得海鮮串的總利潤y＝（5﹣3）×200+（5×0.8﹣3）（x﹣200）＝x+200；
∴y＝；
（3）設(shè)降價(jià)后獲得肉串的總利潤為z元，令W＝z﹣y．
∵200＜x≤400，
∴z＝（3.5﹣a﹣2）（1000﹣x）＝（a﹣1.5）x+1500﹣1000a，
∴W＝z﹣y＝（a﹣2.5）x+1300﹣1000a，
∵0＜a＜1，
∴a﹣2.5＜0，
∴W隨x的增大而減小，
當(dāng)x＝400時(shí)，W的值最小，
由題意可得：z≥y，
∴W≥0，
即（a﹣2.5）×400+1300﹣1000a≥0，
解得：a≤0.5，
∴a的最大值是0.5．
4．（2023?恩施州）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長?書香恩施”的號召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購買一套服裝．經(jīng)市場調(diào)查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費(fèi)用相同．
（1）男裝、女裝的單價(jià)各是多少？
（2）如果參加活動的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的，購買服裝的總費(fèi)用不超過17000元，那么學(xué)校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？
【答案】（1）男裝單價(jià)為100元，女裝單價(jià)為120元．（2）當(dāng)女裝購買90套，男裝購買60套時(shí)，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為16800元．
【解答】解：（1）設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：男裝單價(jià)為100元，女裝單價(jià)為120元．
（2）設(shè)參加活動的女生有a人，則男生有（150﹣a）人，
根據(jù)題意可得，
解得：90≤a≤100，
∵a為整數(shù)，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個(gè)數(shù)，
故一共有11種方案，
設(shè)總費(fèi)用為w元，則w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，
∵20＞0，
∴當(dāng)a＝90時(shí)，w有最小值，最小值為15000+20×90＝16800（元），
此時(shí)，150﹣a＝60（套），
答：當(dāng)女裝購買90套，男裝購買60套時(shí)，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為16800元．
四．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）
5．（2023?黃石）某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬元/件．設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為z萬元/件，售價(jià)z與x之間的函數(shù)解析式是z＝，其中x是正整數(shù)．當(dāng)x＝16時(shí)，z＝14；當(dāng)x＝20時(shí)，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為y件，且y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝5x+20．
①當(dāng)12＜x≤20時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？
②當(dāng)0＜x≤20時(shí)，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于a萬元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）m＝﹣，n＝18；
（2）①工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大，最大的利潤是405萬元；
②a的取值范圍400＜a≤403.75．
【解答】解：（1）把x＝16時(shí)，z＝14；x＝20時(shí)，z＝13代入y＝mx+n得：
，
解得m＝﹣，n＝18；
（2）①設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤為w萬元，
由（1）知，當(dāng)12＜x≤20時(shí)，z＝﹣x+18，
∴w＝（z﹣10）y＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣x+8）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405，
∵﹣＜0，12＜x≤20，
∴當(dāng)x＝14時(shí)，w取得最大值，最大值為405，
∴工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大，最大的利潤是405萬元；
②當(dāng)0＜x≤12時(shí)，z＝15，
∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，
∴w＝，
則w與x的函數(shù)圖象如圖所示：
由圖象可知，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于a萬元，
∴當(dāng)x＝13，15時(shí)w＝403.75，
當(dāng)x＝12，16時(shí)，w＝400，
∴a的取值范圍400＜a≤403.75．
五．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）
6．（2023?襄陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點(diǎn)H，且GH⊥AC．?
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若DE＝2，GH＝3，求的長l．
【答案】（1）答案見解答過程；
（2）．
【解答】（1）證明：連接OA，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，如圖：

∵AB＝AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴AO為∠BAC的平分線，
∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D，DG是⊙O的直徑，
∴OD為⊙O的半徑，
∴OD⊥AB，
又OM⊥AC，
∴OM＝OD，
即OM為⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，如圖：
∵點(diǎn)O為⊙O的圓心，
∴OD＝OG，OE＝OF，
在△ODE和△OGF中，
，
∴△ODE≌△OGF（SAS），
∴DE＝GF，
∵DE＝2，GH＝3，
∴GF＝2，
∴FH＝GH﹣GF＝3﹣2＝1，
∵AB＝AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴OB＝OC，∠B＝∠C，
又OE＝OF，
∴BE＝CF，
∵GH⊥AC，EN⊥AB，
∴∠BNE＝∠CHF＝90°，
在△BNE和△CHF中，
，
∴△BNE≌△CHF（AAS），
∴EN＝FH＝1，
在Rt△DEN中，DE＝2，EN＝1，
∴sin∠EDN＝＝，
∴銳角∠EDN＝30°，
由（1）可知：OD⊥AB，
∴∠ODE＝90°﹣∠EDN＝90°﹣30°＝60°，
又OD＝OE，
∴△ODE為等邊三角形，
∴∠DOE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，
∴的長l＝．
7．（2023?恩施州）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，⊙O與AC相切于點(diǎn)D．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）延長CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG交⊙O于點(diǎn)F，若AC＝4，求FG的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解答】（1）證明：連接OD，作OM⊥BC于M，
∵AC＝BC，O是AB中點(diǎn)，
∴CO平分∠ACB，CO⊥AB，
∵AC切圓于D，
∴OD⊥AC，
∴OD＝OM，
∴BC是⊙O的切線；
（2）作OH⊥AG 于H，
∴FG＝2GH，
∵△OAC是等腰直角三角形，
∴OA＝AC＝×4＝4，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝AO＝2，
∴OG＝2，
∴AG＝＝2，
∵csG＝＝，
∴＝，
∴GH＝，
∴FG＝．
六．作圖—基本作圖（共1小題）
8．（2023?鄂州）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，且AE＝AD．
（1）尺規(guī)作圖（請用2B鉛筆）：作∠DAE的平分線AF，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接DF．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）試判斷四邊形AEFD的形狀，并說明理由．
【答案】（1）作圖見解答．
（2）證明見解答．
【解答】解：（1）如圖所示；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF＝∠AFC，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠AFC，
∴EA＝EF，
∵AE＝AD，
∴AD＝EF，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AE＝AD，
∴四邊形AEFD是菱形．
七．黃金分割（共1小題）
9．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時(shí)，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．
（1）求黃金分割數(shù)；
（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
【答案】（1）；（2）2；（3）0．
【解答】解：（1）由題意，將m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，
∴x1，2＝＝．
∵黃金分割數(shù)大于0，
∴黃金分割數(shù)為．
（2）∵b2﹣2mb＝4，
∴b2﹣2mb﹣4＝0．
∴（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0．
又b≠﹣2a，
∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個(gè)根．
∴a?（﹣）＝﹣1．
∴ab＝2．
（3）由題意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，
∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，
（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），
∵p，q為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，
∴p﹣q≠0，
∴（p+q）+n＝﹣1．
∴p+q＝﹣n﹣1．
又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．
∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．
∴pq＝n．
∴pq﹣n＝0．
八．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共2小題）
10．（2023?襄陽）在襄陽市諸感亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)C處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．
【答案】14m．
【解答】解：∵矩形BDEF中有EF＝BD＝4m，CE＝32m，
∴CF＝32﹣4＝28m，
∵tan∠CBF＝tan63.4°＝，
∴2＝，即BF＝14m，
∴CG＝BF＝14m，
∵∠GCA＝45°，
∴AG＝GC＝14m，
∴AB＝BG﹣AG＝CF﹣AG＝28﹣14＝14m．
答：銅像AB的高度為14m．
11．（2023?恩施州）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認(rèn)為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點(diǎn)A，B處測出點(diǎn)D的仰角度數(shù)，可以求出信號塔DE的高．如圖，AB的長為5m，高BC為3m．他在點(diǎn)A處測得點(diǎn)D的仰角為45°，在點(diǎn)B處測得點(diǎn)D的仰角為38.7°．A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．
你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號塔DE的高嗎？若能，請求出信號塔DE的高；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin38.7°≈0.625，cs38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】信號塔DE的高為31m．
【解答】解：能，過B作BF⊥DE于F，
則EF＝BC＝3m，BF＝CE，
在Rt△ABC中，∵AB＝5m，BC＝3m，
∴AC＝＝4（m），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴AE＝DE，
設(shè)AE＝DE＝xm，
∴BF＝（4+x）m，DF＝（x﹣3）m，
在Rt△BDF中，tan38.7°＝0.80，
解得x＝31，
∴DE＝31m，
答：信號塔DE的高為31m．
九．概率公式（共1小題）
12．（2023?黃石）健康醫(yī)療大數(shù)據(jù)蘊(yùn)藏了豐富的居民健康狀況、衛(wèi)生服務(wù)利用等海量信息，是人民健康保障的數(shù)據(jù)金礦和證據(jù)源泉．目前，體質(zhì)健康測試已成為中學(xué)生的必測項(xiàng)目之一．某校某班學(xué)生針對該班體質(zhì)健康測試數(shù)據(jù)開展調(diào)查活動，先收集本班學(xué)生八年級的《體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)登記表》，再算出每位學(xué)生的最后得分，最后得分記為x，得到下表：
（1）請求出該班總?cè)藬?shù)；
（2）該班有三名學(xué)生的最后得分分別是68，88，91，將他們的成績隨機(jī)填入表格，求恰好得到的表格是的概率；
（3）設(shè)該班學(xué)生的最后得分落在不及格，及格，良好，優(yōu)秀范圍內(nèi)的平均分分別為a，b，c，d，若2a+3b+6c+4d＝1275，請求出該班全體學(xué)生最后得分的平均分，并估計(jì)該校八年級學(xué)生體質(zhì)健康狀況．
【答案】（1）45；
（2）；
（3）該班全體學(xué)生最后得分的平均分是85分，該校八年級學(xué)生體質(zhì)健康狀況是良好．
【解答】解：（1）由表格可知，
成績?yōu)榱己玫念l數(shù)為18，頻率為40%，
所以該班總?cè)藬?shù)為：18÷40%＝45（人）．
（2）將68，88，91進(jìn)行隨機(jī)排列得，
68，88，91；68，91，88；88，68，91；88，91，68；91，68，88；91，88，68．
得到每一列數(shù)據(jù)是等可能的，
所以恰好得到88，91，68的概率是．
（3）由題知，
抽查班級的學(xué)生中，成績是不及格，及格，良好，優(yōu)秀的人數(shù)分別是6，9，18，12，
又該班學(xué)生的最后得分落在不及格，及格，良好，優(yōu)秀范圍內(nèi)的平均分分別為a，b，c，d，
所以該班學(xué)生成績的總分為：6a+9b+18c+12d．
又2a+3b+6c+4d＝1275，
所以6a+9b+18c+12d＝3825．
則該班全體學(xué)生最后得分的平均分為：3825÷45＝85（分）．
所以該校八年級學(xué)生體質(zhì)健康狀況是良好．
一十．列表法與樹狀圖法（共2小題）
13．（2023?恩施州）春節(jié)、清明、端午、中秋是我國四大傳統(tǒng)節(jié)日，每個(gè)傳統(tǒng)節(jié)日都有豐富的文化內(nèi)涵，體現(xiàn)了厚重的家國情懷；在文化的傳承與創(chuàng)新中讓我們更加熱愛傳統(tǒng)文化，更加堅(jiān)定文化自信，因此，端午節(jié)前，學(xué)校舉行“傳經(jīng)典?樂端午”系列活動，活動設(shè)計(jì)的項(xiàng)目及要求如下：A﹣包粽子，B﹣劃旱船，C﹣誦詩詞，D﹣創(chuàng)美文；人人參加，每人限選一項(xiàng)．為了解學(xué)生的參與情況，校團(tuán)支部隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息，回答下列問題：
（1）請直接寫出統(tǒng)計(jì)圖中m的值，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）若學(xué)校有1800名學(xué)生，請估計(jì)選擇D類活動的人數(shù)；
（3）甲、乙、丙、丁四名學(xué)生都是包粽子的能手，現(xiàn)從他們4人中選2人參加才藝展示，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率．
【答案】（1）m＝25，圖形見解析；
（2）估計(jì)選擇D類活動的人數(shù)約有180人
（3）．
【解答】解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：50÷50%＝100（人），
∴m＝100×25%＝25，
選擇C的人數(shù)為：100﹣25﹣50﹣10＝15，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
（2）1800×＝180（人），
答：估計(jì)選擇D類活動的人數(shù)約有180人；
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，
∴甲、乙兩人同時(shí)被選中的概率為＝．
14．（2023?鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為了使同學(xué)們進(jìn)一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，鄂州市某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織了一場手抄報(bào)比賽．要求該班每位同學(xué)從A：“北斗”，B：“5G時(shí)代”，C：“東風(fēng)快遞”，D：“智軌快運(yùn)”四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜愛的主題．比賽結(jié)束后，該班團(tuán)支部統(tǒng)計(jì)了同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題．
（1）九（1）班共有 50 名學(xué)生；并補(bǔ)全圖1折線統(tǒng)計(jì)圖；
（2）請閱讀圖2，求出D所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若小林和小峰分別從A，B，C，D四個(gè)主題中任選一個(gè)主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
【答案】（1）50，折線圖見解答；
（2）108°；
（3）．
【解答】解：（1）九（1）班共有學(xué)生人數(shù)為：20÷40%＝50（名），
D的人數(shù)為：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如下：
故答案為：50；
（2）D所對應(yīng)扇形圓心角的大小為：360°×＝108°，
∴D所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：108°；
（3）畫樹狀圖如圖：
共有16種等可能的結(jié)果，小林和小峰選擇相同主題的結(jié)果有4種，
∴小林和小峰選擇相同主題的概率為＝．次數(shù)
數(shù)量（支）
總成本（元）
海鮮串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
成績
頻數(shù)
頻率
不及格（0≤x≤59）
6
及格（60≤x≤74）
20%
良好（75≤x≤89）
18
40%
優(yōu)秀（90≤x≤100）
12
次數(shù)
數(shù)量（支）
總成本（元）
海鮮串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
成績
頻數(shù)
頻率
不及格（0≤x≤59）
6
及格（60≤x≤74）
20%
良好（75≤x≤89）
18
40%
優(yōu)秀（90≤x≤100）
12