一、單選題
1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B（不重合），且A,B在以點(diǎn)為圓心的圓上，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
3．已知拋物線：與拋物線：，則（ ）
A．過(guò)與焦點(diǎn)的直線方程為B．與只有1個(gè)公共點(diǎn)
C．與x軸平行的直線與及最多有3個(gè)交點(diǎn)D．不存在直線與和都相切
4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（ ）
A．B．2C．D．
6．過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)A作一條漸近線的平行線，交另一條漸近線于點(diǎn)P，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），離心率為2，則雙曲線C的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．已知拋物線（），O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，直線AO，BO分別交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，D，則為（ ）
A．2B．C．D．
8．某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場(chǎng)內(nèi)修建一個(gè)半徑為4m的圓形水池來(lái)規(guī)劃噴泉景觀．設(shè)計(jì)如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面2m的噴水管（水管半徑忽略不計(jì)），它噴出的水柱呈拋物線形，要求水柱在與水池中心水平距離為處達(dá)到最高，且水柱剛好落在池內(nèi)，則水柱的最大高度為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知方程：，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則方程表示的曲線是橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上
B．若，則方程表示的曲線是圓，其半徑為
C．若，則方程表示的曲線是雙曲線，其漸近線方程為：
D．若，則方程表示的曲線是兩條直線．
10．直線，圓，則（ ）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn)
B．存在實(shí)數(shù)使得直線的傾斜角為
C．直線與圓的相交弦長(zhǎng)的最大值為
D．當(dāng)時(shí)，圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1
11．已知，是曲線上不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．的最小值為1
B．
C．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則
D．對(duì)任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在，兩點(diǎn)處的切線垂直
三、填空題
12．若圓與圓只有唯一的公共點(diǎn)，則 .
13．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.已知，Q為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
14．已知曲線．關(guān)于曲線W有四個(gè)結(jié)論：
①曲線W既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；
②曲線W的漸近線方程為；
③當(dāng)時(shí)曲線W為雙曲線，此時(shí)實(shí)軸長(zhǎng)為2；
④當(dāng)時(shí)曲線W為雙曲線，此時(shí)離心率為．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
參考答案：
1．C
【分析】先將已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求準(zhǔn)線方程.
【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
由此得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：C.
2．B
【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，列式求解.
【詳解】聯(lián)立，得；
聯(lián)立，得；
不妨設(shè)，，
則線段的中點(diǎn)為，
由題意可知，，整理為，
所以雙曲線為等軸雙曲線，離心率.
故選：B
3．C
【分析】對(duì)于A，利用拋物線的焦點(diǎn)的定義及截距式即可判斷；對(duì)于B，聯(lián)立方程組求解方程組即可判斷；對(duì)于C，利用拋物的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)已知條件及直線與拋物線的位置關(guān)系即可判斷.
【詳解】由題意可知的焦點(diǎn)為，的焦點(diǎn)為，
過(guò)與焦點(diǎn)的直線方程為，即，A錯(cuò)誤；
由，解得或，
所以與有，2個(gè)公共點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
由拋物線：知，開口向右，對(duì)稱軸為軸，
所以與x軸平行的直線與有1個(gè)交點(diǎn)，
由拋物線：知，開口向上，對(duì)稱軸為軸，
所以與最多有2個(gè)交點(diǎn)，C正確；
與關(guān)于直線對(duì)稱，若存在直線與和都相切，則該切線也關(guān)于直線對(duì)稱，不妨設(shè)為，與聯(lián)立得，由得，
所以直線與和都相切，D錯(cuò)誤．
故選：C．
4．D
【分析】根據(jù)焦半徑公式得到，從而得到，分兩種情況，求出答案.
【詳解】由焦半徑公式可得，解得，
故拋物線，
故，
當(dāng)時(shí)，，
直線的斜率為，
當(dāng)時(shí)，，
直線的斜率為，
綜上，直線的斜率為.
故選：D
5．A
【分析】在直線上取點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離即可.
【詳解】在直線上取點(diǎn)，
則與之間的距離即為點(diǎn)到直線的距離，
即為.
故選：A.
6．A
【分析】依題意得到A點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，寫出直線方程，與雙曲線另一漸近線方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)，代入三角形面積公式求解，則答案可求．
【詳解】由題意可知雙曲線的右頂點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，
則過(guò)A與平行的直線方程為，
聯(lián)立，解得，即，
則，
又，，解得．
雙曲線.
故選：A．
7．A
【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求得，得到，由拋物線的定義，得到，再由的方程為，求得，證得，同理可得，求得，即可求解.
【詳解】如圖所示，由拋物線，可得，準(zhǔn)線方程為，
則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率為的直線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，則且，
則，
根據(jù)拋物線的定義，可得，
又由，所以直線的方程為，
令，可得，
因?yàn)?，可得，所以，同理可得?br>所以，
所以.
故選：A.
8．C
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.
【詳解】取一截面建系如圖，設(shè)拋物線方程為，
記最大高度為hm，依題意可知，在拋物線上，
故兩式相除有，解得．
故選:C．
9．BC
【分析】根據(jù)的取值范圍，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，若，則，
則即為，故表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，所以即為，故曲線是圓，其半徑為，B正確；
對(duì)于C，若，
則不妨設(shè)，，則即為，
曲線此時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其漸近線方程為，
當(dāng)，，同理可知漸近線方程也為，C正確；
對(duì)于D，若，則，當(dāng)時(shí)，方程為表示兩條直線；
當(dāng)時(shí)，方程為，不表示任何圖形，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．AD
【分析】A選項(xiàng)，利用直線方程，列方程組求所過(guò)的定點(diǎn)；B選項(xiàng)，結(jié)合斜率的計(jì)算，判斷傾斜角是否存在；C選項(xiàng)，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解；D選項(xiàng)，利用圓心到直線距離和半徑的關(guān)系，判斷結(jié)論.
【詳解】直線，方程改寫為，
由，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
若直線的傾斜角為，則直線的斜率，關(guān)于的方程無(wú)解，
所以不存在實(shí)數(shù)使得直線的傾斜角為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，
，定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，
最短弦長(zhǎng)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則圓心到直線的距離為1，又圓半徑，所以圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
11．AD
【分析】根據(jù)題中曲線表達(dá)式去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，根據(jù)幾何意義判斷A，舉出反例判斷B，數(shù)形結(jié)合判斷C，根據(jù)圖形特征以及切線概念判斷D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，原方程即，
化簡(jiǎn)為，軌跡為橢圓.
將代入，則，
則此時(shí)，即此部分為橢圓的一半.
同理當(dāng)時(shí)，原方程即，
化簡(jiǎn)為.
將代入，則或，
則此時(shí)，即此部分為圓的一部分.
作出曲線的圖形如下：

對(duì)于A，最小值表示曲線上一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離的平方，
當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)取得，
當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)取得，
則最小值為，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，顯然B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)橢圓下頂點(diǎn)，如圖，

顯然，存在，使得直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖，對(duì)任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，

則曲線在點(diǎn)處的切線斜率可以取任何非零實(shí)數(shù)，
曲線在橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零實(shí)數(shù)，使得兩切線斜率為負(fù)倒數(shù)，
所以對(duì)任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在，兩點(diǎn)處的切線垂直，故D正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解析幾何的綜合問(wèn)題，此類問(wèn)題常見的處理方法為：
（1）幾何法：通過(guò)圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；
（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)坐標(biāo)的運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等知識(shí)，用坐標(biāo)運(yùn)算求解答案.
12．或
【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑長(zhǎng)，分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，
圓的圓心為，半徑為，
由題意可知，兩圓外切或內(nèi)切，且，
若兩圓外切，則，即，解得；
若兩圓內(nèi)切，則，即，解得.
綜上所述，或.
故答案為：或.
13．
【分析】先利用“阿波羅尼斯圓”定義設(shè)出點(diǎn)，由，得到，再由，即可求出最小值.
【詳解】由阿波羅尼斯圓的定義，設(shè)，定點(diǎn)，令，則
，
平方化簡(jiǎn)得，
因?yàn)榇朔匠膛c為同一方程，
所以，解得，所以點(diǎn)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
即最小值為點(diǎn)到直線的距離：，
故答案為：.
14．①②④
【分析】①根據(jù)以代換、代換、以代換，代換后方程是否變化作出判斷；②根據(jù)、時(shí)的關(guān)系式作出判斷；③根據(jù)的關(guān)系式判斷是否為雙曲線，然后通過(guò)將圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)再作出判斷；④根據(jù)的關(guān)系式判斷是否為雙曲線，結(jié)合③中的旋轉(zhuǎn)過(guò)程以及漸近線方程可求解出離心率.
【詳解】①以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，
以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，
以代換，代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
所以曲線既關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱，同時(shí)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故①正確；
②如下圖：
當(dāng)時(shí)，，可知漸近線為；
當(dāng)時(shí)，，可知漸近線為；
所以曲線的漸近線方程為，故②正確；
③當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)曲線為雙曲線，
因?yàn)榕c的交點(diǎn)為，所以，
將雙曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如下圖：
此時(shí)雙曲線與軸的交點(diǎn)為，
所以，所以實(shí)軸長(zhǎng)為，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)曲線為雙曲線，
將雙曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)漸近線方程為，
所以，所以離心率，故④正確，
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：曲線的方程為，①如果，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②如果，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；③如果，則曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

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