第3章勾股定理小結(jié)與思考蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

勾股定理及其應(yīng)用（2）【典型例題】例1 如圖，已知：在Rt△ABC中，兩直角邊AC、BC的長分別為6和8，現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．解：如圖，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=10．由折疊性質(zhì)可得AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，則BE=4，∠BED=90°．設(shè)DC= DE=x，則BD=8-x．在Rt△BDE中，由勾股定理得 x2+42=(8-x)2，解得x=3．即CD=3．變式1 已知：如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC、BC的長分別為6和8，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與A重合，折痕為DE，求CD的長．解：如圖，設(shè)CD=x，則由折疊性質(zhì)可得AD=BD=8-x．在Rt△ACD中，由勾股定理得x2+62=(8-x)2，解得x= ．即CD= ．變式2 已知：如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC、BC的長分別為6和8，現(xiàn)將△ABC折疊，使A點與BC的中點F重合，折痕為DE，求CD的長．解：設(shè)CD=x，由折疊的性質(zhì)可得DF=AD=6-x． ∵F是BC的中點，∴CF=4．在Rt△CDF中，x2+42=(6-x) 2，解得 x= ．即CD= ．【題后小結(jié)】在直角三角形中： 1、如果“已知a，b或a，c或b，c，求c或b或a”問題，就可以直接“運用勾股定理計算”求出第三邊； 2、如果“已知a，c±b或b，c±a，求b和c”問題，我們可以通過“設(shè)未知數(shù)，運用勾股定理列方程”來解決．【典型例題】例2 如圖，在長方形ABCD 中，AB=8，BC=10，將長方形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處，求CE的長．解：∵四邊形ABCD為長方形， ∴AD=BC=10，CD=AB=8，∠B=∠C=90°．由折疊性質(zhì)得：AF=AD=10，EF=DE． Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2=102-82=36， ∴BF=6，CF=10-6=4．設(shè)CE=x，則EF=ED=8-x．在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，即(8-x)2=42+x2．解得：x=3．即CE=3 ．變式1 如圖，在長方形ABCD 中，AB=8，BC=10，將長方形沿AC 折疊，使點D落在點D′，求重疊部分△AEC的面積．解：如圖，由題意得∠1=∠2=∠3，所以 EA=EC．設(shè) EA=EC=x，則 BE=10-x．在Rt△ABE中，有 (10-x)2+82=x2，解得 x= ．所以△AEC的面積為．變式2 如圖，在長方形ABCD 中，AB=8，BC=10，將長方形沿EF 折疊，使點A與點C重合，求DF的長．解：設(shè)AE=x，由折疊性質(zhì)可知EC=x，BE=10-x．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+(10-x)2=x2，解得：x= ．由折疊可知∠1=∠2． ∵AD∥BC，∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3，即AE=AF= ．故 DF=10- = ．變式3 如圖，在長方形ABCD 中，AB=8，BC=10，將長方形沿MN折疊，使點B落在CD邊上的中點E處，求AM的長．解一：如圖，連接ME．由折疊性質(zhì)可知MF=MA，EF=AB=8． ∵點E是CD的中點，∴DE=4． ∴在Rt△EFM中，有MF2+EF2=ME2，在Rt△DEM中，有MD2+DE2=ME2， ∴MF2+EF2=MD2+DE2．設(shè)AM=x，則DM=10-x， ∴x2+82=(10-x)2+42．解得 x= ，即AM= ．變式3 如圖，在長方形ABCD 中，AB=8，BC=10，將長方形沿MN折疊，使點B落在CD邊上的中點E處，求AM的長．解二：如圖，連接MB、ME．由折疊性質(zhì)可知MB=ME． ∵點E是CD的中點，∴DE=4． ∴在Rt△ABM中，有AM2+AB2=BM2，在Rt△DEM中，有DM2+DE2=EM2， ∴AM2+AB2=DM2+DE2．設(shè)AM=x，則DM=10-x， ∴x2+82=(10-x)2+42．解得x= ，即AM= ．【題后小結(jié)】解決這類折疊問題，首先抓住折疊變換是全等變換，折疊前后的對應(yīng)邊（角）大小不變；然后結(jié)合其他題設(shè)進(jìn)行推理和轉(zhuǎn)化；最后把所有條件集中到一個直角三角形中，用勾股定理列方程解得．【典型例題】例3 如圖，在銳角△ABC中，已知：AB=13，BC=14，AC=15．求△ABC的面積．解：過點A作BC的高，交BC于點D，如圖，設(shè)BD=x．則在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=132-x2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=152-(14-x)2． ∴132-x2=152-(14-x)2，解得x=5． ∴AD2=132-52=144，∴AD=12．故S△ABC= BC×AD= ×14×12=84．變式1 如圖，在鈍角△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面積．解一：過點B作AC的高，交CA于點D，如圖2，設(shè)AD=x．則在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：BD2=102-x2；在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理有：BD2=92-(17-x)2． ∴102-x2=92-(17-x)2，解得x= ．∴BD= ．故S△ABC= AC×BD= ×17× =36．變式1 如圖，在鈍角△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面積．解二：過點A作BC的高，交CB的延長線于點D，如圖1，設(shè)BD=x，則CD=x+9．在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=102-x2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=172-(x+9)2． ∴102-x2=172-(x+9)2，解得x=6．∴AD=8．故S△ABC= BC×AD= ×9×8=36．變式2 如圖，在△ABC中，若AC=4，AB=5，BC=6，AD為高，AE為中線．求DE的長．解：設(shè)DE=x，則BD=3+x，CD=3-x．在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=52-(3+x)2；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理有：AD2=42-(3-x)2． ∴52-(3+x)2=42-(3-x)2．解得x= ．即DE = ．【題后小結(jié)】如果題目中沒有直角三角形，我們可以作高構(gòu)造直角三角形，“化斜為直”將一般三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題求解；在用勾股定理列方程時，需要注意選擇合適的線段設(shè)為未知數(shù)，必要時可使用多次勾股定理．【課堂小結(jié)】 1．勾股定理和勾股定理的逆定理： 2．能運用勾股定理通過“列方程”解決“已知a，c±b或b，c±a，求b和c”問題．謝謝！