本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷 選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計算.
【詳解】由題意，，，
根據(jù)交集的運算可知，.
故選：A
2. 某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本．若樣本中A型號的產(chǎn)品有20件，則樣本容量n為（ ）
A. 50B. 80C. 100D. 200
【答案】C
【解析】
【分析】直接由分層抽樣的定義按比例計算即可.
【詳解】由題意樣本容量為.
故選：C.
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
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【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，即可求解.
詳解】，
.
故選：B.
4. 設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x＋y的最小值是（ ）
A. －15B. －9C. 1D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】作出可行域，z表示直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合知z在點B(－6，－3)處取得最小值.
【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，
目標函數(shù)，z表示直線的縱截距，
，
數(shù)形結(jié)合知函數(shù)在點B(－6，－3)處縱截距取得最小值，
所以z的最小值為－12－3＝－15.
故選：A
【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，
若在上的最大值為，
比如，
但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，
故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，
故選：A.
6. 將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，
解得，又，故當時，的最小值為.
故選：C.
7. 設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A. 12B. 24C. 30D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題．
8. 已知向量，滿足，且，，則與的夾角為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和定義即可得到夾角大小.
【詳解】由已知可得，設(shè)，
又，，所以．
故選：C．
9. 在正方體中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與所成的角為B. 與所成的角為
C. 與所成的角為D. 與所成的角為
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間直線與直線夾角定義逐項判斷即可.
【詳解】
如圖正方體中，設(shè)其棱長為1，
易知直線與直線平行，所以與所成的角即為與所成的角，
即為，而三角形為正三角形，所以，所以A正確；
同理與平行，與所成的角即為與所成角，即為，三角形為正三角形，所以，所以C錯誤；
因為，，，平面，平面，
所以平面，所以與所成的角即為，則B錯誤；
因為與平行，所以與所成角與與所成的角相等，
即為，三角形中，， ，
所以不為，則D錯誤；
故選：A
10. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.
【詳解】
.
故選：D
11. 已知一個四面體的五條棱都等于2，則它的體積的最大值為（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到四面體中至少有兩個面是邊長為2的正三角形，以其中一個為底面，則當另一個正三角形所在平面與它垂直時，四面體體積最大，再計算其體積即可.
【詳解】由于有五條棱長都等于2，則四面體中至少有兩個面是邊長為2的正三角形，
以其中一個為底面，則當另一個正三角形所在平面與它垂直時，四面體體積最大，
如圖所示：
此時和為邊長為的正三角形，且平面平面.
取的中點，連接.
因為，所以.
又因為平面平面，所以平面.
所以，，
所以.
故選：C
12. 已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.
【詳解】
因為，所以∽，
設(shè)，則，設(shè)，則，．
因為平分，由角平分線定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，即，，①
又由得，
所以，即是等邊三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化簡得，
把①代入上式得，所以離心率為．
故選：A．
第II卷 非選擇題（90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 曲線在點處的切線方程為__________．
【答案】
【解析】
【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．
求導(dǎo)得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
14. 已知實數(shù)滿足，則的最大值為________．
【答案】11
【解析】
【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得到答案.
【詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖：

令，化為斜截式方程得，
由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最大.
由得，即.
所以點代入目標函數(shù)可得最大值，即最大值為.
故答案為：11.
15. 過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用直線方程的相關(guān)知識即可求出.
【詳解】拋物線可寫成：且
設(shè)，則兩條切線的斜率分別為
兩條切線的方程為：
又兩條切線過點，所以

所以直線AB的方程為：
又，所以直線AB的方程為：.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，則下列說法中正確的是________
①一條對稱軸為；
②將圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位得到的新函數(shù)為奇函數(shù)；
③若，則；
④若且，則的最小值為．
【答案】①③
【解析】
【分析】首先化簡函數(shù)為，①根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)驗證即可；②利用平移變換得到判斷；③由得到，從而得到，再由，利用兩角差的正切公式求解判斷；④令得到，在同一坐標系中作出的圖象判斷.
【詳解】解：函數(shù)，
①因為，所以一條對稱軸為，故正確；
②將圖象向右平移個單位得到，再向下平移1個單位得到，因為，所以新函數(shù)不是奇函數(shù)，故錯誤；
③由得：，則，，
當時，；
當時，，
所以，故正確；
④令得：，
在同一坐標系中作出的圖象如圖所示：
由圖象知：，故錯誤，
故答案為：①③
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 某實驗學校為提高學習效率，開展學習方式創(chuàng)新活動，提出了完成某項學習任務(wù)的兩種新的學習方式.為比較兩種學習方式的效率，選取40名學生，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組學生用第一種學習方式，第二組學生用第二種學習方式.40名學生完成學習任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成學習任務(wù)所需時間超過和不超過的學生人數(shù)得到下面的列聯(lián)表：
（Ⅰ）估計第一種學習方式且不超過m的概率、第二種學習方式且不超過m的概率；
（Ⅱ）能否有的把握認為兩種學習方式的效率有差異？
附：，
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）有.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根據(jù)古典概型概率公式求解即可.
（Ⅱ）根據(jù)的計算公式計算其觀測值，并與附錄中的數(shù)據(jù)進行對比可得結(jié)論.
【詳解】（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表得：
第一種學習方式且不超過m的概率.
第二種學習方式且不超過m的概率.
（Ⅱ）由于，
所以有的把握認為兩種學習方式的效率有差異.
【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用問題，考查古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.
18. 已知等比數(shù)列的公比為3，且，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可；
（2）利用錯位相減法進行求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為．
∵，，成等差數(shù)列，
∴．
∴
∵，∴解得．∴；
【小問2詳解】
設(shè)，則．
∴①
∴②
由①－②得，
∴
∴．
19. 如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點.

（1）證明：平面平面；
（2）已知四棱錐的體積為，求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面幾何知識結(jié)合已知條件可以證明，再利用面面垂直的性質(zhì)進一步證明，
結(jié)合線面垂直、面面垂直判定定理即得證.
（2）不妨設(shè)，則點到平面的距離即為的長度，結(jié)合附加條件四棱錐的體積為可以求得所有棱長，最終利用平面幾何知識即可求解.
【小問1詳解】
一方面：因為為正三角形且為的中點，所以（三線合一），
又因為平面平面且平面平面，并注意到平面，
所以由面面垂直的性質(zhì)可知平面，
又因為平面，
所以由線面垂直的性質(zhì)可知；
另一方面：由題意不妨設(shè)，則，
因為為正三角形且為的中點，所以，，
所以，且，注意到與均為銳角，
所以，不妨設(shè)，

因為，
所以，即.
綜合以上兩方面有且，
注意到，平面，平面，
所有由線面垂直的判定有平面，
又因為平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
由（1）可知平面，則點到平面的距離即為的長度，
一方面梯形的面積為，，
所以有四棱錐的體積為，
另一方面由題可知四棱錐的體積為，
結(jié)合以上兩方面有，解得，
因為，所以，由（1）可知，
所以，所以，
所以.
20. 設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)在上有極大值，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）求導(dǎo)得，令，則，則可證明在上恒成立，則在遞減，即在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有極大值，則只需即可.
【詳解】（Ⅰ）由題意，求導(dǎo)得.
所以，.
所以曲線在點處的切線方程為.
（Ⅱ），
令，則.
因為對于，恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
因為在上有極大值，
所以在上存在“左正右負”變號零點.
由零點存在性定理：
只需，即
所以.
所以函數(shù)在上有極大值時，的取值范圍為.
【點睛】本題考查曲線的切線方程求解，考查根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)的取值范圍問題，難度較大.解答時分析清楚函數(shù)的單調(diào)性是核心.
21. 已知拋物線，拋物線與圓的相交弦長為4.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，若的面積為，且直線的斜率存在，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用圓與拋物線的對稱性可知，點在拋物線和圓上，代入方程即可求解.
（2）設(shè)直線的方程為，點的坐標分別為，將拋物線與直線聯(lián)立，分別消，再利用韋達定理可得兩根之和、兩根之積，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得，的面積為
即可求解.
【詳解】（1）由圓及拋物線的對稱性可知，點既在拋物線上也在圓上，
有：，解得
故拋物線的標準方程的
（2）設(shè)直線的方程為，
點的坐標分別為.
聯(lián)立方程，消去后整理為，
可得，
聯(lián)立方程，消去后整理為，
可得，，得
由有，，

，可得
的面積為

可得，有或
聯(lián)立方程解得或，又由，
故此時直線的方程為或
聯(lián)立方程，解方程組知方程組無解.
故直線的方程為或
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了學生的計算能力，屬于難題.
（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．
（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）設(shè)點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點．
【答案】（1）；（2）P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），C與沒有公共點.
【解析】
【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；
（2）方法一：設(shè)，設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.
【詳解】（1）由曲線C的極坐標方程可得，
將代入可得，即，
即曲線C的直角坐標方程為；
（2）
[方法一]【最優(yōu)解】
設(shè)，設(shè)
，
，
則，即，
故P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，
則圓心距為，，兩圓內(nèi)含，
故曲線C與沒有公共點.
[方法二]：
設(shè)點的直角坐標為，，，因為，
所以，，，
由，
即，
解得，
所以，，代入的方程得，
化簡得點的軌跡方程是，表示圓心為，，半徑為2的圓；
化為參數(shù)方程是，為參數(shù)；
計算，
所以圓與圓內(nèi)含，沒有公共點．
【整體點評】本題第二問考查利用相關(guān)點法求動點的軌跡方程問題，
方法一：利用參數(shù)方程的方法，設(shè)出的參數(shù)坐標，再利用向量關(guān)系解出求解點的參數(shù)坐標，得到參數(shù)方程.
方法二：利用代數(shù)方法，設(shè)出點的坐標，再利用向量關(guān)系將的坐標用點的坐標表示，代入曲線C的直角坐標方程，得到點的軌跡方程，最后化為參數(shù)方程.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23. 已知函數(shù)．
（1）畫出和的圖像；
（2）若，求a的取值范圍．
【答案】（1）圖像見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；
（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.
【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：
，畫出函數(shù)圖像如下：
（2），
如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，
平移了個單位得到，
則要使，需將向左平移，即，
當過時，，解得或（舍去），
則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.超過m
不超過m
第一種學習方式
15
5
第二種學習方式
5
15
P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6635
10.828

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