（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一．單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的取值不可能為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】由已知得到，解出，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.
【詳解】由已知可得，即，
解得或
計(jì)算選項(xiàng)中的三角函數(shù)可得，
，，，
故選：B.
2. 在中，，則角C的值為（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求得正確答案.
【詳解】由正弦定理得，，
由于，所以為銳角，所以.
故選：B
3. 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. -2B. C. 3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由已知求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可．
【詳解】角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，
即，解得，
．
故選：B．
4. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再求出模作答.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：D
5. 已知，且，則（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用二倍角公式，平方關(guān)系代換，可得，根據(jù)的范圍即可求解.
【詳解】由，得
，
則，
即，得，
則，
得或，
又，所以，
故.
故選：B
6. 已知△ABC中，，，，在線段BD上取點(diǎn)E，使得，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析得到∠AEB是與的夾角，利用向量基本定理得到，，利用向量數(shù)量積公式得到，，，從而利用夾角余弦公式求出答案.
【詳解】由題意知：∠AEB是與的夾角，
，，
，
，
，
則．
故選：D．
7. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問(wèn)島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測(cè)量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測(cè)點(diǎn)與，共線，目測(cè)點(diǎn)與，共線，測(cè)出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（ ）
A. 18B. 16C. 12D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得，，結(jié)合條件即得.
【詳解】由題可知，，
所以，，又，，，，
所以，，
解得，.
故選：A.
8. 已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，取的中點(diǎn)，計(jì)算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【詳解】在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，
因?yàn)椋瑒t，故為等腰直角三角形，則，
取的中點(diǎn)，則，
所以，，所以，，
因?yàn)椋?br>所以，，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、同向時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.
故選：B.
二．選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列各組條件中使得有兩個(gè)解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)題意先求出的值，根據(jù)正弦定理可推得，當(dāng)，且時(shí)，有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解.
【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)?，所?
由正弦定理可得，，無(wú)解，A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)：因?yàn)?，所?
由正弦定理可得，，只有一個(gè)解，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)：因?yàn)?，由正弦定理可得?
又，所以，此時(shí)有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，C正確；
D項(xiàng)：因，由正弦定理可得，.
又，所以，此時(shí)有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，D正確.
故選：CD.
10. 在中，已知，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】畫出三角形，應(yīng)用向量線性表示，三角形法則，數(shù)量積關(guān)系逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】如圖所示：
因?yàn)椋裕?br>所以，
故選項(xiàng)A正確，
因?yàn)椋?br>所以
，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故選項(xiàng)D正確，
由，
所以在中，因?yàn)椋?br>所以，故B正確，
故選：ABD.
11. 已知復(fù)數(shù)，（，，，均為實(shí)數(shù)），下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B. 的虛部為
C. 若，則D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的概念，判斷選項(xiàng)正誤.
詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)不等比較大小，A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，復(fù)數(shù)，是實(shí)部，是虛部，B項(xiàng)正確；
對(duì)于C，，所以，而，，不能得到，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，
，所以，D項(xiàng)正確；
故選：BD.
12. 設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若函數(shù)的最小正周期為，則
B. 存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C. 若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?br>D. 若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)周期公式可判斷A,根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可判斷B，討論函數(shù)在給定區(qū)間的最值可判斷C,根據(jù)函數(shù)圖象分析零點(diǎn)的分布可判斷D.
【詳解】由倍角公式可得：，
，可知：，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
將圖像向右平移得到，
該函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，
所以，當(dāng)時(shí)，滿足題意，B選項(xiàng)正確．
當(dāng)時(shí)，，所以，
則的值域?yàn)椋訡選項(xiàng)錯(cuò)誤，
，則，
因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，D選項(xiàng)正確．
故正確選項(xiàng)為:BD．
三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，則b的值為_(kāi)_____．
【答案】2
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的意義結(jié)合給定條件，列式計(jì)算作答.
【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為，因此，解得，
所以b的值為2.
故答案為：2
14. 在中，已知，則該的形狀為_(kāi)_____________
【答案】等腰或直角三角形
【解析】
【分析】
利用正弦定理將邊化角，將已知條件化簡(jiǎn)求得，即可判斷.
【詳解】化為，
，，
至少有一個(gè)是銳角，，
或，或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故答案為：等腰或直角三角形
【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理判斷三角形的形狀，屬基礎(chǔ)題.
15. 的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的正切可求三角函數(shù)式的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>整理得到：，
故答案為：.
16. 如圖在中，，，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn).若，則______；若，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求得，計(jì)算出、的長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，可求得的值；計(jì)算得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)?，，，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.
故答案為：；.
四．解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.）
17. 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是：
（1）實(shí)數(shù)；
（2）虛數(shù)；
（3）純虛數(shù).
【答案】（1）；
（2）且；
（3）.
【解析】
【分析】（1）（2）（3）利用復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的定義列式計(jì)算作答.
【小問(wèn)1詳解】
復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，解得，
所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則，解得且，
所以當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù).
【小問(wèn)3詳解】
復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，
所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).
18. 已知，并且是第二象限角，求：
（1）的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正余弦公式，結(jié)合齊次式法求值作答.
（2）由（1）的信息，利用誘導(dǎo)公式及差角的正切求值作答.
【小問(wèn)1詳解】
由是第二象限角，，得，則，
所以
.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
所以.
19. 已知為的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為，若.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，由于，可求的值，結(jié)合，可求A的值.
（2）由已知利用余弦定理可求bc的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可得解.
【詳解】解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：，
整理得，
即：，
所以，
∵，∴，
∵，∴.
（2）由，，由余弦定理得，
∴，即有，
∴，
∴的面積為.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.解題的過(guò)程中注意以下公式的靈活應(yīng)用：、、.
20. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上．
（1）若，求；
（2）設(shè)，用x，y表示．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量相等列方程即可求得，進(jìn)而求得
（2）利用向量相等列方程即可求得，進(jìn)而求得
【小問(wèn)1詳解】
，，，
則，，
則
則，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意
則
【小問(wèn)2詳解】
，，，
則，，
由
可得，解之得
則
21. ①在函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖像，的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
②向量，；
③函數(shù)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.
已知_______，函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)選擇一個(gè)條件，轉(zhuǎn)化條件得，將代入即可得解；
(2)令,解得的取值范圍后給賦值即可得解.
【詳解】（1）選擇條件①：
依題意，相鄰兩對(duì)稱軸之間距離為，則周期為，從而， 從而，，
又的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，由知，
從而，
選擇條件②：
依題意，
即有：
又因?yàn)橄噜弮蓪?duì)稱軸之間距離為，則周期為，從而，
從而，
選擇條件③：
依題意，
即有：
化簡(jiǎn)得：
即有：
又因?yàn)橄噜弮蓪?duì)稱軸之間距離為，則周期為，從而，
從而，
（2），則其單調(diào)遞減區(qū)間為，
解得，令，得，
從而在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，考查了三角恒等變換的應(yīng)用和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.
22. 在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，求出的取值范圍，結(jié)合可求得角的值；
（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)椋?br>因?yàn)?、，且，所以，且?br>所以，，
所以，，
則，即，
因?yàn)榍遥?，且?br>所以或（舍），故當(dāng)時(shí)，．
【小問(wèn)2詳解】
解：，
因?yàn)?，所以，則，
所以，.
所以的取值范圍為．

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