2020屆四川省瀘州市瀘縣第二中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題  一、單選題1．已知集合，集合，則（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先解不等式得集合A與B，再根據(jù)交集定義得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意：集合，集合，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式與對數(shù)不等式解法以及交集的定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】log2（2x﹣3）＜1，化為0＜2x﹣3＜2，解得．∴“l(fā)og2（2x﹣3）＜1”是“”的充分不必要條件．3．小張剛參加工作時(shí)月工資為元，各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的條形圖.后來他加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月工資的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的拆線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛參加工作時(shí)少元，則目前小張的月工資為（  ）    A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)條形圖求得剛參加工作的月就醫(yī)費(fèi)，從而求得目前的月就醫(yī)費(fèi)；利用折線圖可知目前月就醫(yī)費(fèi)占收入的，從而可求得月工資.【詳解】由條形圖可知，剛參加工作的月就醫(yī)費(fèi)為：元則目前的月就醫(yī)費(fèi)為：元目前的月工資為：元本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用統(tǒng)計(jì)圖表求解數(shù)據(jù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.4．中所在的平面上的點(diǎn)滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】已知，由向量的減法可得，再化簡運(yùn)算即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的減法，重點(diǎn)考查了向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5．函數(shù)的圖像大致為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除；再根據(jù)當(dāng)時(shí)， ，排除得到答案.【詳解】，偶函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)， ，排除 故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，通過函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點(diǎn)可以排除選項(xiàng)快速得到答案.6．已知平面向量、，滿足，若，則向量、的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，以及和，即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的模長以及垂直關(guān)系求解向量夾角，難度較易.已知向量的模長求解向量的夾角時(shí)，可通過數(shù)量積計(jì)算公式進(jìn)行化簡求解.7．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義依次算出正、余弦值，利用二倍角公式計(jì)算結(jié)果即可．【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)p（﹣1，），其到原點(diǎn)的距離r2故cos，sin∴sin cos.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義，考查了二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．8．已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)(4，1)在雙曲線上，則該雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)離心率可得一個(gè)方程，結(jié)合雙曲線過點(diǎn)(4，1)得另一個(gè)方程，聯(lián)立可得.【詳解】因?yàn)殡x心率為，所以①；因?yàn)辄c(diǎn)(4，1)在雙曲線上，所以②；因?yàn)?/span>③；聯(lián)立①②③可得，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)已知條件建立方程組是求解的關(guān)鍵，注意隱含關(guān)系的挖掘使用.9．?dāng)?shù)列中，已知且則A．19 B．21 C．99 D．101【答案】D【解析】利用累加法及等差數(shù)列的求和公式可求.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，.上面各式相加可得，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)注意數(shù)列項(xiàng)數(shù)的變化.10．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（  ）A．函數(shù)的最大值為 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】根據(jù)平移變換和伸縮變換的原則可求得的解析式，依次判斷的最值、最小正周期、對稱軸和單調(diào)性，可求得正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)向右平移個(gè)單位長度得：橫坐標(biāo)伸長到原來的倍得：最大值為，可知錯(cuò)誤；最小正周期為，可知錯(cuò)誤；時(shí)，，則不是的對稱軸，可知錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，可知正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)平移變換和伸縮變換、正弦型函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、值域和最小正周期的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確圖象變換的基本原則，同時(shí)采用整體對應(yīng)的方式來判斷正弦型函數(shù)的性質(zhì).11．已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由和都是定義在上的偶函數(shù)，可推導(dǎo)出周期為4，而，即可計(jì)算.【詳解】因?yàn)?/span>都是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)周期，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，利用周期求函數(shù)值，屬于中檔題.12．已知函數(shù)，若，都大于0，且，則的取值范圍是（     ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此得到，，變形化簡，即可得到的取值范圍。【詳解】 ， ，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?/span>，都大于0，且，所以，即，，變形有，，所以，即，故，選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及單調(diào)性定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。  二、填空題13．若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】10【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃知識求解。【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下：作出直線，當(dāng)直線往下平移時(shí)，變大，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值知識，考查作圖及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。14．若向量(，1)，(1，﹣3)，則在方向上的投影為_____．【答案】【解析】分別求出和，利用即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】，，∴在方向上的投影為：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的投影及其計(jì)算，考查學(xué)生對投影的理解和計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.15． “圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺．問徑幾何．”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“如圖所示，一圓柱形埋在墻壁中，尺，為的中點(diǎn)，，寸，則圓柱底面的直徑長是_________寸”．（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】由勾股定理，代入數(shù)據(jù)即可求得．【詳解】解：∵，，∵ 寸，∴ 寸，在中，∵，∴ ，∴ 寸，∴ 圓柱底面的直徑長是寸．故答案為：26．【點(diǎn)睛】考查了學(xué)生對勾股定理的熟練應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于 ，兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為____．【答案】【解析】由題意結(jié)合拋物線的定義和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由拋物線的定義可設(shè)：，由勾股定理可知：，由梯形中位線的性質(zhì)可得：，則：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.即的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義及其應(yīng)用，均值不等式求最值的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 三、解答題17．某次高三年級模擬考試中，數(shù)學(xué)試卷有一道滿分10分的選做題，學(xué)生可以從A，B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試，為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況，作為下一步教學(xué)的參考依據(jù)，計(jì)劃從900名考生的選做題成績中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本，為此將900名考生選做題的成績按照隨機(jī)順序依次編號為001~900.（1）若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣，從編號為001~090的成績中用簡單隨機(jī)抽樣確定的成績編號為025，求樣本中所有成績編號之和；（2）若采用分層抽樣，按照學(xué)生選擇A題目或B題目，將成績分為兩層.已知該校高三學(xué)生有540人選做A題目，有360人選做B題目，選取的樣本中，A題目的成績平均數(shù)為5，方差為2，B題目的成績平均數(shù)為5.5，方差為0.25.（i）用樣本估計(jì)該校這900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差；（ii）本選做題閱卷分值都為整數(shù)，且選取的樣本中，A題目成績的中位數(shù)和B題目成績的中位數(shù)都是5.5.從樣本中隨機(jī)選取兩個(gè)大于樣本平均值的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步調(diào)查，求取到的兩個(gè)成績來自不同題目的概率.【答案】(1)4300；(2) （i）平均數(shù)為5.2，方差為1.36.（ii） 【解析】（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征,各個(gè)編號成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差即可求得前10項(xiàng)的和.（2）根據(jù)分層抽樣特征可知抽出的樣本中A題目的成績有6個(gè),B題目的成績有4個(gè).求出10名學(xué)生的總成績,即可得10名學(xué)生的平均成績.根據(jù)所給A題目和B題目的平均數(shù)和方差,將方差公式變形,即可求得10名學(xué)生的成績方差.從選取的成績可知,A題目中超過平均成績的有3人,B題目超過平均值的有2人,根據(jù)古典概型概率求法,用列舉法把所有情況列舉出來,即可得解.【詳解】（1）由題易知,若按照系統(tǒng)抽樣的方法,抽出的編號可以組成以25為首項(xiàng),以90為公差的等差數(shù)列,故樣本編號之和即為該數(shù)列的前10項(xiàng)之和,所以.（2）（i）由題易知,若按照分層抽樣的方法,抽出的樣本中A題目的成績有6個(gè),按分值降序分別記為,,…,；B題目的成績有4個(gè),按分值降序分別記為,,,.記樣本的平均數(shù)為,樣本的方差為.由題意可知,,,所以,估計(jì)該校900名考生選做題得分的平均數(shù)為5.2,方差為1.36.（ii）本選做題閱卷分值都為整數(shù),且選取的樣本中,A題目成績的中位數(shù)和B題目成績的中位數(shù)都是5.5,易知樣本中A題目的成績大于樣本平均值的成績有3個(gè),分別為,,,B題目的成績大于樣本平均值的成績有2個(gè),分別為,.從樣本中隨機(jī)選取兩個(gè)大于樣本平均值的數(shù)據(jù)共有種10方法,為：,,,,,,,,,,其中取到的兩個(gè)成績來自不同題目的取法共有6種,為：,,,,,,記“從樣本中隨機(jī)選取兩個(gè)大于樣本平均值的數(shù)據(jù),取到的兩個(gè)成績來自不同題目”為事件,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單隨機(jī)抽樣中的系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的方法與特征,平均數(shù)及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的應(yīng)用與變形是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.18．如圖，菱形ABCD的邊長為a，∠D＝60°，點(diǎn)H為DC邊中點(diǎn)，現(xiàn)以線段AH為折痕將△DAH折起使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，點(diǎn)E，F分別為AB，AP的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC∥平面EFH；（2）若三棱錐P﹣EFH的體積等于，求a的值.【答案】（1）見解析；（2）a＝2【解析】（1）分別證明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)條件求出AH，DH＝PH＝CH，然后證明PH⊥平面ABCH，又點(diǎn)F為AP的中點(diǎn)，則S△PEF＝S△AEF，故VH－PEF＝VH－AEF，則，據(jù)此計(jì)算求解即可.【詳解】（1）證明：菱形ABCD中，∵E，H分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴BE∥CH，BE＝CH，∴四邊形BCHE為平行四邊形，則BC∥EH，又EH?平面PBC，∴EH∥平面PBC，又點(diǎn)E，F分別為AB，AP的中點(diǎn)，則EF∥BP，又EF?平面PBC，∴EF∥平面PBC，由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，則△ACD為正三角形，∴AH⊥CD，AH，DH＝PH＝CH，折疊后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，從而PH⊥平面ABCH．在△PAE中，點(diǎn)F為AP的中點(diǎn)，則S△PEF＝S△AEF，∴VH－PEF＝VH－AEF，而VH－PEF+VH－AEF＝VH－PAE，∴，∴a3＝8，即a＝2．故a＝2．【點(diǎn)睛】本題考查面面平行和椎體體積的相關(guān)問題，面面平行證明的關(guān)鍵是在一個(gè)平面中找兩條相交的直線，它們都平行于另一個(gè)平面，屬中檔題.19．設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，將代得： ，由兩式作商得：，問題得解。（2）利用（1）中結(jié)果求得，分組求和，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及乘公比錯(cuò)位相減法分別求和即可得解。【詳解】（1）由n＝1得，因?yàn)?/span>，當(dāng)n≥2時(shí)，，由兩式作商得：（n＞1且n∈N），又因?yàn)?/span>符合上式，所以（n∈N）．（2）設(shè)，則bn＝n＋n·2n，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋設(shè)Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．所以，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及方程思想，還考查了分組求和法及乘公比錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓的離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)，且斜率為1的直線，與以右焦點(diǎn)為圓心，半徑為的圓相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）線段是橢圓過右焦點(diǎn)的弦，且，求的面積的最大值以及取最大值時(shí)實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）3，1.【解析】（1）由圓與直線相切可得圓心到直線的距離等于半徑，求出，根據(jù)橢圓離心率，求出a，進(jìn)而求出b，得到橢圓得方程。（2）分類討論思想，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合二次函數(shù)得最值，確定當(dāng)直線MN與x軸垂直時(shí)的面積最大。【詳解】（1）設(shè)，，則直線的方程為：，即.∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離為，解之得.∵橢圓的離心率為，即，所以，所以，∴橢圓的方程為.（2）由（1）得，，由題意得直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程化簡可得，恒成立，設(shè)，，則，是上述方程的兩個(gè)不等根，∴，.∴的面積設(shè)，則，，則，.令，則恒成立，則函數(shù)在上為減函數(shù)，故的最大值為，所以的面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值，此時(shí)直線的方程為，即直線垂直于軸，此時(shí)，即.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的思想。圓與直線的位置關(guān)系有三種，可用代數(shù)法和幾何法進(jìn)行判斷。21．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)有最小值，求的值域.【答案】(1)見解析；(2) 【解析】（1）先求出，分和兩種情形，利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）求出并將其化簡為，構(gòu)建新函數(shù)，利用（1）的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可得有唯一的，它就是函數(shù)最小值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求該最小值的值域.【詳解】解：（1）定義域?yàn)?/span>，.令，①，當(dāng)時(shí)，，，即且不恒為零，故單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，方程①兩根為，，由于，.故，因此當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.（2），設(shè)，由（1）知，時(shí)，在單調(diào)遞增，由于，，故在存在唯一，使，，又當(dāng)，，即，單調(diào)遞減，，，即，單調(diào)遞增，故時(shí)，，.又設(shè)，，，故單調(diào)遞增，故，即，即.【點(diǎn)睛】（1）一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．（2）求函數(shù)的最值，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的定義域去討論函數(shù)的單調(diào)性，有的函數(shù)的單調(diào)性可以利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則得到，有的函數(shù)的單調(diào)性需結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號進(jìn)行判斷，有時(shí)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求，則需要虛設(shè)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)滿足的方程化簡函數(shù)的極值（或最值）．22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，若，求值．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則即可求得結(jié)果；（2）將直線參數(shù)方程代入曲線直角坐標(biāo)方程，可求得和，根據(jù)直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義可知，代入可求得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，即（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程得：設(shè)是方程的根，則：，∴，又    或【點(diǎn)睛】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠根據(jù)幾何意義將已知弦長表示為韋達(dá)定理的形式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，屬中檔題．23．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先化簡得到分段函數(shù)f(x)，再求出分段函數(shù)的值域得解；（2）對a分類討論，根據(jù)得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)可化簡為可得當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故的值域.（2）當(dāng)時(shí)，，，，所以不符合題意.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的值域，若，則，解得或，從而符合題意.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的值域，此時(shí)一定滿足，從而符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值函數(shù)的值域的求法，考查集合之間的關(guān)系和參數(shù)范圍的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力. 

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